Sigma - ideální - Sigma-ideal

v matematika, zejména teorie míry, a σ-ideál a sigma-algebra (σ„Číst„ sigma “znamená počitatelný v této souvislosti) je a podmnožina s jistým žádoucím uzavření vlastnosti. Je to speciální typ ideál. Jeho nejčastější aplikace je možná v teorie pravděpodobnosti.

Nechť (X, Σ) být a měřitelný prostor (což znamená Σ je a σ-algebra podmnožin X). Podmnožina N z Σ je a σ-ideal, pokud jsou splněny následující vlastnosti:

(i) Ø ∈ N;

(ii) Kdy A ∈ N a B ∈ Σ, B ⊆ A ⇒ B ∈ N;

(iii) ${ displaystyle left {A_ {n} right } _ {n in mathbb {N}} subseteq N Rightarrow bigcup _ {n in mathbb {N}} A_ {n} in N.}$

Stručně řečeno, sigma-ideal musí obsahovat prázdnou množinu a obsahovat podmnožiny a počitatelné sjednocení jejích prvků. Koncept σ-ideální je dvojí k tomu a spočetně kompletní (σ-) filtr.

Pokud opatření μ je uveden na (X, Σ), množina μ-zanedbatelné sady (S Σ Σ takové μ(S) = 0 ) je σ-ideál.

Pojem lze zobecnit na předobjednávky (P, ≤, 0) se spodním prvkem 0 následujícím způsobem: Já je σ-ideální z P právě když

(i ') 0 ∈ Já,

ii ') X ≤ y & y ∈ Já ⇒ X ∈ Já, a

(iii ') dostal rodinu X_n ∈ Já (n ∈ N), tady je y ∈ Já takhle X_n ≤ y pro každého n

Tím pádem Já obsahuje spodní prvek, je dolů uzavřený a splňuje spočetnou analogii vlastnosti bytí směřující nahoru.

A σ-ideál sady X je σ-ideální z výkonové sady X. To znamená, že když ne σ-algebra je zadána, pak člověk jednoduše vezme celou sadu výkonu podkladové sady. Například hubené podmnožiny topologického prostoru jsou ty v σ-ideál generovaný sbírkou uzavřených podmnožin s prázdným vnitřkem.

Reference

• Bauer, Heinz (2001): Teorie měření a integrace. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlín, Německo.