Zrcadlová hypotéza symetrie - Mirror symmetry conjecture

V matematice zrcadlová symetrie je domněnkový vztah mezi jistým Rozdělovače Calabi – Yau a konstruovaný „zrcadlový potrubí“. Domněnka umožňuje jednomu se vztahovat k počtu racionální křivky na potrubí Calabi-Yau (kódováno jako Gromov – Wittenovy invarianty ) na integrály z rodiny odrůd (kódované jako dobové integrály na variace Hodgeových struktur ). Stručně řečeno to znamená, že existuje vztah mezi počtem rodů ${ displaystyle g}$ algebraické křivky stupně ${ displaystyle d}$ na odrůdě Calabi-Yau ${ displaystyle X}$ a integrály na dvojí odrůdě ${ displaystyle { check {X}}}$ . Tyto vztahy byly původně objeveny Candelasem, De la Ossou, Greenem a Parkesem^[1] v článku studujícím generikum quintic trojí v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ jako odrůda ${ displaystyle X}$ a konstrukce^[2] z quintic Dwork rodina ${ displaystyle X _ { psi}}$ dávat ${ displaystyle { check {X}} = { tilda {X}} _ { psi}}$ . Krátce poté, co, Sheldon Katz napsal souhrnný papír^[3] nastiňuje část jejich konstrukce a domýšlí, jaký by mohl být přísný matematický výklad.

Konstrukce zrcadla kvintického trojnásobku

Původně byla konstrukce zrcadlových potrubí objevena postupem ad-hoc. V zásadě generické quintic trojí ${ displaystyle X podmnožina mathbb {CP} ^ {4}}$ tam by měla být přidružena rodina s jedním parametrem Calabi-Yau rozdělovače ${ displaystyle X _ { psi}}$ který má několik singularit. Po vyhodit do vzduchu tyto singularity, jsou vyřešeny a nový rozdělovač Calabi-Yau ${ displaystyle X ^ { vee}}$ byl postaven. který měl převrácený Hodgeův diamant. Zejména existují izomorfismy

${ displaystyle H ^ {q} (X, Omega _ {X} ^ {p}) cong H ^ {q} (X ^ { vee}, Omega _ {X ^ { vee}} ^ { 3-p})}$

ale co je nejdůležitější, existuje izomorfismus

${ displaystyle H ^ {1} (X, Omega _ {X} ^ {1}) cong H ^ {1} (X ^ { vee}, Omega _ {X ^ { vee}} ^ { 2})}$

kde teorie strun ( A-model z ${ displaystyle X}$ ) pro státy v ${ displaystyle H ^ {1} (X, Omega _ {X} ^ {1})}$ je zaměňována s teorií strun ( B-model z ${ displaystyle X ^ { vee}}$ ) mající státy v ${ displaystyle H ^ {1} (X ^ { vee}, Omega _ {X ^ { vee}} ^ {2})}$ . Teorie strun v A-modelu závisela pouze na Kahlerově nebo symplektické vzpěře ${ displaystyle X}$ zatímco B-model závisí pouze na složité struktuře ${ displaystyle X ^ { vee}}$ . Zde načrtneme původní konstrukci zrcadlových potrubí a v pozdější části tohoto článku vezmeme v úvahu řetězcové teoretické pozadí a domněnky se zrcadlovými potrubími.

Složité moduly

Připomeňme, že obecný quintic trojí^[2]^[4] ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ je definován a homogenní polynom stupně ${ displaystyle 5}$ . Tento polynom je ekvivalentně popsán jako globální část svazek řádků ${ displaystyle f in Gamma ( mathbb {P} ^ {4}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {4}} (5))}$ .^[1]^[5] Všimněte si, že vektorový prostor globálních řezů má rozměr

${ displaystyle dim { displaystyle Gamma ( mathbb {P} ^ {4}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {4}} (5))} = 126}$

ale existují dvě ekvivalence těchto polynomů. Nejprve polynomy pod škálováním pomocí algebraický torus ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ ^[6] (nenulové škálovače základního pole) vzhledem k ekvivalentním prostorům. Zadruhé, projektivní ekvivalence je dána automorfismus skupina ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ , ${ displaystyle { text {PGL}} (5)}$ který je ${ displaystyle 24}$ dimenzionální. To dává ${ displaystyle 101}$ prostor rozměrových parametrů

${ displaystyle U_ {smooth} podmnožina mathbb {P} ( Gamma ( mathbb {P} ^ {4}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {4}} (5) )) / PGL (5)}$

od té doby ${ displaystyle 126-24-1 = 101}$ , které lze zkonstruovat pomocí Geometrická invariantní teorie. Sada ${ displaystyle U _ { text {smooth}}}$ odpovídá třídám ekvivalence polynomů, které definují trojité hladké kvintické Calabi-Yau ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ , dávat a moduli prostor quinti Calabi-Yau.^[7] Nyní, pomocí Serre dualita a skutečnost, že každé potrubí Calabi-Yau je triviální kanonický svazek ${ displaystyle omega _ {X}}$ , prostor deformace má izomorfismus

${ displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X}) cong H ^ {2} (X, Omega _ {X})}$

s ${ displaystyle (2,1)}$ část Hodgeova struktura na ${ displaystyle H ^ {3} (X)}$ . Za použití Lefschetzova hyperplošinová věta jediná netriviální kohomologická skupina je ${ displaystyle H ^ {3} (X)}$ protože ostatní jsou izomorfní ${ displaystyle H ^ {i} ( mathbb {P} ^ {4})}$ . Za použití Eulerova charakteristika a Eulerova třída, který je nejlepší třída Chern, rozměr této skupiny je ${ displaystyle 204}$ . To je proto, že

${ displaystyle { begin {zarovnáno} chi (X) & = - 200 & = h ^ {0} + h ^ {2} -h ^ {3} + h ^ {4} + h ^ {6 } & = 1 + 1- dim H ^ {3} (X) + 1 + 1 end {zarovnáno}}}$

Za použití Hodgeova struktura můžeme najít rozměry každé z komponent. Nejprve proto ${ displaystyle X}$ je Calabi-Yau, ${ displaystyle omega _ {X} cong { mathcal {O}} _ {X}}$ tak

${ displaystyle H ^ {0} (X, Omega _ {X} ^ {3}) cong H ^ {0} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$

dávat čísla Hodge ${ displaystyle h ^ {0,3} = h ^ {3,0} = 1}$ , proto

${ displaystyle dim H ^ {2} (X, Omega _ {X}) = h ^ {1,2} = 101}$

udávající rozměr prostoru modulů rozdělovačů Calabi-Yau. Kvůli Bogomolev-Tian-Todorovova věta, všechny takové deformace jsou nerušené, takže hladký prostor ${ displaystyle U_ {hladký}}$ je ve skutečnosti moduli prostor kvintických trojnásobků. Smyslem této konstrukce je ukázat, jak se převádějí komplexní parametry v tomto prostoru modulů Kähler parametry zrcadlového potrubí.

Zrcadlové potrubí

Existuje významná rodina rozdělovačů Calabi-Yau ${ displaystyle X _ { psi}}$ volal Dwork rodina. To je projektivní rodina

${ displaystyle X _ { psi} = { text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [ psi] [x_ {0}, ldots, x_ {4}]}} {(x_ {0} ^ {5} + cdots + x_ {4} ^ {5} -5 psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4})}} vpravo)}$

přes složitou rovinu ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [ psi])}$ . Všimněte si, že z této rodiny pochází pouze jedna dimenze složitých deformací ${ displaystyle psi}$ mající různé hodnoty. To je důležité, protože Hodgeův diamant zrcadlového potrubí ${ displaystyle { check {X}}}$ má

${ displaystyle dim H ^ {2,1} ({ check {X}}) = 1}$ .

Rodina ${ displaystyle X _ { psi}}$ má skupinu symetrie

${ displaystyle G = {(a_ {0}, ldots, a_ {4}) in ( mathbb {Z} / 5) ^ {5}: sum a_ {i} = 0 }}$

jednající

${ displaystyle (a_ {0}, ldots, a_ {4}) cdot [x_ {0}: cdots: x_ {4}] = [e ^ {a_ {0} cdot 2 pi i / 5 } x_ {0}: cdots: e ^ {a_ {4} cdot 2 pi i / 5} x_ {4}]}$

Všimněte si projektivity ${ displaystyle X _ { psi}}$ je důvodem podmínky

${ displaystyle sum a_ {i} = 0}$

Přidružená kvocient odrůdy ${ displaystyle X _ { psi} / G}$ má rozlišení crepant daný^[2]^[5] vyhozením do vzduchu ${ displaystyle 100}$ singularity

${ displaystyle { check {X}} až X _ { psi} / G}$

dávat nové potrubí Calabi-Yau ${ displaystyle { check {X}}}$ s ${ displaystyle 101}$ parametry v ${ displaystyle H ^ {1,1} ({ check {X}})}$ . Toto je zrcadlové potrubí a má ${ displaystyle H ^ {3} ({ check {X}}) = 4}$ kde je každé číslo Hodge ${ displaystyle 1}$ .

Nápady z teorie strun

v teorie strun existuje třída modelů s názvem nelineární sigma modely které studují rodiny map ${ displaystyle phi: Sigma až X}$ kde ${ displaystyle Sigma}$ je rod ${ displaystyle g}$ algebraická křivka a ${ displaystyle X}$ je Calabi-Yau. Tyto křivky ${ displaystyle Sigma}$ jsou nazývány světové listy a představují zrození a smrt částice jako uzavřený řetězec. Jelikož se řetězec mohl v průběhu času rozdělit na dva nebo více řetězců a nakonec se tyto řetězce spojily a zhroutily se na konci životnosti částice, představuje algebraická křivka tuto životnost řetězce matematicky. Pro jednoduchost byly původně uvažovány pouze křivky rodu 0 a mnoho výsledků popularizovaných v matematice se zaměřilo pouze na tento případ.

Ve fyzikální terminologii jsou tyto teorie také ${ displaystyle (2,2)}$ heterotické teorie řetězců protože mají ${ displaystyle N = 2}$ supersymetrie který přichází ve dvojici, takže ve skutečnosti existují čtyři supersymetrie. To je důležité, protože z toho vyplývá, že existuje dvojice operátorů

${ displaystyle (Q, { overline {Q}})}$

působící na Hilbertově prostoru států, ale definované pouze do znaménka. Tato nejednoznačnost je to, co původně navrhovali fyzikům, že by měla existovat dvojice Calabi-Yau variet, které mají teorie dvojitých řetězců, které si tuto nejednoznačnost navzájem vyměňují.

Prostor ${ displaystyle X}$ má složitou strukturu, což je integrovatelný téměř složitá struktura ${ displaystyle J in { text {End}} (TX)}$ , a protože je Kähler potrubí nutně má symplektická struktura ${ displaystyle omega}$ volal Kählerova forma který může být složitější do a složitější Kählerova forma

${ displaystyle omega ^ { mathbb {C}} = B + i omega}$

což je uzavřený ${ displaystyle (1,1)}$ -forma, proto je jeho třída cohomologie v

${ displaystyle [ omega ^ { mathbb {C}}] v H ^ {1} (X, Omega _ {X} ^ {1})}$

Hlavní myšlenkou dohadů Mirror Symmetry je studium deformace nebo moduly, komplexní struktury ${ displaystyle J}$ a složitá symplektická struktura ${ displaystyle omega ^ { mathbb {C}}}$ způsobem, který tyto dva dělá dvojí navzájem. Zejména z pohledu fyziky^[8]^{str. 1-2}, teorie superkonformního pole pole Calabi-Yau ${ displaystyle X}$ by mělo být ekvivalentní duální superkonformní teorii pole zrcadlového potrubí ${ displaystyle X ^ { vee}}$ . Zde konformní prostředky konformní ekvivalence což je stejná třída ekvivalence a složitých struktur na křivce ${ displaystyle Sigma}$ .

Existují dvě varianty nelineárních sigma modelů nazývaných A-model a B-model které uvažují o párech ${ displaystyle (X, omega ^ { mathbb {C}})}$ a ${ displaystyle (X, J)}$ a jejich moduly^[9]^{ch 38 str. 729}.

A-model

Korelační funkce z teorie strun

Vzhledem k potrubí Calabi-Yau ${ displaystyle X}$ se složitou třídou Kahler ${ displaystyle [ omega ^ { mathbb {C}}] v H ^ {1} (X, Omega _ {X} ^ {1})}$ nelineární sigma model teorie strun by měl obsahovat tři generace částic, elektro, slabý a silné jaderné síly^[10]^str. Abychom pochopili, jak tyto síly interagují, tříbodová funkce zvaná Spojka Yukawa je zaveden, který funguje jako korelační funkce pro státy v ${ displaystyle H ^ {1} (X, Omega _ {X} ^ {1})}$ . Všimněte si, že tento prostor je vlastní prostor operátora ${ displaystyle Q}$ na Hilbertův prostor z státy pro teorii strun^[8]^{str. 3-5}. Tato tříbodová funkce je „počítána“ jako

${ displaystyle { begin {aligned} langle omega _ {1}, omega _ {2}, omega _ {3} rangle = & int _ {X} omega _ {1} wedge omega _ {2} wedge omega _ {3} + sum _ { beta neq 0} n _ { beta} int _ { beta} omega _ {1} int _ { beta} omega _ {2} int _ { beta} omega _ {2} { frac {e ^ {2 pi i int _ { beta} omega ^ { mathbb {C}}}} {1 -e ^ {2 pi i int _ { beta} omega ^ { mathbb {C}}}}} end {zarovnáno}}}$

použitím Feynmanova cesta integrální techniky, kde ${ displaystyle n _ { beta}}$ jsou naivní počet racionálních křivek s třídou homologie ${ displaystyle beta v H_ {2} (X; mathbb {Z})}$ , a ${ displaystyle omega _ {i} v H ^ {1} (X, Omega _ {X})}$ . Definování těchto čísla instanton ${ displaystyle n _ { beta}}$ je předmětem Teorie Gromov – Witten. Všimněte si, že v definici této korelační funkce záleží pouze na Kahlerově třídě. To inspirovalo některé matematiky ke studiu hypotetických moduli prostorů Kahlerových struktur na potrubí.

Matematická interpretace korelačních funkcí A-modelu

V A-model odpovídající prostor modulů jsou moduly pseudoholomorfní křivky^[11]^{str. 153}

${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, k} (X, J, beta) = {(u: Sigma až X, j, z_ {1}, ldots, z_ {k}): u _ {*} [ Sigma] = beta, { overline { partial}} _ {J} u = 0 }}$

nebo prostory Kontsevichova modulu^[12]

${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, beta) = {u: Sigma až X: u { text {je stabilní a}} u _ {* } ([ Sigma]) = beta }}$

Tyto prostory modulů mohou být vybaveny a virtuální základní třída

${ displaystyle [{ overline { mathcal {M}}} _ {g, k} (X, J, beta)] ^ {virt}}$ nebo ${ displaystyle [{ overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, beta)] ^ {virt}}$

který je reprezentován jako mizející místo sekce ${ displaystyle pi _ {Coker} (v)}$ svazku zvaného Obstrukční svazek ${ displaystyle { underline { text {Obs}}}}$ v prostoru modulů. Tato část pochází z diferenciální rovnice

${ displaystyle { overline { částečné}} _ {J} (u) = v}$

které lze zobrazit jako narušení mapy ${ displaystyle u}$ . Lze jej také zobrazit jako Poincaré dual z Eulerova třída z ${ displaystyle { underline { text {Obs}}}}$ pokud je to Vektorový svazek.

S původní konstrukcí byl uvažovaný model A na generickém kvintickém trojnásobku ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ .^[9]

B-model

Korelační funkce z teorie strun

Pro stejné potrubí Calabi-Yau ${ displaystyle X}$ v podsekci A-model existuje duální teorie superkonformního pole, která má stavy v eigenspace ${ displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X})}$ provozovatele ${ displaystyle { overline {Q}}}$ . Je to funkce tříbodové korelace definována jako

${ displaystyle langle theta _ {1}, theta _ {2}, theta _ {3} rangle = int _ {X} Omega wedge ( nabla _ { theta _ {1}} nabla _ { theta _ {2}} nabla _ { theta _ {3}} Omega)}$

kde ${ displaystyle Omega v H ^ {0} (X, Omega _ {X} ^ {3})}$ je holomorfní 3 forma na ${ displaystyle X}$ a pro nekonečně malou deformaci ${ displaystyle theta}$ (od té doby ${ displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X})}$ je tečna prostoru modulů prostoru Calabi-Yau potrubí obsahující ${ displaystyle X}$ tím, že Mapa Kodaira – Spencer a Bogomolev-Tian-Todorovova věta ) existuje spojení Gauss-Manin ${ displaystyle nabla _ { theta}}$ brát a ${ displaystyle (p, q)}$ třída do a ${ displaystyle (p + 1, q-1)}$ třída, tedy

${ displaystyle Omega wedge ( nabla _ { theta _ {1}} nabla _ { theta _ {2}} nabla _ { theta _ {3}} Omega) v H ^ {3 } (X, Omega _ {X} ^ {3})}$

lze integrovat do ${ displaystyle X}$ . Všimněte si, že tato korelační funkce závisí pouze na složité struktuře ${ displaystyle X}$ .

Další formulace Gauss-Maninova spojení

Působení tříd kohomologie ${ displaystyle theta v H ^ {1} (X, T_ {X})}$ na ${ displaystyle Omega v H ^ {0} (X, Omega _ {X} ^ {3})}$ lze také chápat jako cohomologickou variantu vnitřní produkt. Lokálně třída ${ displaystyle theta}$ odpovídá Cechovu cyklu ${ displaystyle [ theta _ {i}] _ {i v I}}$ pro nějaké pěkné dost krytí ${ displaystyle {U_ {i} } _ {i v I}}$ dát sekci ${ displaystyle theta _ {i} v T_ {X} (U_ {i})}$ . Potom vkládací produkt dává prvek

${ displaystyle iota _ { theta _ {i}} ( Omega | _ {U_ {i}}) v H ^ {0} (U_ {i}, Omega _ {X} ^ {2} | _ {U_ {i}})}$

které lze přilepit zpět do prvku ${ displaystyle iota _ { theta} ( Omega)}$ z ${ displaystyle H ^ {1} (X, Omega _ {X} ^ {2})}$ . Je to proto, že se překrývá

${ displaystyle U_ {i} čepice U_ {j} = U_ {ij}}$ , ${ displaystyle theta _ {i} | _ {ij} = theta _ {j} | _ {ij}}$

dávat

${ displaystyle { begin {aligned} ( iota _ { theta _ {i}} Omega | _ {U_ {i}}) | _ {U_ {ij}} & = iota _ { theta _ { i} | _ {U_ {ij}}} ( Omega | _ {U_ {ij}}) & = iota _ { theta _ {j} | _ {U_ {ij}}} ( Omega | _ {U_ {ij}}) & = ( iota _ { theta _ {j}} Omega | _ {U_ {j}}) | _ {U_ {ij}} end {zarovnáno}}}$

proto definuje 1-kolečko. Opakováním tohoto procesu získáte 3-kolečko

${ displaystyle iota _ { theta _ {1}} iota _ { theta _ {2}} iota _ { theta _ {3}} Omega v H ^ {3} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$

což se rovná ${ displaystyle nabla _ { theta _ {1}} nabla _ { theta _ {2}} nabla _ { theta _ {3}} Omega}$ . Je to proto, že lokálně funguje Gauss-Maninovo spojení jako produkt interiéru.

Matematická interpretace korelačních funkcí B-modelu

Matematicky B-model je variace hodinových struktur který byl původně dán stavbou z rodiny Dwork.

Zrcadlový dohad

Vztah těchto dvou modelů teorie strun vyřešením nejednoznačnosti znaménka pro operátory ${ displaystyle (Q, { overline {Q}})}$ vedl fyziky k následující domněnce^[8]^str: pro potrubí Calabi-Yau ${ displaystyle X}$ mělo by existovat zrcadlové potrubí Calabi-Yau ${ displaystyle X ^ { vee}}$ takové, že existuje zrcadlový izomorfismus

${ displaystyle H ^ {1} (X, Omega _ {X}) cong H ^ {1} (X ^ { vee}, T_ {X ^ { vee}})}$

což poskytuje kompatibilitu přidruženého modelu A a modelu B. To znamená dané ${ displaystyle H v H ^ {1} (X, Omega _ {X})}$ a ${ displaystyle theta v H ^ {1} (X ^ { vee}, T_ {X ^ { vee}})}$ takhle ${ displaystyle H mapsto theta}$ pod zrcadlovou mapou je rovnost korelačních funkcí

${ displaystyle langle H, H, H rangle = langle theta, theta, theta rangle}$

To je významné, protože to souvisí s počtem stupňů ${ displaystyle d}$ rod ${ displaystyle 0}$ křivky na kvintickém trojnásobku ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ (tak ${ displaystyle H ^ {1,1} cong mathbb {Z}}$ ) k integrálům ve variantě Hodgeových struktur. Navíc jsou tyto integrály skutečně vypočítatelné!

Viz také

externí odkazy

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

Reference

^ ^A ^b Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C .; Green, Paul S .; Parkes, Linda (1991-07-29). „Dvojice potrubí Calabi-Yau jako přesně rozpustná superkonformní teorie“. Jaderná fyzika B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359 ... 21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213.
^ ^A ^b ^C Auroux, Dennis. „Kvintický trojnásobek a jeho zrcadlo“ (PDF).
^ Katz, Sheldon (1993-12-29). "Racionální křivky na Calabi-Yau trojnásobné". arXiv:alg-geom / 9312009.
^ například jako sada je podmnožinou Calabi-Yau potrubí složitý projektivní prostor ${ displaystyle {[x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}: x_ {4}] in mathbb {CP} ^ {4}: x_ {0} ^ {5 } + x_ {1} ^ {5} + x_ {2} ^ {5} + x_ {3} ^ {5} + x_ {4} ^ {5} = 0 }}$
^ ^A ^b Morrison, David R. (1993). "Zrcadlová symetrie a racionální křivky na kvintických trojnásobcích: průvodce pro matematiky". J. Amer. Matematika. Soc. 6: 223–247. arXiv:alg-geom / 9202004. doi:10.1090 / S0894-0347-1993-1179538-2. S2CID 9228037.
^ Což lze považovat za ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ -akce na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {5} - {0 }}$ budování složitý projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {4}}$
^ Obecněji jsou takové prostory modulů konstruovány pomocí projektivní ekvivalence schémat v pevném projektivním prostoru na pevném Hilbertovo schéma
^ ^A ^b ^C Cox, David A. Katz, Sheldon. (1999). Zrcadlová symetrie a algebraická geometrie. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-2127-5. OCLC 903477225.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ ^A ^b Zrcadlová symetrie. Hori, Kentaro. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-2955-6. OCLC 52374327.CS1 maint: ostatní (odkaz)
^ Hamilton, M. J. D. (2020-07-24). „Higgsův boson pro matematiky. Poznámky k přednášce o teorii měřidel a lámání symetrie“. arXiv:1512.02632 [math.DG ].
^ McDuff, Dusa, 1945- (2012). J-holomorfní křivky a symplektická topologie. Salamon, D. (Dietmar) (2. vydání). Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2. OCLC 794640223.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Kontsevich, M .; Manin, Yu (1994). „Třídy Gromov-Witten, kvantová kohomologie a enumerativní geometrie“. Komunikace v matematické fyzice. 164 (3): 525–562. arXiv:hep-th / 9402147. Bibcode:1994CMaPh.164..525K. doi:10.1007 / BF02101490. ISSN 0010-3616. S2CID 18626455.

Knihy / poznámky

První důkazy

Equivariant Gromov - Witten Invariants - Originální důkaz společnosti Givental pro projektivní úplné křižovatky
Zrcadlový vzorec pro kvintické trojnásobky
Racionální křivky na hyperplošinách (po A. Givental) - vysvětlení Giventalova důkazu
Zrcadlový princip I - Lian, Liu, Yauův důkaz uzavírající mezery v Giventalově důkazu. Jeho důkaz vyžadoval nevyvinutou teorii Floerovy homologie
Duální mnohostěn a zrcadlová symetrie pro hyperplochy Calabi-Yau v torických variantách - první obecná konstrukce zrcadlových odrůd pro Calabi-Yau v torických odrůdách
Zrcadlová symetrie pro abelianské odrůdy

Výzkum

Zrcadlová symetrie: od kategorií po počty křivek - vztah mezi homologickou zrcadlovou symetrií a klasickou zrcadlovou symetrií
Vnitřní zrcadlová symetrie a propíchnuté Gromov-Wittenovy invarianty

Homologická zrcadlová symetrie

[:0-1] A ^b Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C .; Green, Paul S .; Parkes, Linda (1991-07-29). „Dvojice potrubí Calabi-Yau jako přesně rozpustná superkonformní teorie“. Jaderná fyzika B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359 ... 21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213.

[:3-2] A ^b ^C Auroux, Dennis. „Kvintický trojnásobek a jeho zrcadlo“ (PDF).

[3] Katz, Sheldon (1993-12-29). "Racionální křivky na Calabi-Yau trojnásobné". arXiv:alg-geom / 9312009.

[4] říklad jako sada je podmnožinou Calabi-Yau potrubí složitý projektivní prostor ${ displaystyle {[x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}: x_ {4}] in mathbb {CP} ^ {4}: x_ {0} ^ {5 } + x_ {1} ^ {5} + x_ {2} ^ {5} + x_ {3} ^ {5} + x_ {4} ^ {5} = 0 }}$

[:2-5] A ^b Morrison, David R. (1993). "Zrcadlová symetrie a racionální křivky na kvintických trojnásobcích: průvodce pro matematiky". J. Amer. Matematika. Soc. 6: 223–247. arXiv:alg-geom / 9202004. doi:10.1090 / S0894-0347-1993-1179538-2. S2CID 9228037.

[6] Což lze považovat za ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ -akce na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {5} - {0 }}$ budování složitý projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {4}}$

[7] Obecněji jsou takové prostory modulů konstruovány pomocí projektivní ekvivalence schémat v pevném projektivním prostoru na pevném Hilbertovo schéma

[:4-8] A ^b ^C Cox, David A. Katz, Sheldon. (1999). Zrcadlová symetrie a algebraická geometrie. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-2127-5. OCLC 903477225.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[:1-9] A ^b Zrcadlová symetrie. Hori, Kentaro. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-2955-6. OCLC 52374327.CS1 maint: ostatní (odkaz)

[10] Hamilton, M. J. D. (2020-07-24). „Higgsův boson pro matematiky. Poznámky k přednášce o teorii měřidel a lámání symetrie“. arXiv:1512.02632 [math.DG ].

[11] McDuff, Dusa, 1945- (2012). J-holomorfní křivky a symplektická topologie. Salamon, D. (Dietmar) (2. vydání). Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2. OCLC 794640223.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[12] Kontsevich, M .; Manin, Yu (1994). „Třídy Gromov-Witten, kvantová kohomologie a enumerativní geometrie“. Komunikace v matematické fyzice. 164 (3): 525–562. arXiv:hep-th / 9402147. Bibcode:1994CMaPh.164..525K. doi:10.1007 / BF02101490. ISSN 0010-3616. S2CID 18626455.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]