Sallen – klíčová topologie - Sallen–Key topology

The Sallen – klíčová topologie je topologie elektronického filtru slouží k realizaci druhá objednávka aktivní filtry to je zvláště ceněné pro jeho jednoduchost.^[1] Je to degenerovat forma a napěťově řízený zdroj napětí (VCVS) topologie filtru.

Vysvětlení činnosti

Filtr VCVS používá napěťový zesilovač s prakticky nekonečným vstupní impedance a nula výstupní impedance implementovat a 2-pólový dolní propust, horní propust, pásmová propust, bandstop nebo allpass Odezva. Filtr VCVS umožňuje vysoký Q faktor a propustné pásmo zisk bez použití induktory. Filtr VCVS má také tu výhodu nezávislosti: filtry VCVS lze kaskádovat, aniž by fáze ovlivňovaly vzájemné ladění. Filtr Sallen – Key je variace na filtr VCVS, který používá a jednotný zisk napětí zesilovač (tj. čistý vyrovnávací zesilovač ). To bylo představeno R. P. Sallen a E. L. Key z MIT Lincolnova laboratoř v roce 1955.^[2]

Historie a implementace

V roce 1955 použili Sallen a Key elektronka sledovač katody zesilovače; sledovač katody je rozumnou aproximací zesilovače se ziskem jednotkového napětí. Mohou použít moderní implementace analogových filtrů operační zesilovače. Díky vysoké vstupní impedanci a snadno volitelnému zisku je operační zesilovač v konvenčním provedení neinvertující konfigurace se často používá v implementacích VCVS.^{[Citace je zapotřebí ]} Implementace filtrů Sallen – Key často používá operační zesilovač nakonfigurovaný jako sledovač napětí; nicméně, emitor nebo zdroj následovníci jsou další běžnou volbou pro vyrovnávací zesilovač.

Citlivost na tolerance komponent

Filtry VCVS jsou vůči součásti relativně odolné tolerance, ale získání vysokého faktoru Q může vyžadovat extrémní rozptyl hodnoty komponenty nebo vysoký zisk zesilovače.^[1] Filtry vyššího řádu lze získat kaskádováním dvou nebo více stupňů.

Obecná topologie Sallen – Key

Obrázek 1: Obecná topologie filtru Sallen – Key

Obecná topologie filtru jednoty a zisku Sallen – Key implementovaná se ziskem jednoty operační zesilovač je znázorněno na obrázku 1. Následující analýza je založena na předpokladu, že operační zesilovač je ideální.

Protože operační zesilovač (OA) je v a negativní zpětná vazba konfigurace, její proti₊ a proti₋ vstupy se musí shodovat (tj. proti₊ = proti₋). Avšak invertující vstup proti₋ je připojen přímo k výstupu proti_vena tak

{ displaystyle v _ {+} = v _ {-} = v _ { text {out}}.}

(1)

Podle Kirchhoffův současný zákon (KCL) aplikovaný na proti_X uzel,

{ displaystyle { frac {v _ { text {in}} - v_ {x}} {Z_ {1}}} = { frac {v_ {x} -v _ { text {out}}} {Z_ { 3}}} + { frac {v_ {x} -v _ {-}} {Z_ {2}}}.}

(2)

Kombinací rovnic (1) a (2)

{ displaystyle { frac {v _ { text {in}} - v_ {x}} {Z_ {1}}} = { frac {v_ {x} -v _ { text {out}}} {Z_ { 3}}} + { frac {v_ {x} -v _ { text {out}}} {Z_ {2}}}.}

Použití rovnice (1) a KCL na neinvertujícím vstupu OA proti₊ dává

{ displaystyle { frac {v_ {x} -v _ { text {out}}} {Z_ {2}}} = { frac {v _ { text {out}}} {Z_ {4}}}, }

což znamená, že

{ displaystyle v_ {x} = v _ { text {out}} vlevo ({ frac {Z_ {2}} {Z_ {4}}} + 1 vpravo).}

(3)

Kombinace rovnic (2) a (3) dává

{ displaystyle { frac {v _ { text {in}} - v _ { text {out}} vlevo ({ frac {Z_ {2}} {Z_ {4}}} + 1 vpravo)} { Z_ {1}}} = { frac {v _ { text {out}} left ({ frac {Z_ {2}} {Z_ {4}}} + 1 right) -v _ { text {out }}} {Z_ {3}}} + { frac {v _ { text {out}} left ({ frac {Z_ {2}} {Z_ {4}}} + 1 right) -v_ { text {out}}} {Z_ {2}}}.}

(4)

Přeskupení rovnice (4) dává přenosová funkce

{ displaystyle { frac {v _ { text {out}}} {v _ { text {in}}}} = { frac {Z_ {3} Z_ {4}} {Z_ {1} Z_ {2} + Z_ {3} (Z_ {1} + Z_ {2}) + Z_ {3} Z_ {4}}},}

(5)

což obvykle popisuje druhý řád lineární časově invariantní (LTI) systém.

Pokud ${ displaystyle Z_ {3}}$ součást byla připojena k zemi, filtr by byl a dělič napětí složený z ${ displaystyle Z_ {1}}$ a ${ displaystyle Z_ {3}}$ komponenty kaskádově uspořádané s jiným děličem napětí složeným z ${ displaystyle Z_ {2}}$ a ${ displaystyle Z_ {4}}$ komponenty. Vyrovnávací paměť bootstrapy "spodní" část ${ displaystyle Z_ {3}}$ komponentu na výstup filtru, což vylepší jednoduchý případ se dvěma děliči. Tato interpretace je důvodem, proč jsou filtry Sallen – Key často kresleny neinvertujícím vstupem operačního zesilovače pod invertujícím vstupem, čímž se zdůrazňuje podobnost mezi výstupem a zemí.

Impedance větví

Výběrem jiného pasivní komponenty (např., rezistory a kondenzátory ) pro ${ displaystyle Z_ {1}}$ , ${ displaystyle Z_ {2}}$ , ${ displaystyle Z_ {4}}$ , a ${ displaystyle Z_ {3}}$ , filtr lze vyrobit pomocí dolní propust, pásmová propust, a horní propust charakteristiky. V níže uvedených příkladech si pamatujte, že rezistor s odpor ${ displaystyle R}$ má impedance ${ displaystyle Z_ {R}}$ z

{ displaystyle Z_ {R} = R,}

a kondenzátor s kapacita ${ displaystyle C}$ má impedanci ${ displaystyle Z_ {C}}$ z

{ displaystyle Z_ {C} = { frac {1} {sC}},}

kde ${ displaystyle s = j omega = 2 pi jf}$ (tady ${ displaystyle j}$ označuje imaginární jednotka ) je komplex úhlová frekvence, a ${ displaystyle f}$ je frekvence čistého sinusoida vstup. To znamená, že impedance kondenzátoru je závislá na frekvenci a impedance rezistoru nikoli.

Použití: dolní propust

Obrázek 2: Nízkoprůchodový filtr jednotného zisku implementovaný s topologií Sallen – Key

Příklad konfigurace nízkoprůchodového zesílení jednoty je zobrazen na obrázku 2. An operační zesilovač zde se používá jako vyrovnávací paměť, ačkoli sledovač emitorů je také efektivní. Tento obvod je ekvivalentní výše uvedenému obecnému případu s

{ displaystyle Z_ {1} = R_ {1}, quad Z_ {2} = R_ {2}, quad Z_ {3} = { frac {1} {sC_ {1}}}, quad Z_ { 4} = { frac {1} {sC_ {2}}}.}

The přenosová funkce pro tento low-pass filtr druhého řádu s jednotným ziskem je

{ displaystyle H (s) = { frac { omega _ {0} ^ {2}} {s ^ {2} +2 alpha s + omega _ {0} ^ {2}}},}

Kde netlumená vlastní frekvence ${ displaystyle f_ {0}}$ , útlum ${ displaystyle alpha}$ , Q faktor ${ displaystyle Q}$ , a poměr tlumení ${ displaystyle zeta}$ , jsou dány

{ displaystyle omega _ {0} = 2 pi f_ {0} = { frac {1} { sqrt {R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}}}}}

a

{ displaystyle 2 alpha = 2 zeta omega _ {0} = { frac { omega _ {0}} {Q}} = { frac {1} {C_ {1}}} vlevo ({ frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} vpravo) = { frac {1} {C_ {1}}} vlevo ({ frac { R_ {1} + R_ {2}} {R_ {1} R_ {2}}} vpravo).}

Tak,

{ displaystyle Q = { frac { omega _ {0}} {2 alpha}} = { frac { sqrt {R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}}} {C_ {2} left (R_ {1} + R_ {2} right)}}.}

The ${ displaystyle Q}$ faktor určuje výšku a šířku píku frekvenční odezva filtru. Jak se tento parametr zvyšuje, bude mít filtr tendenci „zvonit“ najednou rezonanční frekvence u ${ displaystyle f_ {0}}$ (viz „LC filtr "pro související diskusi).

Poláci a nuly

Tato přenosová funkce nemá žádné (konečné) nuly a dvě póly nachází se v komplexu s-letadlo:

{ displaystyle s = - alpha pm { sqrt { alpha ^ {2} - omega _ {0} ^ {2}}}.}

Existují dvě nuly v nekonečnu (přenosová funkce jde na nulu pro každou z s termíny ve jmenovateli).

Možnosti designu

A návrhář musí zvolit ${ displaystyle Q}$ a ${ displaystyle f_ {0}}$ vhodné pro jejich použití ${ displaystyle Q}$ hodnota je rozhodující při určování konečného tvaru, například druhého řádu Butterworthův filtr, který má maximálně plochý kmitočtový rozsah pásma, má a ${ displaystyle Q}$ z ${ displaystyle 1 / { sqrt {2}}}$ Porovnáním, hodnota ${ displaystyle Q = 1/2}$ odpovídá sériové kaskádě dvou identických jednoduchých dolních propustí.

Protože existují 2 parametry a 4 neznámé, návrhový postup obvykle opravuje poměr mezi oběma rezistory i mezi kondenzátory. Jednou z možností je nastavit poměr mezi ${ displaystyle C_ {1}}$ a ${ displaystyle C_ {2}}$ tak jako ${ displaystyle n}$ proti ${ displaystyle 1 / n}$ a poměr mezi ${ displaystyle R_ {1}}$ a ${ displaystyle R_ {2}}$ tak jako ${ displaystyle m}$ proti ${ displaystyle 1 / m}$ . Tak,

{ displaystyle { begin {sladěno} R_ {1} & = mR, R_ {2} & = R / m, C_ {1} & = nC, C_ {2} & = C / n . end {zarovnáno}}}

V důsledku toho ${ displaystyle f_ {0}}$ a ${ displaystyle Q}$ výrazy jsou redukovány na

{ displaystyle omega _ {0} = 2 pi f_ {0} = { frac {1} {RC}}}

a

{ displaystyle Q = { frac {mn} {m ^ {2} +1}}.}

Obrázek 3: Nízkoprůchodový filtr, který je implementován pomocí topologie Sallen – Key, s F_C = 15,9 kHz a Q = 0.5

Počínaje více či méně libovolnou volbou např. C a n lze příslušné hodnoty pro R am vypočítat ve prospěch požadovaného ${ displaystyle f_ {0}}$ a ${ displaystyle Q}$ . V praxi budou určité volby hodnot komponent fungovat lépe než jiné kvůli neideálnosti skutečných operačních zesilovačů.^[3] Například vysoké hodnoty rezistorů zvýší produkci šumu obvodu a současně přispějí k DC offsetovému napětí na výstupu opamps vybavených bipolárními vstupními tranzistory.

Příklad

Například obvod na obrázku 3 má ${ displaystyle f_ {0} = 20 ~ { text {kHz}}}$ a ${ displaystyle Q = 0,5}$ . The přenosová funkce darováno

{ displaystyle H (s) = { frac {1} {1+ underbrace {C_ {2} (R_ {1} + R_ {2})} _ {{ frac {2 zeta} { omega _ {0}}} = { frac {1} { omega _ {0} Q}}} s + underbrace {C_ {1} C_ {2} R_ {1} R_ {2}} _ { frac {1 } { omega _ {0} ^ {2}}} s ^ {2}}},}

a po substituci se tento výraz rovná

{ displaystyle H (s) = { frac {1} {1+ underbrace { frac {RC (m + 1 / m)} {n}} _ {{ frac {2 zeta} { omega _ {0}}} = { frac {1} { omega _ {0} Q}}} s + underbrace {R ^ {2} C ^ {2}} _ { frac {1} {{ omega _ {0}} ^ {2}}} s ^ {2}}},}

který ukazuje, jak každý ${ displaystyle (R, C)}$ kombinace přichází s některými ${ displaystyle (m, n)}$ kombinace poskytnout stejné ${ displaystyle f_ {0}}$ a ${ displaystyle Q}$ pro dolní propust. Podobný návrhový přístup se používá pro další filtry níže.

Vstupní impedance

Konstruktéři také zajímají vstupní impedanci nízkoprůchodového filtru jednotného zisku Sallen – Key druhého řádu. Je to dáno rovnicí. (3) v Cartwright a Kaminsky^[4] tak jako

{ displaystyle Z (s) = R_ {1} { frac {s '^ {2} + s' / Q + 1} {s '^ {2} + s'k / Q}},}

kde ${ displaystyle s '= { frac {s} { omega _ {0}}}}$ a ${ displaystyle k = { frac {R_ {1}} {R_ {1} + R_ {2}}} = { frac {m} {m + 1 / m}}}$ .

Dále pro ${ displaystyle Q> { sqrt { frac {1-k ^ {2}} {2}}}}$ , existuje minimální hodnota velikosti impedance dané Eq. (16) Cartwright a Kaminsky,^[4] který to uvádí

{ displaystyle | Z (s) | _ { text {min}} = R_ {1} { sqrt {1 - { frac {(2Q ^ {2} + k ^ {2} -1) ^ {2 }} {2Q ^ {4} + k ^ {2} (2Q ^ {2} + k ^ {2} -1) ^ {2} + 2Q ^ {2} { sqrt {Q ^ {4} + k ^ {2} (2Q ^ {2} + k ^ {2} -1)}}}}}}}

Naštěstí je tato rovnice dobře aproximována^[4]

{ displaystyle | Z (s) | _ { text {min}} přibližně R_ {1} { sqrt { frac {1} {Q ^ {2} + k ^ {2} +0,34}}}}

pro ${ Displaystyle 0,25 leq k leq 0,75}$ . Pro ${ displaystyle k}$ hodnoty mimo tento rozsah, musí být 0,34 konstanta upravena pro minimální chybu.

Rovněž frekvence, při které dochází k minimální impedanční velikosti, je dána rovnicí. (15) Cartwright a Kaminsky,^[4] tj.,

{ displaystyle omega _ { text {min}} = omega _ {0} { sqrt { frac {Q ^ {2} + { sqrt {Q ^ {4} + k ^ {2} (2Q ^ {2} + k ^ {2} -1)}}} {2Q ^ {2} + k ^ {2} -1}}}.}

Tuto rovnici lze také dobře aproximovat pomocí rovnice. (20) Cartwright a Kaminsky,^[4] který to uvádí

{ displaystyle omega _ { text {min}} přibližně omega _ {0} { sqrt { frac {2Q ^ {2}} {2Q ^ {2} + k ^ {2} -1}} }.}

Použití: horní propust

Obrázek 4: Specifický horní propustný filtr Sallen – Key s F_C = 72 Hz a Q = 0.5

High-pass filtr druhého řádu s jednotným ziskem ${ displaystyle f_ {0} = 72 ~ { text {Hz}}}$ a ${ displaystyle Q = 0,5}$ je znázorněno na obrázku 4.

Vysokopásmový filtr jednotného zesílení druhého řádu má přenosovou funkci

{ displaystyle H (s) = { frac {s ^ {2}} {s ^ {2} + podpažba {2 pi left ({ frac {f_ {0}} {Q}} right) } _ {2 zeta omega _ {0} = { frac { omega _ {0}} {Q}}} s + underbrace {(2 pi f_ {0}) ^ {2}} _ { omega _ {0} ^ {2}}}},}

kde netlumená vlastní frekvence ${ displaystyle f_ {0}}$ a ${ displaystyle Q}$ faktor jsou diskutovány výše v dolní propust diskuse. Výše uvedený obvod implementuje tuto přenosovou funkci pomocí rovnic

{ displaystyle omega _ {0} = 2 pi f_ {0} = { frac {1} { sqrt {R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}}}}}

(jako dříve) a

{ displaystyle { frac {1} {2 zeta}} = Q = { frac { omega _ {0}} {2 alpha}} = { frac { sqrt {R_ {1} R_ {2 } C_ {1} C_ {2}}} {R_ {1} (C_ {1} + C_ {2})}}.}

Tak

{ displaystyle 2 alpha = 2 zeta omega _ {0} = { frac { omega _ {0}} {Q}} = { frac {C_ {1} + C_ {2}} {R_ { 2} C_ {1} C_ {2}}}.}

Postupujte podobně jako v případě výše uvedeného nízkoprůchodového filtru.

Použití: pásmový filtr

Obrázek 5: Pásmový filtr realizovaný s topologií VCVS

Příklad filtru pásmové propustnosti nejednotnosti implementovaného s filtrem VCVS je uveden na obrázku 5. Ačkoli používá jinou topologii a operační zesilovač nakonfigurovaný tak, aby poskytoval nerovnoměrný zisk, lze jej analyzovat pomocí podobných metod jako u the obecná topologie Sallen – Key. Jeho přenosová funkce je dána vztahem