K.-teorie kategorie - K-theory of a category - Wikipedia

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Listopad 2017)

v algebraický K.-teorie, K.-teorie a kategorie C (obvykle vybaven nějakým doplňkovým údajem) je posloupnost abelianské skupiny K._i(C) s ním spojené. Li C je abelianská kategorie, není potřeba dalších dat, ale obecně má smysl hovořit o teorii K až po zadání C struktura přesná kategorie nebo Waldhausen kategorie nebo dg-kategorie, případně další varianty. Existuje tedy několik konstrukcí těchto skupin, které odpovídají různým druhům struktur C. Tradičně K.-teorie C je definovaný být výsledkem vhodné konstrukce, ale v některých kontextech existují koncepčnější definice. Například K.-theory je „univerzální invariant aditiv“ kategorií dg^[1] a malý stabilní ∞-kategorie.^[2]

Motivace pro tuto představu pochází algebraická K-teorie z prsteny. Pro prsten R Daniel Quillen v Quillen (1973) představil dva ekvivalentní způsoby, jak najít vyšší K-teorii. The plus konstrukce vyjadřuje K._i(R) ve smyslu R přímo, ale je těžké prokázat vlastnosti výsledku, včetně základních, jako je funkčnost. Druhým způsobem je zvážit přesnou kategorii projektivní moduly přes R a nastavit K._i(R) být K-teorií této kategorie, definovanou pomocí Q-konstrukce. Tento přístup se ukázal jako užitečnější a mohl by být použit i pro jiné přesné kategorie. Později Friedhelm Waldhausen v Waldhausen (1985) rozšířil pojem K-teorie ještě dále na velmi různé druhy kategorií, včetně kategorie topologické prostory.

K-teorie Waldhausenových kategorií

V algebře je S-konstrukce je stavba v algebraická K-teorie který vytváří model, který lze použít k definování vyšších K-skupin. Je to kvůli Friedhelm Waldhausen a týká se kategorie s kofibracemi a slabou rovnocenností; taková kategorie se nazývá a Waldhausen kategorie a zobecňuje Quillen přesná kategorie. O kofibraci lze uvažovat jako o analogii k a monomorfismus „Kategorie s kofibracemi je kategorie, ve které jsou zhruba monomorfismy stabilní tlačení.^[3] Podle Waldhausena bylo „S“ vybráno jako zastánce Graeme B. Segal.^[4]

Na rozdíl od Q-konstrukce, který produkuje topologický prostor, S-konstrukce produkuje a zjednodušená sada.

Detaily

The kategorie šipek ${ displaystyle Ar (C)}$ kategorie C je kategorie, jejíž objekty jsou morfismy C a jejichž morfismy jsou čtverce C. Nechte konečnou objednanou množinu ${ displaystyle [n] = {0 <1 <2 < cdots$ být považována za kategorii obvyklým způsobem.

Nechat C být kategorií s kofibracemi a nechat ${ displaystyle S_ {n} C}$ být kategorií, jejíž objekty jsou funktory ${ displaystyle f: Ar [n] do C}$ takové, že pro ${ Displaystyle i leq j leq k}$, ${ displaystyle f (i = i) = *}$, ${ Displaystyle f (i leq j) až f (i leq k)}$ je kofibrace a ${ displaystyle f (j leq k)}$ je prosazování ${ Displaystyle f (i leq j) až f (i leq k)}$ a ${ Displaystyle f (i leq j) až f (j = j) = *}$. Kategorie ${ displaystyle S_ {n} C}$ takto definovaná je sama o sobě kategorií s kofibracemi. Lze tedy iterovat konstrukci a vytvořit sekvenci${ displaystyle S ^ {(m)} C = S cdots SC}$. Tato sekvence je a spektrum volal Spektrum K-teorie z C.

Věta o aditivitě

Nejzákladnější vlastnosti algebraické K-teorie kategorií jsou důsledky následující důležité věty.^[5] Ve všech dostupných nastaveních jsou jeho verze. Zde je prohlášení pro kategorie Waldhausen. Zejména se používá k ukázce, že posloupnost prostorů získaných iterovanou konstrukcí S je Ω-spektrum.

Nechat C být Waldhausen kategorie. Kategorie rozšíření ${ displaystyle { mathcal {E}} (C)}$ má jako objekty sekvence ${ displaystyle A rightarrowtail B twoheadrightarrow A '}$ v C, kde první mapa je cofibration, a ${ displaystyle B twoheadrightarrow A '}$ je kvocientová mapa, tj. a vystrčit prvního podél nulové mapy A → 0. Tato kategorie má přirozenou strukturu Waldhausenu a zapomnětlivý funktor ${ displaystyle [A rightarrowtail B twoheadrightarrow A '] mapsto (A, A')}$ z ${ displaystyle { mathcal {E}} (C)}$ na C × C respektuje to. The věta o aditivitě říká, že indukovaná mapa na K-teoretických prostorech ${ displaystyle K ({ mathcal {E}} (C)) až K (C) krát K (C)}$ je homotopická ekvivalence.^[6]

Pro dg-kategorie prohlášení je podobné. Nechat C být malá pretriangulovaná dg kategorie s a semiortogonální rozklad ${ displaystyle C cong langle C_ {1}, C_ {2} rangle}$. Pak mapa K-teoretických spekter K (C) → K (C₁) ⊕ K (C₂) je homotopická ekvivalence.^[7] Ve skutečnosti je K-theory univerzálním funktorem, který splňuje tuto aditivní vlastnost a Morita invariance.^[1]

Kategorie konečných množin

Zvažte kategorii špičatý konečné množiny. Tato kategorie má objekt ${ textstyle k _ {+} = {0,1, ldots, k }}$ pro každého přirozené číslo ka morfismy v této kategorii jsou funkce ${ textstyle f: m _ {+} až n _ {+}}$ které zachovávají nulový prvek. Věta o Barratt, Priddy a Quillen říká, že algebraická K-teorie této kategorie je a sférické spektrum.^[4]

Smíšený

Obecněji v teorii abstraktních kategorií je K-teorie kategorie typem dekategorifikace ve kterém je sada vytvořena z třídy ekvivalence objektů ve stabilní (∞, 1) kategorii, kde prvky sady zdědí Abelian skupina struktura z přesné sekvence v kategorii.^[8]

Metoda skupinového dokončení

The Grothendieckova skupina stavba je funktor z kategorie prstenů do kategorie abelianských skupin. Ten vyšší K.-torie by pak měla být funktorem z kategorie prstenů, ale do kategorie vyšších předmětů, jako je zjednodušené abelianské skupiny.

Topologická Hochschildova homologie

Waldhausen představil myšlenku trasovací mapy z algebraiky K.-teorie prstenu k jeho Hochschildova homologie; prostřednictvím této mapy lze získat informace o K.-teorie z Hochschildovy homologie. Bökstedt rozčlenil tuto stopovou mapu, což vedlo k myšlence funktoru známého jako topologická Hochschildova homologie prstencové Spektrum Eilenberg – MacLane.^[9]

K-teorie jednoduchého kruhu

Li R je konstantní zjednodušený kruh, pak je to totéž jako K.-teorie prstenu.

Viz také

• Volodinský prostor
• Homologická homologie

Poznámky

Reference

• J. Lurie, Vyšší algebra, naposledy aktualizováno v srpnu 2017
• Toën, B .; Vezzosi, G. (2004). „Poznámka k K.-teorie a S-Kategorie". Topologie. 43 (4): 765–791. arXiv:matematika / 0210125. doi:10.1016 / j.top.2003.10.008.
• Carlsson, Gunnar (2005). „Deloopings in Algebraic K-Theory“ (PDF). In Friedlander, Eric M .; Grayson, Daniel R. (eds.). Příručka teorie K. Springer Berlin Heidelberg. s. 3–37. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_1. ISBN  9783540230199.
• Quillen, Daniel (1973), "Vyšší algebraická K-teorie. I", Algebraická K-teorie, I: Vyšší K-teorie (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), Přednášky v matematice, 341, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 85–147, doi:10.1007 / BFb0067053, ISBN  978-3-540-06434-3, PAN  0338129
• Waldhausen, Friedhelm (1985). „Algebraická K-teorie prostorů“. Algebraická a geometrická topologie. Přednášky z matematiky. 1126: 318–419. doi:10.1007 / BFb0074449. ISBN  978-3-540-15235-4.
• Thomason, Robert W. (1979). „První kvadrantové spektrální sekvence v algebraické K-teorii“ (PDF). Algebraická topologie Aarhus 1978. Springer. 332–355.
• Blumberg, Andrew J; Gepner, David; Tabuada, Gonçalo (2013-04-18). "Univerzální charakterizace vyšší algebraické K-teorie". Geometrie a topologie. 17 (2): 733–838. arXiv:1001.2282. doi:10.2140 / gt.2013.17.733. ISSN  1364-0380.

Další čtení

• Geisser, Thomas (2005). "Cyklotomická stopová mapa a hodnoty funkcí zeta". Algebra a teorie čísel. Hindustan Book Agency, Gurgaon. 211–225. arXiv:matematika / 0406547. doi:10.1007/978-93-86279-23-1_14. ISBN  978-81-85931-57-9.

Pro nedávný přístup do kategorie, viz

• Dyckerhoff, Tobias; Kapranov, Michail (2012-12-14). "Vyšší segalské prostory I". arXiv:1212.3563 [matematika. AT ].