Hilbertovo schéma - Hilbert scheme

v algebraická geometrie, pobočka matematika, a Hilbertovo schéma je systém to je prostor parametrů pro uzavřené podsystémy nějakého projektivního prostoru (nebo obecnějšího projektivního schématu), zdokonalení Chow odrůda. Hilbertovo schéma je disjunktní unie projektivní dílčí schémata souhlasí s Hilbertovy polynomy. Základní teorie Hilbertových schémat byla vyvinuta Alexander Grothendieck (1961 ). Příklad Hironaky ukazuje, že neprojektivní odrůdy nemusí mít Hilbertova schémata.

Hilbertovo schéma projektivního prostoru

Hilbertovo schéma ${displaystyle mathbf {Hilb} (n)}$ z ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ klasifikuje uzavřené podsystémy projektivního prostoru v následujícím smyslu: Pro libovolné lokálně Noetherian schéma $S$ , soubor $S$ -hodnocené body

{displaystyle operatorname {Hom} (S, mathbf {Hilb} (n))}

Hilbertova schématu je přirozeně izomorfní se souborem uzavřených podsystémů ${displaystyle mathbb {P} ^ {n} imes S}$ to jsou byt přes $S$ . Uzavřené podsystémy ${displaystyle mathbb {P} ^ {n} imes S}$ které jsou ploché $S$ lze neformálně považovat za rodiny podsystémů projektivního prostoru parametrizovaných pomocí $S$ . Hilbertovo schéma ${displaystyle mathbf {Hilb} (n)}$ rozpadá se jako disjunktní spojení kusů ${displaystyle mathbf {Hilb} (n, P)}$ odpovídá Hilbertovu polynomu dílčích schémat projektivního prostoru s Hilbertovým polynomem $P$ . Každá z těchto částí je projektivně u konce ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z})}$ .

Konstrukce

Grothendieck zkonstruoval Hilbertovo schéma ${displaystyle mathbf {Hilb} (n) _ {S}}$ z $n$ -dimenzionální projektivní prostor přes noetherovské schéma $S$ jako podsystém a Grassmannian definované zmizením různých determinanty. Jeho základní vlastností je vlastnost systému $T$ přes $S$ , představuje funktor, jehož $T$ -hodnotové body jsou uzavřené podsystémy ${displaystyle mathbb {P} ^ {n} imes _ {S} T}$ které jsou ploché $T$ .

Li $X$ je podsystémem $n$ - tedy dimenzionální projektivní prostor $X$ odpovídá odstupňovanému ideálu ${displaystyle I_ {X}}$ polynomiálního kruhu $S$ v ${displaystyle n + 1}$ proměnné s odstupňovanými kousky ${displaystyle I_ {X} (m)}$ . Pro dostatečně velké $m$ , v závislosti pouze na Hilbertově polynomu $P$ z $X$ , všechny vyšší kohomologické skupiny $X$ s koeficienty v $Ó (m)$ zejména zmizet ${displaystyle I_ {X} (m)}$ má rozměr $Q (m) - P (m)$ , kde $Q$ je Hilbertův polynom projektivního prostoru.

Vyberte dostatečně velkou hodnotu $m$ . The $(Q (m) - P (m))$ -rozměrný prostor $Já X (m)$ je podprostorem $Q (m)$ -rozměrný prostor $S (m)$ , tedy představuje bod Grassmannian $GR (Q (m) - P (m), Q (m))$ . To poskytne vložení části Hilbertova schématu odpovídající Hilbertovu polynomu $P$ do tohoto Grassmannian.

Zbývá popsat strukturu schématu na tomto obrázku, jinými slovy popsat dostatek prvků k tomu odpovídajícímu ideálu. Dostatek takových prvků je dán podmínkami, které mapa $Já X (m) \otimes S (k) \to S (k + m)$ má hodnost nanejvýš $ztlumit(Já X (k + m))$ pro všechny pozitivní $k$ , což je ekvivalent zmizení různých determinantů. (Pečlivější analýza ukazuje, že stačí vzít $k = 1$ .)

Vlastnosti^[1]

Univerzálnost

Vzhledem k uzavřenému podsystému ${displaystyle Ysubset mathbb {P} _ {k} ^ {n} = X}$ nad polem s Hilbertovým polynomem ${displaystyle P}$ , Hilbertovo schéma $H = Hilb (n, P)$ má univerzální podsystém ${displaystyle Wsubset X imes H}$ naplocho ${displaystyle H}$ takhle

Vlákna ${displaystyle W_ {x}}$ přes uzavřené body ${displaystyle xin H}$ jsou uzavřené podsystémy ${displaystyle X}$ . Pro ${displaystyle Ysubset X}$ označte tento bod ${displaystyle x}$ tak jako ${displaystyle [Y] v H}$ .
${displaystyle H}$ je univerzální s ohledem na všechny ploché rodiny podsystémů ${displaystyle X}$ s Hilbertovým polynomem ${displaystyle P}$ . To znamená, vzhledem k schématu ${displaystyle T}$ a plochá rodina ${displaystyle W'subset T imes X}$ existuje jedinečný morfismus ${displaystyle phi: T o X}$ takhle ${displaystyle phi ^ {*} Wcong W '}$ .

Tečný prostor

Tečný prostor bodu ${displaystyle [Y] v H}$ je dáno globálními částmi normálního svazku ${displaystyle N_ {Y / X}}$ ; to je

{displaystyle T _ {[Y]} H = H ^ {0} (Y, N_ {Y / X})}

Bez překážek úplných křižovatek

Pro místní úplné křižovatky ${displaystyle Y}$ takhle ${displaystyle H ^ {1} (Y, N_ {X / Y}) = 0}$ , bod ${displaystyle [Y] v H}$ je hladký. To znamená všechno deformace z ${displaystyle Y}$ v ${displaystyle X}$ je bez překážek.

Dimenze tečného prostoru

V případě ${displaystyle H ^ {1} (Y, N_ {X / Y}) ekv. 0}$ , rozměr ${displaystyle H}$ na ${displaystyle [Y]}$ je větší nebo rovno ${displaystyle h ^ {0} (Y, N_ {X / Y}) - h ^ {1} (Y, N_ {X / Y})}$ .

Kromě těchto vlastností Macaulay (1927) určeno, pro které polynomy Hilbertovo schéma ${displaystyle mathbf {Hilb} (n, P)}$ není prázdné a Hartshorne (1966) ukázal, že pokud ${displaystyle mathbf {Hilb} (n, P)}$ není prázdný, pak je lineárně spojen. Takže dva podsystémy projektivního prostoru jsou ve stejné propojené složce Hilbertova schématu právě tehdy, pokud mají stejný Hilbertův polynom.

Hilbertova schémata mohou mít špatné singularity, například neredukovatelné složky, které nejsou ve všech bodech redukovány. Mohou mít také neredukovatelné složky neočekávaně vysoké dimenze. Například by se dalo očekávat Hilbertovo schéma $d$ body (přesněji kóta 0, délka $d$ dílčí schémata) schématu dimenze $n$ mít rozměr $dn$ , ale pokud $n \geq 3$ jeho neredukovatelné složky mohou mít mnohem větší rozměr.

Funkční interpretace

Existuje alternativní interpretace Hilbertova schématu, která vede k zobecnění relativních Hilbertových schémat parametrizujících podsystémy relativního schématu. Pro pevné základní schéma ${displaystyle S}$ , nechť ${displaystyle Xin (Sch / S)}$ a nechte

${displaystyle {underline {ext {Hilb}}} _ {X / S} :( Sch / S) ^ {op} o Sady}$

být funktorem posílajícím relativní schéma ${displaystyle T o S}$ do množiny tříd izomorfismu množiny

${displaystyle {underline {ext {Hilb}}} _ {X / S} (T) = left {{egin {matrix} Z & hookrightarrow & X imes _ {S} T & o & T downarrow && downarrow && downarrow T & = & T & o & Send {matrix }}: Z o T {ext {is flat}} ight} / sim}$

kde ekvivalenční vztah je dán třídami izomorfismu z ${displaystyle Z}$ . Tato konstrukce je funkcionářská tím, že umožňuje návraty rodin. Dáno ${displaystyle f: T 'o T}$ existuje rodina ${displaystyle f ^ {*} Z = Z imes _ {T} T '}$ přes ${displaystyle T '}$ .

Reprezentativnost pro projektivní mapy

Pokud je mapa struktury ${displaystyle X o S}$ je projektivní, pak tento funktor představuje Hilbertovo schéma zkonstruované výše. Zobecnit to v případě map konečného typu vyžaduje technologii algebraické prostory vyvinutý Artinem.^[2]

Relativní Hilbertovo schéma pro mapy algebraických prostorů

Ve své největší obecnosti je Hilbertův funktor definován pro mapu konečného typu algebraických prostorů ${displaystyle f: X o B}$ definováno přes schéma ${displaystyle S}$ . Potom je Hilbertův funktor definován jako^[3]

${displaystyle {underline {ext {Hilb}}} _ {X / B} :( Sch / B) ^ {op} o Sady}$

odesílání

${displaystyle {underline {ext {Hilb}}} _ {X / B} (T) = left {Zsubset X imes _ {B} T: {egin {aligned} & Z o T {ext {is flat, proper,}} & {ext {a konečná prezentace}} konec {zarovnáno}} vpravo}}$

Tento funktor není reprezentovatelný schématem, ale algebraickým prostorem. Také pokud ${displaystyle S = {ext {Spec}} (mathbb {Z})}$ , a ${displaystyle X o B}$ je mapa schémat konečného typu, jejich Hilbertův funktor je reprezentován algebraickým prostorem.

Příklady Hilbertových schémat

Fano schémata hyperplošin

Jedním z motivujících příkladů vyšetřování Hilbertovy schématu obecně byl Fano schéma projektivního schématu. Daný podsystém ${displaystyle Xsubset mathbb {P} ^ {n}}$ stupně ${displaystyle d}$ existuje schéma ${displaystyle F_ {k} (X)}$ v ${displaystyle mathbb {G} (k, n)}$ parametrizace ${displaystyle Hsubset Xsubset mathbb {P} ^ {n}}$ kde ${displaystyle H}$ je ${displaystyle k}$ - letadlo dovnitř ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ , což znamená, že se jedná o jeden stupeň vložení ${displaystyle mathbb {P} ^ {k}}$ .^[4] Pro hladké povrchy v ${displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ stupně ${displaystyle dgeq 3}$ , neprázdná schémata Fano ${displaystyle F_ {k} (X)}$ jsou hladké a nulové. Důvodem je, že čáry na hladkých površích mají negativní průnik.^[4]

Hilbertovo schéma bodů

Další běžnou sadou příkladů jsou Hilbertova schémata ${displaystyle n}$ - body schématu ${displaystyle X}$ , obvykle označován ${displaystyle X ^ {[n]}}$ . Pro ${displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ tam je pěkná geometrická interpretace, kde jsou hraniční loci ${displaystyle Bsubset H}$ popis průniku bodů lze uvažovat o parametrizaci bodů spolu s jejich tečnými vektory. Například, ${displaystyle (mathbb {P} ^ {2}) ^ {[2]}}$ je výbuch ${displaystyle Bl_ {Delta} (mathbb {P} ^ {2} imes mathbb {P} ^ {2} / S_ {2})}$ úhlopříčky^[5] modulovat symetrickou akci.

Hyperplochy stupně d

Hilbertovo schéma hyperplošin stupně k v ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ je dána projektivizací ${displaystyle mathbb {P} (Gamma ({mathcal {O}} (k)))}$ . Například Hilbertovo schéma stupně 2 hyperplochy v ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ je ${displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ s univerzálním nadpovrchem daným

{displaystyle {ext {Proj}} (k [x_ {0}, x_ {1}] [alfa, eta, gama] / (alfa x_ {0} ^ {2} + eta x_ {0} x_ {1} + gamma x_ {1} ^ {2})) subseteq mathbb {P} _ {x_ {0}, x_ {1}} ^ {1} imes mathbb {P} _ {alpha, eta, gamma} ^ {2}}

kde je podkladový prsten bigraded.

Hilbertovo schéma křivek a modulů křivek

Pro stálý rod ${displaystyle g}$ algebraická křivka ${displaystyle C}$ , stupeň tri-tenzorového dualizačního svazku ${displaystyle omega _ {C} ^ {otimes 3}}$ je globálně generováno, což znamená, že jeho Eulerova charakteristika je určena rozměrem globálních řezů, takže

${displaystyle chi (omega _ {C} ^ {otimes 3}) = dim H ^ {0} (C, omega _ {X} ^ {otimes 3})}$

Rozměr tohoto vektorového prostoru je ${displaystyle 5g-5}$ , tedy globální sekce ${displaystyle omega _ {C} ^ {otimes 3}}$ určit vložení do

${displaystyle mathbb {P} ^ {5g-6}}$

pro každý rod ${displaystyle g}$ křivka. Pomocí Riemann-Rochova vzorce lze vypočítat asociovaný Hilbertův polynom jako

${displaystyle H_ {C} (t) = 6 (g-1) + (1-g)}$

Potom Hilbertovo schéma

${displaystyle {ext {Hilb}} _ {mathbb {P} ^ {5g-6}} ^ {H_ {C} (t)}}$

parametrizuje všechny křivky rodu g. Konstrukce tohoto schématu je prvním krokem při konstrukci modulu modulů algebraických křivek. Dalším hlavním technickým nástrojem jsou kvocienty GIT, protože tento prostor modulů je konstruován jako kvocient

${displaystyle {mathcal {M}} _ {g} = [U_ {g} / GL_ {5g-6}]}$

kde ${displaystyle U_ {g}}$ je sublokus hladkých křivek v Hilbertově schématu.

Hilbertovo schéma bodů na potrubí

„Hilbertovo schéma“ někdy odkazuje na přesné Hilbertovo schéma 0-rozměrných dílčích schémat na schématu. Neformálně to lze považovat za něco jako konečné kolekce bodů na schématu, i když tento obrázek může být velmi zavádějící, když se několik bodů shoduje.

Tady je Hilbert – Chowův morfismus od redukovaného Hilbertovho schématu bodů až po Chowovu řadu cyklů, která vezme jakékoli 0-dimenzionální schéma do svého přidruženého 0-cyklu. (Fogarty1968, 1969, 1973 ).

Hilbertovo schéma $M [n]$ z $n$ body na $M$ je vybaven přirozeným morfismem k $n$ - symetrický součin $M$ . Tento morfismus je birational pro $M$ dimenze maximálně 2. Pro $M$ dimenze nejméně 3 není morfismus pro většinu birational $n$ : Hilbertovo schéma je obecně redukovatelné a má komponenty dimenze mnohem větší než u symetrického součinu.

Hilbertovo schéma bodů na křivce $C$ (komplexní komplex dimenze 1) je izomorfní s a symetrická síla z $C$ . Je to hladké.

Hilbertovo schéma $n$ body na a povrch je také hladký (Grothendieck). Li $n = 2$ , získává se z $M \times M$ vybouchnutím úhlopříčky a vydělením $Z /2 Z$ akce vyvolaná $(X, y) \mapsto (y, X)$ . To bylo používáno Mark Haiman v jeho důkazu pozitivity koeficientů některých Macdonaldovy polynomy.

Hilbertovo schéma hladkého potrubí o rozměru 3 nebo více obvykle není plynulé.

Hilbertova schémata a hyperkählerova geometrie

Nechat $M$ být komplexem Kähler povrch s $C 1 = 0$ (Povrch K3 nebo torus). Kanonický svazek $M$ je triviální, jak vyplývá z Kodaira klasifikace povrchů. Proto $M$ připouští holomorfní symplektický formulář. Bylo to pozorováno uživatelem Akira Fujiki (pro $n = 2$ ) a Arnaud Beauville že $M [n]$ je také holomorfně symplektický. To není příliš těžké vidět, např. Pro $n = 2$ . Vskutku, $M [2]$ je zvětšení symetrického čtverce $M$ . Singularity $Sym 2 M$ jsou místně izomorfní $C 2 \times C 2 /{\pm1}.$ Nafouknutí $C 2 /{\pm1}$ je $T * P 1 (C)$ a tento prostor je symplektický. To se používá k prokázání, že symplektická forma se přirozeně rozšiřuje na hladkou část výjimečných dělitelů $M [n]$ . Je rozšířena na zbytek $M [n]$ podle Hartogsův princip.

Holomorfně symplektický, Kähler potrubí je hyperkähler, jak vyplývá z Věta Calabi – Yau. Hilbertovy schémata bodů na Povrch K3 a na 4-dimenzionálním torusu uveďte dvě série příkladů hyperkähler rozdělovače: Hilbertovo schéma bodů na K3 a zobecněné Kummerův povrch.

Viz také

Reference

^ Hartshorne, Robine (2010). Teorie deformace. Postgraduální texty z matematiky. New York: Springer-Verlag. str. 5–6. ISBN 978-1-4419-1595-5.
^ Artin, M. (2015-12-31), „Algebraizace formálních modulů: I“, Globální analýza: Papers in Honor of K. Kodaira (PMS-29)„Princeton: Princeton University Press, s. 21–72, doi:10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0
^ „Sekce 97.9 (0CZX): Hilbertův funktor - projekt Stohy“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-06-17.
^ ^A ^b „3264 a tak dále“ (PDF). 203, 212.
^ „Obecný úvod do Hilbertova schématu bodů v letadle“ (PDF). Archivováno (PDF) z původního dne 26. února 2020.

Beauville, Arnaud (1983), „Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle“, Journal of Differential Geometry, 18 (4): 755–782, doi:10.4310 / jdg / 1214438181, PAN 0730926
I. Dolgachev (2001) [1994], „Hilbertovo schéma“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Základní algebraická geometrie Matematické průzkumy a monografie 123„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3541-8, PAN 2222646
Fogarty, John (1968), „Algebraické rodiny na algebraickém povrchu“, American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511–521, doi:10.2307/2373541, JSTOR 2373541, PAN 0237496
Fogarty, John (1969), „Zkrácené Hilbertovy funktory“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 234: 65–88, PAN 0244268, archivovány z originál dne 12.02.2013
Fogarty, John (1973), "Algebraické rodiny na algebraické ploše. II. Picardovo schéma přesného Hilberta", American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 95 (3): 660–687, doi:10.2307/2373734, JSTOR 2373734, PAN 0335512
Göttsche, Lothar (1994), Hilbertova schémata nulových dimenzionálních podsystémů hladkých odrůdPřednášky z matematiky, 1572, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, PAN 1312161
Grothendieck, Alexander (1961), Techniky konstrukcí a théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 221 Přetištěno Adrien Douady; Roger Godement; Alain Guichardet ... (1995), Séminaire Bourbaki, sv. 6, Paříž: Société Mathématique de France, str. 249–276, ISBN 2-85629-039-6, PAN 1611822
Hartshorne, Robine (1966), „Propojenost Hilbertova schématu“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, PAN 0213368
Macaulay, F. S. (1927), „Některé vlastnosti výčtu v teorii modulárních systémů“, Proceedings of the London Mathematical Society, Řada 2, 26: 531–555, doi:10.1112 / plms / s2-26.1.531
Mumford, David (1966-08-21), Přednášky o křivkách na algebraickém povrchu, Annals of Mathematics Studies, 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6
Nakajima, Hiraku (1999), Přednášky o Hilbertových schématech bodů na plochách, Univerzitní přednáškový cyklus, 18„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-1956-2, PAN 1711344
Nitsure, Nitin (2005), „Konstrukce schémat Hilberta a Quota“, Základní algebraická geometrie, Math. Průzkumy Monogr., 123„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 105–137, arXiv:matematika / 0504590, Bibcode:Matematika 2005 ... 4590N, PAN 2223407
Qin, Zhenbo (2018), Hilbertovy schémata bodů a nekonečné dimenzionální Lieovy algebryMatematické průzkumy a monografie 228„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-1-4704-4188-3

Příklady a aplikace

externí odkazy

Bertram, Aaron (1999), Konstrukce Hilbertova schématu, vyvoláno 2008-09-06
Bolognese, Barbara; Losev, Ivan, Obecný úvod do Hilbertova schématu bodů v rovině (PDF), archivovány od originálu dne 2017-08-30CS1 maint: BOT: stav původní adresy URL neznámý (odkaz)
Maclagan, Diane, Poznámky k Hilbertovým schématům (PDF), archivovány od originálu dne 2016-03-07CS1 maint: BOT: stav původní adresy URL neznámý (odkaz)

[1] Hartshorne, Robine (2010). Teorie deformace. Postgraduální texty z matematiky. New York: Springer-Verlag. str. 5–6. ISBN 978-1-4419-1595-5.

[2] Artin, M. (2015-12-31), „Algebraizace formálních modulů: I“, Globální analýza: Papers in Honor of K. Kodaira (PMS-29)„Princeton: Princeton University Press, s. 21–72, doi:10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0

[3] „Sekce 97.9 (0CZX): Hilbertův funktor - projekt Stohy“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-06-17.

[:0-4] A ^b „3264 a tak dále“ (PDF). 203, 212.

[5] „Obecný úvod do Hilbertova schématu bodů v letadle“ (PDF). Archivováno (PDF) z původního dne 26. února 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]