Ekvivalentní impedanční transformace - Equivalent impedance transforms

An ekvivalentní impedance je ekvivalentní obvod z elektrická síť z impedance elementy^{[poznámka 2]} což představuje stejnou impedanci mezi všemi páry svorek^{[poznámka 10]} stejně jako daná síť. Tento článek popisuje matematické transformace mezi některými pasivní, lineární impedanční sítě běžně vyskytující se v elektronických obvodech.

Existuje řada velmi dobře známých a často používaných ekvivalentních obvodů v lineárních síťová analýza. Tyto zahrnují rezistory v sérii, rezistory paralelně a rozšíření na sériové a paralelní obvody pro kondenzátory, induktory a obecné impedance. Také dobře známé jsou Norton a Thévenin ekvivalentní obvody generátoru proudu a generátoru napětí, stejně jako Transformace Y-Δ. Žádná z nich zde není podrobně diskutována; jednotlivé odkazované články by měly být konzultovány.

Počet ekvivalentních obvodů, na které lze lineární síť transformovat, je neomezený. I v těch nejtriviálnějších případech to lze považovat za pravdivé, například dotazem, kolik různých kombinací rezistorů paralelně odpovídá danému kombinovanému odporu. Počet řadových a paralelních kombinací, které lze vytvořit, exponenciálně roste s počtem rezistorů, n. Pro velké n pomocí numerických technik bylo zjištěno, že velikost sady je přibližně 2,53ⁿ a analyticky přísné hranice jsou dány a Farey sekvence z Fibonacciho čísla.^[1] Tento článek by nikdy nemohl doufat, že bude komplexní, ale existuje několik možných zobecnění. Wilhelm Cauer našel transformaci, která by mohla vygenerovat všechny možné ekvivalenty dané racionální,^{[poznámka 9]} pasivní, lineární jeden port,^{[poznámka 8]} nebo jinými slovy jakákoli daná dvoukoncová impedance. Transformace 4-terminálu, zejména 2-port, sítě se také běžně vyskytují a jsou možné transformace ještě složitějších sítí.

Obrovský rozsah tématu ekvivalentních obvodů je zdůrazněn v příběhu vyprávěném Sidney Darlington. Podle Darlingtona našel velký počet ekvivalentních obvodů Ronald M. Foster, následovat jeho a George Campbell Dokument z roku 1920 o nedisipativních čtyřech portech. V průběhu této práce se zabývali způsoby, jak lze propojit čtyři porty s ideálními transformátory^{[poznámka 5]} a maximální přenos síly. Našli řadu kombinací, které by mohly mít praktické aplikace, a zeptali se AT&T patentové oddělení a nechat si je patentovat. Patentové oddělení odpovědělo, že je zbytečné pouze patentovat některé okruhy, pokud by konkurent mohl použít ekvivalentní obvod k obcházení patentu; měli by si je všechny patentovat nebo se neobtěžovat. Foster se proto pustil do výpočtu každého posledního z nich. Dosáhl enormního součtu 83 539 ekvivalentů (577 722, pokud jsou zahrnuty různé výstupní poměry). To bylo příliš mnoho na patentování, takže místo toho byly informace uvolněny do veřejné sféry, aby se zabránilo tomu, aby si je v budoucnu patentoval jakýkoli konkurent AT&T.^[2][3]

2-terminální, 2-elementové sítě

Jedna impedance má dvě svorky pro připojení k vnějšímu světu, a proto ji lze popsat jako 2-koncovou nebo jeden port, síť. Navzdory jednoduchému popisu není počet ok omezen,^{[poznámka 6]} a tudíž složitost a počet prvků, které může mít impedanční síť. 2-prvkový druh^{[poznámka 4]} sítě jsou v designu obvodů běžné; filtry jsou například často LC - laskavé sítě a tištěný obvod návrháři upřednostňují RC - laskavé sítě, protože induktory jsou méně snadno vyrobitelné. Transformace jsou jednodušší a snáze k nalezení než u sítí typu 3-element. Sítě jednoho druhu lze považovat za speciální případ druhu dvou prvků. Je možné použít transformace v této části na několika málo sítích typu 3-elementů nahrazením sítě prvků za prvek Z_n. To je však omezeno na maximálně dvě nahrazované impedance; zbytek nebude svobodnou volbou. Všechny transformační rovnice uvedené v této části jsou způsobeny Otto Zobel.^[4]

3prvkové sítě

Jednoprvkové sítě jsou triviální a dvouprvkové,^{[Poznámka 3]} dvouterminální sítě jsou buď dva prvky v sérii nebo dva prvky paralelně, také triviální. Nejmenší počet prvků, které nejsou triviální, jsou tři a jsou možné dvě netriviální transformace typu 2 prvků, přičemž jedna je reverzní transformací i topologickou dvojí, toho druhého.^[5]

Popis	Síť	Transformujte rovnice	Transformovaná síť
Transformace 1.1 Transformace 1.2 je opakem této transformace.		${ displaystyle p_ {1} = 1 + m_ {1} ,}$  ${ displaystyle p_ {2} = m_ {1} (1 + m_ {1}) ,}$  ${ displaystyle p_ {3} = (1 + m_ {1}) ^ {2} .}$
Transformace 1.2 Zpětná transformace a topologická duální transformace 1.1.		${ displaystyle p_ {1} = { frac {{m_ {1}} ^ {2}} {1 + m_ {1}}} ,}$  ${ displaystyle p_ {2} = { frac {m_ {1}} {1 + m_ {1}}} ,}$  ${ displaystyle p_ {3} = vlevo ({ frac {m_ {1}} {1 + m_ {1}}} vpravo) ^ {2} .}$
Příklad 1. Příklad Transformace 1.2. Zmenšená velikost induktoru má praktické výhody.		${ displaystyle m_ {1} = 0,5 ,}$  ${ displaystyle p_ {1} = textový styl { frac {1} {6}} ,}$ ${ displaystyle p_ {2} = textový styl { frac {1} {3}} ,}$ ${ displaystyle p_ {3} = textový styl { frac {1} {9}} .}$

4prvkové sítě

Existují čtyři netriviální 4prvkové transformace pro sítě typu 2-element. Dvě z nich jsou reverzní transformace ostatních dvou a dvě jsou duální z různých dvou. Ve zvláštním případě jsou možné další transformace Z₂ byl vyroben stejný druh prvku jako Z₁, tj. když je síť redukována na jeden druh. Počet možných sítí stále roste se zvyšujícím se počtem prvků. Je definována pro všechny položky v následující tabulce:^[6]

Popis	Síť	Transformujte rovnice	Transformovaná síť
Transformace 2.1 Transformace 2.2 je opakem této transformace. Transformace 2.3 je topologickým duálem této transformace.		${ displaystyle p_ {1} = { frac {q_ {1} + q_ {2}} {2q_ {5}}} ,}$ ${ displaystyle p_ {2} = { frac {q_ {1} -q_ {2}} {2q_ {4}}} ,}$ ${ displaystyle p_ {3} = { frac {m_ {2}} {q_ {5}}} ,}$ ${ displaystyle p_ {4} = { frac {m_ {2}} {q_ {4}}} .}$
Transformace 2.2 Transformace 2.1 je opakem této transformace. Transformace 2.4 je topologický duální této transformace.		${ displaystyle p_ {1} = { frac {1} {q_ {3} (1 + m_ {2})}} ,}$ ${ displaystyle p_ {2} = { frac {m_ {1}} {1 + m_ {1}}} ,}$ ${ displaystyle p_ {3} = { frac {1} {q_ {3} (1 + m_ {1})}} ,}$ ${ displaystyle p_ {4} = { frac {m_ {2}} {1 + m_ {2}}} .}$
Transformace 2.3 Transformace 2.4 je opakem této transformace. Transformace 2.1 je topologický duální této transformace.		${ displaystyle p_ {1} = { frac {q_ {4} (q_ {1} + q_ {2})} {2m_ {2}}} ,}$ ${ displaystyle p_ {2} = { frac {q_ {5} (q_ {1} -q_ {2})} {2m_ {2}}} ,}$ ${ displaystyle p_ {3} = q_ {4} ,}$ ${ displaystyle p_ {4} = q_ {5} .}$
Transformace 2.4 Transformace 2.3 je opakem této transformace. Transformace 2.2 je topologický duální této transformace.		${ displaystyle p_ {1} = 1 + m_ {1} ,}$ ${ displaystyle p_ {2} = m_ {1} q_ {3} (1 + m_ {1}) ,}$ ${ displaystyle p_ {3} = 1 + m_ {2} ,}$ ${ displaystyle p_ {4} = m_ {1} q_ {3} (1 + m_ {2}) .}$
Příklad 2. Příklad Transformace 2.2.		${ displaystyle m_ {1} = 3 ,}$ ${ displaystyle m_ {2} = 1 ,}$ ${ displaystyle q_ {3} = 2 ,}$ ${ displaystyle p_ {1} = textový styl { frac {1} {4}} ,}$ ${ displaystyle p_ {2} = textový styl { frac {3} {4}} ,}$ ${ displaystyle p_ {3} = textový styl { frac {1} {8}} ,}$ ${ displaystyle p_ {4} = textový styl { frac {1} {2}} .}$

2-terminální, n- prvek, sítě tří prvků

Obr. 1. Jednoduchý příklad sítě impedancí využívajících pouze kvůli jasnosti rezistory. Analýza sítí s dalšími impedančními prvky však probíhá podle stejných principů. Jsou zobrazena dvě oka s čísly v kruzích. Součet impedancí kolem každé sítě, p, bude tvořit úhlopříčku vstupů matice, Z_str. Impedance větví sdílených dvěma sítěmi, p a q, vytvoří položky -Z_pq. Z_pq, p ≠ q, bude mít vždy znaménko minus za předpokladu, že konvence smyčkové proudy jsou definovány ve stejném (konvenčně proti směru hodinových ručiček) směru a síť neobsahuje žádné ideální transformátory nebo vzájemné induktory.

Jednoduché sítě s několika prvky lze řešit formulováním síťových rovnic „ručně“ s použitím jednoduchých vět o síti, jako je Kirchhoffovy zákony. Ekvivalence je prokázána mezi dvěma sítěmi přímým porovnáním dvou sad rovnic a rovnic koeficienty. U velkých sítí jsou vyžadovány výkonnější techniky. Běžným přístupem je začít vyjádřením sítě impedancí jako a matice. Tento přístup je vhodný pouze pro racionální^{[poznámka 9]} sítí. Jakákoli síť, která zahrnuje distribuované prvky, jako je a přenosové vedení, nemůže být reprezentován konečnou maticí. Obecně platí, že n-pletivo^{[poznámka 6]} síť vyžaduje nXn matice, která ji reprezentuje. Například by mohla vypadat matice pro síť se 3 oky

${ displaystyle mathbf {[Z]} = { begin {bmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} & Z_ {13} Z_ {21} & Z_ {22} & Z_ {23} Z_ {31} & Z_ {32} & Z_ {33} end {bmatrix}}}$

Položky matice se volí tak, aby matice tvořila systém lineární rovnice v síťových napětích a proudech (podle definice pro analýza sítě ):

${ displaystyle mathbf {[V]} = mathbf {[Z] [I]}}$

Příkladový diagram na obrázku 1 může být například reprezentován jako impedanční matice pomocí

${ displaystyle mathbf {[Z]} = { begin {bmatrix} R_ {1} + R_ {2} & - R_ {2} - R_ {2} & R_ {2} + R_ {3} end {bmatrix}}}$

a přidružený systém lineárních rovnic je

${ displaystyle { begin {bmatrix} V_ {1} 0 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} R_ {1} + R_ {2} & - R_ {2} - R_ {2 } & R_ {2} + R_ {3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I_ {1} I_ {2} end {bmatrix}}}$

V nejobecnějším případě každá větev^{[poznámka 1]} Z_str sítě může být složen ze tří prvků tak, že

${ displaystyle Z _ { mathrm {p}} = sL _ { mathrm {p}} + R _ { mathrm {p}} + {1 over sC _ { mathrm {p}}}}$

kde L, R a C zastupovat indukčnost, odpor, a kapacita respektive a s je komplexní frekvence operátor ${ displaystyle scriptstyle s = sigma + i omega}$.

Toto je konvenční způsob vyjádření obecné impedance, ale pro účely tohoto článku je matematicky výhodnější se s ním vypořádat pružnost, D, inverzní kapacita, C. V těchto termínech může být obecná impedance větve reprezentována

${ displaystyle sZ _ { mathrm {p}} = s ^ {2} L _ { mathrm {p}} + sR _ { mathrm {p}} + D _ { mathrm {p}} , !}$

Podobně každý vstup do impedanční matice může sestávat ze součtu tří prvků. V důsledku toho může být matice rozložena na tři nXn matice, jedna pro každý ze tří druhů prvků:

${ displaystyle s mathbf {[Z]} = s ^ {2} mathbf {[L]} + s mathbf {[R]} + mathbf {[D]}}$

Je žádoucí, aby matice [Z] představují impedanci, Z(s). Za tímto účelem se smyčka jedné ze sítí odstřihne a Z(s) je impedance měřená mezi takto vyříznutými body. Je obvyklé předpokládat, že externí port připojení je v síti 1, a je tedy připojen přes vstup matice Z₁₁, i když by bylo naprosto možné to formulovat s připojením k libovolným požadovaným uzlům.^{[poznámka 7]} V následující diskusi Z(s) vzato Z₁₁ předpokládá se. Z(s) lze vypočítat z [Z] od^[7]

${ displaystyle Z (s) = { frac {| mathbf {Z} |} {z_ {11}}}}$

kde z₁₁ je doplněk z Z₁₁ a |Z| je určující z [Z].

Pro příklad výše uvedené sítě

Tento výsledek lze snadno ověřit, že je správnější přímější metodou rezistorů v sérii a paralelně. Tyto metody se však rychle stávají zdlouhavými a těžkopádnými s růstem velikosti a složitosti analyzované sítě.

Záznamy [R], [L] a [D] nelze nastavit libovolně. Pro [Z] být schopen realizovat impedanci Z(s) pak [R],[L] a [D] všichni musí být pozitivně definitivní matice. Dokonce i tehdy byla realizace Z(s) bude obecně obsahovat ideální transformátory^{[poznámka 5]} v rámci sítě. Nalezení pouze těch transformací, které nevyžadují vzájemné indukčnosti nebo ideální transformátory je obtížnější úkol. Podobně, pokud začíná od „druhého konce“ a určuje výraz pro Z(s), to opět nelze učinit svévolně. Být realizovatelný jako racionální impedance, Z(s) musí být pozitivní-skutečný. Pozitivní reálný stav (PR) je nezbytný i dostatečný^[8] ale mohou existovat praktické důvody pro odmítnutí některých topologie.^[7]

Obecná impedanční transformace pro nalezení ekvivalentních racionálních one-portů z dané instance [Z] je to kvůli Wilhelm Cauer. Skupina skutečných afinní transformace

${ displaystyle mathbf {[Z ']} = mathbf {[T]} ^ {T} mathbf {[Z]} mathbf {[T]}}$

kde

${ displaystyle mathbf {[T]} = { begin {bmatrix} 1 & 0 cdots 0 T_ {21} & T_ {22} cdots T_ {2n} cdot & cdots T_ {n1} & T_ {n2} cdots T_ {nn} end {bmatrix}}}$

je neměnný v Z(s). To znamená, že všechny transformované sítě jsou ekvivalenty podle zde uvedené definice. Pokud Z(s) protože počáteční daná matice je realizovatelná, to znamená, že splňuje podmínku PR, pak všechny transformované sítě vytvořené touto transformací splní také podmínku PR.^[7]

3 a 4-terminální sítě

Obr. Síť se 4 terminály propojená porty (nahoře) má v každé dvojici terminálů stejné a opačné proudy. Spodní síť nesplňuje podmínku portu a nelze ji považovat za 2portovou. Mohlo by to však být považováno za nevyvážený 3-port rozdělením jednoho z terminálů na tři společné terminály sdílené mezi porty.

Když diskutujeme o 4-koncových sítích, síťová analýza často probíhá z hlediska 2-portových sítí, které pokrývají širokou škálu prakticky užitečných obvodů. „2portový“ v podstatě označuje způsob, jakým byla síť připojena k vnějšímu světu: že terminály byly připojeny v párech ke zdroji nebo zátěži. Je možné vzít přesně stejnou síť a připojit ji k externím obvodům takovým způsobem, že se již nebude chovat jako 2-port. Tuto myšlenku ukazuje obrázek 2.

Ekvivalentní nevyvážené a vyvážené sítě. Impedance sériových prvků ve vyvážené verzi je polovina odpovídající impedance nevyvážené verze.

Obr. Pro vyvážení musí mít síť stejnou impedanci v každé „noze“ obvodu.

Jako 2portový lze také použít 3-koncovou síť. K dosažení tohoto cíle je jedna ze svorek připojena společně k jedné svorce obou portů. Jinými slovy, jeden terminál byl rozdělen na dva terminály a síť byla účinně převedena na síť se 4 terminály. Tato topologie je známá jako nevyvážený topologie a staví se proti vyvážené topologii. Vyvážená topologie vyžaduje, s odkazem na obrázek 3, že impedance měřená mezi svorkami 1 a 3 se rovná impedanci měřené mezi 2 a 4. Toto jsou páry svorek ne formovací porty: případ, kdy dvojice terminálů tvořících porty mají stejnou impedanci, se označuje jako symetrický. Přesně řečeno, každá síť, která nesplňuje podmínku vyvážení, je nevyvážená, ale tento termín nejčastěji odkazuje na 3-koncovou topologii popsanou výše a na obrázku 3. Transformace nevyvážené 2portové sítě na vyváženou síť je obvykle docela přímočará : všechny sériově propojené prvky jsou rozděleny na polovinu, přičemž jedna polovina byla přemístěna do společné větve. Transformace z vyvážené na nevyváženou topologii bude často možná s reverzní transformací, ale existují určité případy určitých topologií, které nelze transformovat tímto způsobem. Například viz níže diskuse o mřížkových transformacích.

Příkladem 3-terminální síťové transformace, která není omezena na 2 porty, je Transformace Y-Δ. Toto je obzvláště důležitá transformace pro nalezení ekvivalentních impedancí. Jeho důležitost vyplývá ze skutečnosti, že celkovou impedanci mezi dvěma terminály nelze určit pouze výpočtem kombinací sérií a paralel, s výjimkou určité omezené třídy sítě. Obecně jsou nutné další transformace. Transformace Y-Δ, její inverzní transformace Δ-Y, a n-terminální analogy těchto dvou transformací (hvězdné polygony ) představují minimální dodatečné transformace potřebné k vyřešení obecného případu. Sériové a paralelní jsou ve skutečnosti 2-terminální verze hvězdicové a polygonové topologie. Běžnou jednoduchou topologií, kterou nelze vyřešit kombinací sérií a paralel, je vstupní impedance do mostní sítě (s výjimkou zvláštního případu, kdy je most v rovnováze).^[9] Zbytek transformací v této části je omezen na použití pouze se 2 porty.

Mřížové transformace

Symetrické 2portové sítě lze transformovat na mřížkové sítě pomocí Bartlettova věta o půlení. Metoda je omezena na symetrické sítě, ale zahrnuje mnoho topologií běžně používaných ve filtrech, tlumiče a ekvalizéry. Topologie mřížky je vnitřně vyvážená, neexistuje žádný nevyvážený protějšek mřížky a bude obvykle vyžadovat více komponent než transformovaná síť.

Některé běžné sítě transformované na mřížky (X-sítě)
Popis	Síť	Transformujte rovnice	Transformovaná síť
Transformace 3.1 Transformace T sítě na mřížovou síť.[10]		${ displaystyle Z _ { mathrm {A}} = Z_ {1} , !}$ ${ displaystyle Z _ { mathrm {B}} = Z_ {1} + 2Z_ {2} . !}$
Transformace 3.2 Transformace sítě Π na mřížkovou síť.[10]		${ displaystyle Z _ { mathrm {A}} = { frac {Z_ {1} Z_ {2}} {Z_ {1} + 2Z_ {2}}} , !}$ ${ displaystyle Z _ { mathrm {B}} = Z_ {2} .}$
Transformace 3.3 Transformace sítě Bridged-T na příhradovou síť.[11]		${ displaystyle Z _ { mathrm {A}} = { frac {Z_ {1} Z_ {0}} {Z_ {1} + 2Z_ {0}}} , !}$ ${ displaystyle Z _ { mathrm {B}} = Z_ {0} + 2Z_ {2} . !}$

Reverzní transformace z mřížky na nevyváženou topologii nejsou vždy možné z hlediska pasivních komponent. Například tato transformace:

Popis	Síť	Transformovaná síť
Transformace 3.4 Transformace mřížkového fázového ekvalizéru na T síť.[12]

nelze realizovat s pasivními součástmi kvůli záporným hodnotám vznikajícím v transformovaném obvodu. Lze si však uvědomit, že jsou povoleny vzájemné indukčnosti a ideální transformátory, například v tento obvod. Další možností je povolit použití aktivních komponent, které by umožňovaly negativní impedance přímo realizovat jako součást obvodu.^[13]

Někdy může být užitečné provést takovou transformaci, nikoli za účelem skutečného vytvoření transformovaného obvodu, ale spíše za účelem usnadnění pochopení toho, jak funguje původní obvod. Následující obvod v topologii přemostěného T je modifikací střední řady m odvozený filtr T-profil. Obvod je způsoben Hendrik Bode kdo tvrdí, že přidání přemosťovacího odporu o vhodnou hodnotu zruší parazitická rezistence bočníku. Působení tohoto obvodu je jasné, pokud je transformováno do topologie T - v této formě je ve odbočce odbočka negativní odpor, který lze přesně nastavit na kladný parazitní odpor induktoru.^[14]

Popis	Síť	Transformovaná síť
Transformace 3.5 Transformace přemostěného T dolní propust sekce do T-profilu.[14]

Libovolná symetrická síť může být přeměněna na jakoukoli jinou symetrickou síť stejnou metodou, to znamená první transformací do mezilehlé mřížkové formy (vynechána pro jasnost výše uvedené transformace příkladu) a z mřížkové formy do požadované cílové formy. Stejně jako v příkladu to bude mít obecně za následek negativní prvky, s výjimkou zvláštních případů.^[15]

Eliminující rezistory

Věta kvůli Sidney Darlington uvádí, že jakákoli PR funkce Z(s) lze realizovat jako bezztrátový dvouportový zakončený kladným rezistorem R. To znamená, bez ohledu na to, kolik rezistorů je v matici [Z] představující impedanční síť, lze nalézt transformaci, která bude realizovat síť zcela jako síť typu LC s jediným odporem přes výstupní port (který by normálně představoval zátěž). Pro realizaci zadané odezvy nejsou v síti nutné žádné rezistory. V důsledku toho je vždy možné redukovat 3-prvkové 2-portové sítě na 2-prvkové (LC) 2-portové sítě za předpokladu, že je výstupní port ukončen v odporu požadované hodnoty.^[8][16][17]

Eliminace ideálních transformátorů

Elementární transformací, kterou lze provést pomocí ideálních transformátorů a některých dalších impedančních prvků, je posunutí impedance na druhou stranu transformátoru. Ve všech následujících transformacích r je poměr otáček transformátoru.

Popis	Síť	Transformovaná síť
Transformace 4.1 Sériová impedance prostřednictvím sestupného transformátoru.
Transformace 4.2 Impedance bočníku pomocí sestupného transformátoru.
Transformace 4.3 Smyčková a sériová impedanční síť prostřednictvím zesilovacího transformátoru.

Tyto transformace se nevztahují pouze na jednotlivé prvky; transformátorem mohou procházet celé sítě. Tímto způsobem lze transformátor přesunout po síti na pohodlnější místo.

Darlington dává ekvivalentní transformaci, která může zcela eliminovat ideální transformátor. Tato technika vyžaduje, aby transformátor byl vedle (nebo mohl být přemisťován) k „L“ síti stejného druhu impedancí. Výsledkem transformace ve všech variantách je síť „L“ obrácená opačně, tj. Topologicky zrcadlená.^[2]

Popis	Síť	Transformovaná síť
Transformace 5.1 Eliminace sestupného transformátoru.
Transformace 5.2 Eliminace zesilovacího transformátoru.
Příklad 3. Příklad transformace 5.1.

Příklad 3 ukazuje, že výsledkem je spíše síť Π než síť L. Důvodem je to, že směšovací prvek má větší kapacitu, než je požadována transformací, takže některé po aplikaci transformace stále zůstanou. Pokud by přebytek byl místo toho, v prvku, který je nejblíže transformátoru, by se to dalo vyřešit tak, že by se přebytek nejprve před provedením transformace přesunul na druhou stranu transformátoru.^[2]

Terminologie

Reference

Bibliografie

• Bartlett, A. C., "Rozšíření vlastnosti umělých čar", Phil. Mag., sv. 4, str.902, listopad 1927.
• Belevitch, V., "Shrnutí historie teorie obvodů", Sborník IRE, sv. 50, Iss. 5, str. 848-855, květen 1962.
• E. Cauer, W. Mathis a R. Pauli, „Život a dílo Wilhelma Cauera (1900 - 1945)“, Sborník ze čtrnáctého mezinárodního sympozia matematické teorie sítí a systémů, Perpignan, červen 2000.
• Foster, Ronald M.; Campbell, George A., "Maximální výstupní sítě pro telefonní rozvodny a opakovací obvody", Transakce amerického institutu elektrotechniků, sv. 39, iss.1, pp.230-290, leden 1920.
• Darlington, S. „Historie síťové syntézy a teorie filtrů pro obvody složené z rezistorů, induktorů a kondenzátorů“, IEEE Trans. Obvody a systémy, ročník 31, str. 3-13, 1984.
• Farago, P. S., Úvod do lineární síťové analýzy, The English Universities Press Ltd, 1961.
• Khan, Sameen Ahmed, "Farey sekvence a rezistorové sítě", Sborník indické akademie věd (matematické vědy), sv. 122, iss.2, pp. 153-162, květen 2012.
• Zobel, O. J.,Teorie a návrh uniformních a kompozitních filtrů elektrické vlny, Technický deník Bell System, Sv. 2 (1923), str. 1-46.