Lefschetzova hyperplošinová věta - Lefschetz hyperplane theorem
v matematika, konkrétně v algebraická geometrie a algebraická topologie, Lefschetzova hyperplošinová věta je přesným vyjádřením určitých vztahů mezi tvarem algebraická rozmanitost a tvar jeho poddruhů. Přesněji řečeno, věta říká, že pro různé X vloženo do projektivní prostor a a sekce nadroviny Y, homologie, kohomologie, a homotopické skupiny z X určit ty z Y. Výsledek tohoto druhu poprvé uvedl Solomon Lefschetz pro skupiny homologie složitých algebraických variet. Podobné výsledky byly od té doby nalezeny pro skupiny homotopy, v pozitivních charakteristikách a v jiných homologických a kohomologických teoriích.
Dalekosáhlé zobecnění tvrdé Lefschetzovy věty je dáno věta o rozkladu.
Lefschetzova hyperplošinová věta pro složité projektivní varianty
Nechat X být n-dimenzionální komplexní projektivní algebraická odrůda v CPNa nechte Y být nadrovinnou částí X takhle U = X ∖ Y je hladký. Lefschetzova věta odkazuje na některý z následujících výroků:[1][2]
- Přírodní mapa Hk(Y, Z) → Hk(X, Z) v singulární homologii je izomorfismus pro k < n − 1 a je surjective pro k = n − 1.
- Přírodní mapa Hk(X, Z) → Hk(Y, Z) v singulární kohomologii je izomorfismus pro k < n − 1 a je injekční pro k = n − 1.
- Přírodní mapa πk(Y, Z) → πk(X, Z) je izomorfismus pro k < n − 1 a je surjective pro k = n − 1.
Používat dlouhá přesná sekvence, jeden může ukázat, že každý z těchto výroků je ekvivalentní s mizející větou pro určité relativní topologické invarianty. V pořadí jsou to:
- Skupiny relativní singulární homologie Hk(X, Y, Z) jsou nula pro .
- Relativní singulární kohomologické skupiny Hk(X, Y, Z) jsou nula pro .
- Relativní homotopické skupiny πk(X, Y) jsou nula pro .
Lefschetzův důkaz
Solomon Lefschetz[3] použil svou představu o Lefschetzova tužka dokázat teorém. Spíše než uvažovat o části nadroviny Y sám, dal to do rodiny částí nadroviny Yt, kde Y = Y0. Protože obecná část nadroviny je plynulá, až na konečný počet Yt jsou hladké odrůdy. Po odstranění těchto bodů z t-rovina a vytvoření dalšího konečného počtu štěrbin je výsledná rodina sekcí nadroviny topologicky triviální. To znamená, že se jedná o obecný produkt Yt s otevřenou podmnožinou t-letadlo. Xlze tedy pochopit, pokud pochopíme, jak jsou identifikovány úseky nadroviny přes štěrbiny a v singulárních bodech. Daleko od singulárních bodů lze identifikaci popsat indukčně. V singulárních bodech je Morseovo lemma znamená, že existuje možnost volby souřadného systému pro X obzvláště jednoduché formy. Tento souřadný systém lze použít k přímému prokázání věty.[4]
Důkaz Andreottiho a Frankela
Aldo Andreotti a Theodore Frankel[5] poznal, že Lefschetzovu větu lze přepracovat pomocí Morseova teorie.[6] Zde parametr t hraje roli Morseovy funkce. Základním nástrojem v tomto přístupu je Věta Andreotti – Frankel, který uvádí, že komplex afinní odrůda komplexní dimenze n (a tedy skutečná dimenze 2n) má homotopický typ a CW-komplex (skutečné) dimenze n. To znamená, že relativní homologie skupiny Y v X jsou triviální v míře menší než n. Dlouhá přesná sekvence relativní homologie pak dává teorém.
Důkazy Thoma a Botta
Ani Lefschetzův důkaz, ani Andreottiho a Frankelův důkaz přímo neimplikují Lefschetzovu hyperploškovou větu pro skupiny homotopy. Přístup, který ano, našel René Thom nejpozději do roku 1957 a byla zjednodušena a zveřejněna Raoul Bott v roce 1959.[7] Thom a Bott interpretují Y jako mizející místo v X části svazku řádků. To naznačuje použití Morseovy teorie v této části X lze postavit z Y sousedícími buňkami dimenze n nebo více. Z toho vyplývá, že relativní homologie a homotopy skupiny Y v X jsou koncentrovány ve stupních n a vyšší, což dává teorém.
Kodaira a Spencerův důkaz pro skupiny Hodge
Kunihiko Kodaira a Donald C. Spencer zjistil, že za určitých omezení je možné prokázat teorém typu Lefschetz pro Hodgeovy skupiny Hp,q. Konkrétně to předpokládej Y je hladký a že linka svazek je dostatek. Pak mapa omezení Hp,q(X) → Hp,q(Y) je izomorfismus, pokud p + q
Kombinace tohoto důkazu s věta o univerzálním koeficientu téměř získá obvyklou Lefschetzovu větu pro kohomologii s koeficienty v jakémkoli poli charakteristické nuly. Je však o něco slabší kvůli dalším předpokladům Y.
Artin a Grothendieckův důkaz konstruktivních snopů
Michael Artin a Alexander Grothendieck našel zobecnění Lefschetzovy hyperplošinové věty pro případ, kdy koeficienty kohomologie nespočívají v poli, ale v konstruovatelný svazek. Dokazují to pro konstruktivní svazek F na afinní odrůdě U, kohomologické skupiny zmizet kdykoli .[10]
Lefschetzova věta v jiných kohomologických teoriích
Motivací Artinova a Grothendieckova důkazu pro konstruovatelné snopy bylo poskytnout důkaz, který lze přizpůsobit nastavení étale a - adic cohomology. Až do jistých omezení konstruovatelného svazku zůstává Lefschetzova věta pravdivá pro konstruktivní svazky s pozitivní charakteristikou.
Větu lze také zobecnit na křižovatková homologie. V tomto nastavení platí věta pro vysoce singulární prostory.
Věta typu Lefschetz také platí pro Picardovy skupiny.[11]
Tvrdá Lefschetzova věta
Nechat X být n-dimenzionální ne-singulární komplexní projektivní rozmanitost v Pak v cohomologický prsten z X, k- skládaný produkt s třída kohomologie nadroviny dává izomorfismus mezi a .
To je tvrdá Lefschetzova věta, pokřtěný ve francouzštině Grothendieckem více hovorově jako Théorème de Lefschetz vache.[12][13] Okamžitě z toho vyplývá injektivní část Lefschetzovy věty o hyperploše.
Tvrdá Lefschetzova věta ve skutečnosti platí jakýkoli kompaktní Kähler potrubí, s izomorfismem v de Rhamově kohomologii daným vynásobením mocí třídy třídy Kählerovy formy. Může selhat u jiných než Kählerových potrubí: například Hopfovy povrchy mají mizející druhé kohomologické skupiny, takže neexistuje analogie druhé kohomologické třídy sekce hyperplánu.
Byla prokázána tvrdá Lefschetzova věta - adic cohomology hladkých projektivních odrůd přes algebraicky uzavřená pole pozitivní charakteristiky pomocí Pierre Deligne (1980 ).
Reference
- ^ Milnor 1969, Věta 7.3 a Dodatek 7.4
- ^ Voisin 2003, Věta 1.23
- ^ Lefschetz 1924
- ^ Griffiths, Spencer & Whitehead 1992
- ^ Andreotti a Frankel 1959
- ^ Milnor 1969, str. 39
- ^ Bott 1959
- ^ Lazarsfeld 2004, Příklad 3.1.24
- ^ Voisin 2003, Věta 1.29
- ^ Lazarsfeld 2004, Věta 3.1.13
- ^ Lazarsfeld 2004, Příklad 3.1.25
- ^ Beauville
- ^ Sabbah 2001
Bibliografie
- Andreotti, Aldo; Frankel, Theodore (1959), „Lefschetzova věta o úsecích nadroviny“, Annals of Mathematics, Druhá série, 69: 713–717, doi:10.2307/1970034, ISSN 0003-486X, PAN 0177422
- Beauville, Arnaud, Hodgeova domněnka, CiteSeerX 10.1.1.74.2423
- Bott, Raoul (1959), „K teorému Lefschetze“, Michigan Mathematical Journal, 6 (3): 211–216, doi:10,1307 / mmj / 1028998225, PAN 0215323, vyvoláno 2010-01-30
- Deligne, Pierre (1980), „La Conecture de Weil. II“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS (52): 137–252, ISSN 1618-1913, PAN 0601520
- Griffiths, Phillip; Spencer, Donald C.; Whitehead, George W. (1992), „Solomon Lefschetz“, v National Academy of Sciences, Office of the Home Secretary (ed.), Životopisné paměti, 61, The National Academies Press, ISBN 978-0-309-04746-3
- Lazarsfeld, Robert (2004), Pozitivita v algebraické geometrii. Já, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. Řada moderních průzkumů v matematice], 48, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, PAN 2095471
- Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique„Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars Přetištěno Lefschetz, Solomon (1971), Vybrané příspěvky, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, PAN 0299447
- Milnor, John Willard (1963), Morseova teorie, Annals of Mathematics Studies, No. 51, Princeton University Press, PAN 0163331
- Sabbah, Claude (2001), Theorie de Hodge et theoreme de Lefschetz "difficile" (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 07.07.2004
- Voisin, Claire (2003), Hodgeova teorie a složitá algebraická geometrie. II, Cambridge studia pokročilé matematiky, 77, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511615177, ISBN 978-0-521-80283-3, PAN 1997577