Eliptické racionální funkce - Elliptic rational functions

Graf eliptických racionálních funkcí pro x mezi -1 a 1 pro řády 1,2,3 a 4 s rozlišovacím faktorem ξ = 1,1. Všechny jsou ohraničeny mezi -1 a 1 a všechny mají hodnotu 1 v x = 1.

v matematika the eliptické racionální funkce jsou posloupností racionální funkce se skutečnými koeficienty. Eliptické racionální funkce jsou široce používány při navrhování eliptické elektronické filtry. (Tyto funkce se někdy nazývají Čebyševovy racionální funkce, nesmí být zaměňována s některými dalšími funkcemi stejné jméno ).

Rational eliptic functions are identified by a positive integer order n a zahrnují parametr ξ ≥ 1 zvaný faktor selektivity. Racionální eliptická funkce stupně n v X s faktorem selektivity ξ je obecně definován jako:

${displaystyle R_ {n} (xi, x) ekviv. mathrm {cd} vlevo (n {frac {K (1 / L_ {n} (xi))} {K (1 / xi)}}, mathrm {cd} ^ {-1} (x, 1 / xi), 1 / L_ {n} (xi) ight)}$

kde

• cd () je Jacobiho eliptická kosinová funkce.
• K () je kompletní eliptický integrál prvního druhu.
• ${displaystyle L_ {n} (xi) = R_ {n} (xi, xi)}$ je diskriminační faktor, rovnající se minimální hodnotě velikosti ${displaystyle R_ {n} (xi, x)}$ pro ${displaystyle | x | geq xi}$.

V mnoha případech, zejména u objednávek formuláře n = 2^A3^b kde A a b jsou celá čísla, lze eliptické racionální funkce vyjádřit pouze pomocí algebraických funkcí. Eliptické racionální funkce úzce souvisí s Čebyševovy polynomy: Stejně jako jsou kruhové trigonometrické funkce zvláštními případy Jacobiho eliptických funkcí, jsou Čebyševovy polynomy zvláštními případy eliptických racionálních funkcí.

Výraz jako poměr polynomů

U sudých řádů lze eliptické racionální funkce vyjádřit jako poměr dvou polynomů, obou řádů n.

${displaystyle R_ {n} (xi, x) = r_ {0}, {frac {prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i})} {prod _ {i = 1} ^ { n} (x-x_ {pi})}}}$ (pro n sudých)

kde ${displaystyle x_ {i}}$ jsou nuly a ${displaystyle x_ {pi}}$ jsou póly a ${displaystyle r_ {0}}$ je normalizační konstanta zvolená tak, že ${displaystyle R_ {n} (xi, 1) = 1}$. Výše uvedený formulář by platil i pro sudé příkazy kromě toho, že u lichých příkazů bude pól x = ∞ a nula x = 0, takže výše uvedený formulář musí být upraven tak, aby četl:

${displaystyle R_ {n} (xi, x) = r_ {0}, x, {frac {prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {i})} {prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {pi})}}}$ (pro n liché)

Vlastnosti

Graf absolutní hodnoty eliptické racionální funkce třetího řádu s ξ = 1,4. Na nule je nula x = 0 a pól v nekonečnu. Protože je funkce antisymetrická, je vidět, že existují tři nuly a tři póly. Mezi nulami se funkce zvýší na hodnotu 1 a mezi póly funkce klesne na hodnotu diskriminačního faktoru L_n

Graf absolutní hodnoty eliptické racionální funkce čtvrtého řádu s ξ = 1,4. Protože je funkce symetrická, je vidět, že existují čtyři nuly a čtyři póly. Mezi nulami se funkce zvýší na hodnotu 1 a mezi póly funkce klesne na hodnotu diskriminačního faktoru L_n

Graf účinku faktoru selektivity ξ. Eliptická racionální funkce čtvrtého řádu je zobrazena s hodnotami ξ pohybujícími se od téměř jednoty po nekonečno. Černá křivka odpovídající ξ = ∞ je Čebyševův polynom řádu 4. Čím blíže je faktor selektivity jednotě, tím strmější bude sklon v přechodové oblasti mezi x = 1 a x = ξ.

Kanonické vlastnosti

• ${displaystyle R_ {n} ^ {2} (xi, x) leq 1}$ pro ${displaystyle | x | leq 1,}$
• ${displaystyle R_ {n} ^ {2} (xi, x) = 1}$ na ${displaystyle | x | = 1,}$
• ${displaystyle R_ {n} ^ {2} (xi, -x) = R_ {n} ^ {2} (xi, x)}$
• ${displaystyle R_ {n} ^ {2} (xi, x)> 1}$ pro ${displaystyle x> 1,}$
• Sklon při x = 1 je co největší
• Sklon při x = 1 je větší než odpovídající sklon Čebyševova polynomu stejného řádu.

Jedinou racionální funkcí splňující výše uvedené vlastnosti je eliptická racionální funkce (Lutovac 2001, § 13.2) chyba harv: žádný cíl: CITEREFLutovac2001 (Pomoc). Jsou odvozeny následující vlastnosti:

Normalizace

Eliptická racionální funkce je normalizována na jednotu při x = 1:

${displaystyle R_ {n} (xi, 1) = 1,}$

Vnoření majetku

Vnořená vlastnost je zapsána:

${displaystyle R_ {m} (R_ {n} (xi, xi), R_ {n} (xi, x)) = R_ {mcdot n} (xi, x),}$

Toto je velmi důležitá vlastnost:

• Li ${displaystyle R_ {n}}$ je známý pro všechny prime n, pak vlastnost vnoření dává ${displaystyle R_ {n}}$ pro všechny n. Zejména od ${displaystyle R_ {2}}$ a ${displaystyle R_ {3}}$ lze vyjádřit v uzavřené formě bez explicitního použití Jacobiho eliptických funkcí, pak všeho ${displaystyle R_ {n}}$ pro n formuláře ${displaystyle n = 2 ^ {a} 3 ^ {b}}$ lze tak vyjádřit.
• Z toho vyplývá, že pokud jsou nuly ${displaystyle R_ {n}}$ pro prime n jsou známé, nuly všech ${displaystyle R_ {n}}$ Může být nalezeno. Pomocí inverzního vztahu (viz níže) lze také najít póly.
• Vlastnost vnoření implikuje vlastnost vnoření faktoru diskriminace:

${displaystyle L_ {mcdot n} (xi) = L_ {m} (L_ {n} (xi))}$

Mezní hodnoty

Eliptické racionální funkce souvisejí s Čebyševovými polynomy prvního druhu ${displaystyle T_ {n} (x)}$ podle:

${displaystyle lim _ {xi = ightarrow, infty} R_ {n} (xi, x) = T_ {n} (x),}$

Symetrie

${displaystyle R_ {n} (xi, -x) = R_ {n} (xi, x),}$ dokonce n

${displaystyle R_ {n} (xi, -x) = - R_ {n} (xi, x),}$ pro n liché

Equiripple

${displaystyle R_ {n} (xi, x)}$ má stejné zvlnění ${displaystyle pm 1}$ v intervalu ${displaystyle -1leq xleq 1}$. Z inverzního vztahu (viz níže) z toho vyplývá ${displaystyle 1 / R_ {n} (xi, x)}$ má ekvipripple v ${displaystyle -1 / xi leq xleq 1 / xi}$ z ${displaystyle pm 1 / L_ {n} (xi)}$.

Inverzní vztah

Následující inverzní vztah platí:

${displaystyle R_ {n} (xi, xi / x) = {frac {R_ {n} (xi, xi)} {R_ {n} (xi, x)}},}$

To znamená, že póly a nuly přicházejí ve dvojicích

${displaystyle x_ {pi} x_ {zi} = xi,}$

Funkce lichého řádu budou mít nulu na x = 0 a odpovídající pól v nekonečnu.

Poláci a nuly

Nuly eliptické racionální funkce řádu n bude napsáno ${displaystyle x_ {ni} (xi)}$ nebo ${displaystyle x_ {ni}}$ když ${displaystyle xi}$ je implicitně známa. Nuly eliptické racionální funkce budou nuly polynomu v čitateli funkce.

Následující odvození nul eliptické racionální funkce je analogické s odvozením nul eliptické racionální funkce Čebyševovy polynomy (Lutovac 2001, § 12.6) chyba harv: žádný cíl: CITEREFLutovac2001 (Pomoc). S využitím skutečnosti, že pro všechny z

${displaystyle mathrm {cd} left ((2m-1) Kleft (1 / zight), {frac {1} {z}} ight) = 0,}$

definující rovnice pro eliptické racionální funkce to naznačuje

${displaystyle n {frac {K (1 / L_ {n})} {K (1 / xi)}} mathrm {cd} ^ {- 1} (x_ {m}, 1 / xi) = (2m-1) K (1 / L_ {n})}$

takže nuly jsou dány vztahem

${displaystyle x_ {m} = mathrm {cd} vlevo (K (1 / xi), {frac {2m-1} {n}}, {frac {1} {xi}} vpravo).}$

Pomocí inverzního vztahu lze potom vypočítat póly.

Z vlastnosti vnoření, pokud jsou nuly ${displaystyle R_ {m}}$ a ${displaystyle R_ {n}}$ lze vyjádřit algebraicky (tj. bez nutnosti výpočtu funkcí Jacobiho elipsy), pak nuly ${displaystyle R_ {mcdot n}}$ lze vyjádřit algebraicky. Zejména nuly eliptických racionálních funkcí řádu ${displaystyle 2 ^ {i} 3 ^ {j}}$ mohou být algebraicky vyjádřeny (Lutovac 2001, § 12.9, 13.9) chyba harv: žádný cíl: CITEREFLutovac2001 (Pomoc). Například můžeme najít nuly ${displaystyle R_ {8} (xi, x)}$ takto: Definujte

${displaystyle X_ {n} ekviv R_ {n} (xi, x) qquad L_ {n} ekviv R_ {n} (xi, xi) qquad t_ {n} ekviv {sqrt {1-1 / L_ {n} ^ { 2}}}.}$

Potom z vlastnosti vnoření a vědění toho

${displaystyle R_ {2} (xi, x) = {frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}}$

kde ${displaystyle tequiv {sqrt {1-1 / xi ^ {2}}}}$ my máme:

${displaystyle L_ {2} = {frac {1 + t} {1-t}}, qquad L_ {4} = {frac {1 + t_ {2}} {1-t_ {2}}}, qquad L_ { 8} = {frac {1 + t_ {4}} {1-t_ {4}}}}$

${displaystyle X_ {2} = {frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}, qquad X_ {4} = {frac {(t_ {2} +1) X_ {2} ^ {2} -1} {(t_ {2} -1) X_ {2} ^ {2} +1}}, qquad X_ {8} = {frac {(t_ {4} +1) X_ {4} ^ {2} -1} {(t_ {4} -1) X_ {4} ^ {2} +1}}.}$

Tyto poslední tři rovnice mohou být obráceny:

${displaystyle x = {frac {1} {pm {sqrt {1 + t, left ({frac {1-X_ {2}} {1 + X_ {2}}} ight)}}}}, qquad X_ {2 } = {frac {1} {pm {sqrt {1 + t_ {2}, left ({frac {1-X_ {4}} {1 + X_ {4}}} ight)}}}}, qquad X_ { 4} = {frac {1} {pm {sqrt {1 + t_ {4}, left ({frac {1-X_ {8}} {1 + X_ {8}}} ight)}}}}. Qquad}$

Pro výpočet nul ${displaystyle R_ {8} (xi, x)}$ jsme si stanovili ${displaystyle X_ {8} = 0}$ ve třetí rovnici vypočítáme dvě hodnoty ${displaystyle X_ {4}}$, pak použijte tyto hodnoty ${displaystyle X_ {4}}$ ve druhé rovnici vypočítat čtyři hodnoty ${displaystyle X_ {2}}$ a nakonec použijte tyto hodnoty v první rovnici k výpočtu osmi nul ${displaystyle R_ {8} (xi, x)}$. (The ${displaystyle t_ {n}}$ jsou počítány podobnou rekurzí.) Opět pomocí inverzního vztahu lze tyto nuly použít k výpočtu pólů.

Zvláštní hodnoty

Můžeme napsat prvních několik eliptických racionálních funkcí jako:

${displaystyle R_ {1} (xi, x) = x,}$

${displaystyle R_ {2} (xi, x) = {frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}}$

kde

${displaystyle tequiv {sqrt {1- {frac {1} {xi ^ {2}}}}}}$

${displaystyle R_ {3} (xi, x) = x, {frac {(1-x_ {p} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {z} ^ {2})} {(1- x_ {z} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {p} ^ {2})}}}$

kde

${displaystyle Gequiv {sqrt {4xi ^ {2} + (4xi ^ {2} (xi ^ {2}! -! 1)) ^ {2/3}}}}$

${displaystyle x_ {p} ^ {2} equiv {frac {2xi ^ {2} {sqrt {G}}} {{sqrt {8xi ^ {2} (xi ^ {2}! +! 1) + 12Gxi ^ { 2} -G ^ {3}}} - {sqrt {G ^ {3}}}}}}$

${displaystyle x_ {z} ^ {2} = xi ^ {2} / x_ {p} ^ {2}}$

${displaystyle R_ {4} (xi, x) = R_ {2} (R_ {2} (xi, xi), R_ {2} (xi, x)) = {frac {(1 + t) (1+ { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1+ {sqrt {t}}) x ^ {2} +1} {(1 + t) (1- { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1- {sqrt {t}}) x ^ {2} +1}}}$

${displaystyle R_ {6} (xi, x) = R_ {3} (R_ {2} (xi, xi), R_ {2} (xi, x)),}$ atd.

Vidět Lutovac (2001, § 13) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFLutovac2001 (Pomoc) pro další výslovné vyjádření objednávky n = 5 a ${displaystyle n = 2 ^ {i}, 3 ^ {j}}$.

Odpovídající diskriminační faktory jsou:

${displaystyle L_ {1} (xi) = xi,}$

${displaystyle L_ {2} (xi) = {frac {1 + t} {1-t}} = vlevo (xi + {sqrt {xi ^ {2} -1}} vpravo) ^ {2}}$

${displaystyle L_ {3} (xi) = xi ^ {3} vlevo ({frac {1-x_ {p} ^ {2}} {xi ^ {2} -x_ {p} ^ {2}}} vpravo) ^ {2}}$

${displaystyle L_ {4} (xi) = left ({sqrt {xi}} + (xi ^ {2} -1) ^ {1/4} ight) ^ {4} left (xi + {sqrt {xi ^ { 2} -1}} hned) ^ {2}}$

${displaystyle L_ {6} (xi) = L_ {3} (L_ {2} (xi)),}$ atd.

Odpovídající nuly jsou ${displaystyle x_ {nj}}$ kde n je objednávka a j je číslo nuly. Bude celkem n nuly pro každou objednávku.

${displaystyle x_ {11} = 0,}$

${displaystyle x_ {21} = xi {sqrt {1-t}},}$

${displaystyle x_ {22} = - x_ {21},}$

${displaystyle x_ {31} = x_ {z},}$

${displaystyle x_ {32} = 0,}$

${displaystyle x_ {33} = - x_ {31},}$

${displaystyle x_ {41} = xi {sqrt {left (1- {sqrt {t}} ight) left (1 + t- {sqrt {t (t + 1)}} ight)}},}$

${displaystyle x_ {42} = xi {sqrt {left (1- {sqrt {t}} ight) left (1 + t + {sqrt {t (t + 1)}} ight)}},}$

${displaystyle x_ {43} = - x_ {42},}$

${displaystyle x_ {44} = - x_ {41},}$

Z inverzního vztahu odpovídající póly ${displaystyle x_ {p, ni}}$ lze najít ${displaystyle x_ {p, ni} = xi / (x_ {ni})}$

Reference

• MathWorld
• Daniels, Richard W. (1974). Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. New York: McGraw-Hill. ISBN  0-07-015308-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lutovac, Miroslav D .; Tošić, Dejan V .; Evans, Brian L. (2001). Návrh filtru pro zpracování signálu pomocí MATLAB © a Mathematica ©. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN  0-201-36130-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)