Q-konstrukce - Q-construction

V algebře, Quillen je Q-konstrukce spolupracovníci v přesná kategorie (např abelianská kategorie ) an algebraická K-teorie. Přesněji řečeno, vzhledem k přesné kategorii C, konstrukce vytváří a topologický prostor ${ displaystyle B ^ {+} C}$ aby ${ displaystyle pi _ {0} (B ^ {+} C)}$ je Grothendieckova skupina z C a kdy C je kategorie konečně generovaných projektivních modulů přes prsten R, pro ${ displaystyle i = 0,1,2}$ , ${ displaystyle pi _ {i} (B ^ {+} C)}$ je i-tá K-skupina R v klasickém smyslu. (Značka „+“ má naznačovat, že konstrukce přidává do klasifikačního prostoru více před naším letopočtem.) Jeden dá

{ displaystyle K_ {i} (C) = pi _ {i} (B ^ {+} C)}

a nazvat to i-tá K-skupina C. Podobně i-tá K-skupina C s koeficienty ve skupině G je definován jako homotopická skupina s koeficienty:

{ displaystyle K_ {i} (C; G) = pi _ {i} (B ^ {+} C; G)}

.

Konstrukce je široce použitelná a používá se k definování algebraická K-teorie v neklasickém kontextu. Například lze definovat ekvivariantní algebraická K-teorie tak jako ${ displaystyle pi _ {*}}$ z ${ displaystyle B ^ {+}}$ kategorie ekvivariantní snopy na schématu.

Waldhausen je S-konstrukce zobecňuje konstrukci Q ve stabilním smyslu; ve skutečnosti první, který používá obecnější Waldhausen kategorie, vyrábí a spektrum místo mezery. Graysonův binární komplex také dává konstrukci algebraické K-teorie pro přesné kategorie.^[1] Viz také K-teorie # spektra modulu pro K-teorii a kruhové spektrum.

Konstrukce

Nechat C být přesnou kategorií; tj. doplňková úplná podkategorie kategorie abelian, která je uzavřena pod příponou. Pokud existuje přesná sekvence ${ displaystyle 0 až M ' až M až M' 0}$ v C, pak šipka od M ′ se nazývá přípustné mono a šipka z M se nazývá přípustná epi.

Nechat QC být kategorie, jejíž objekty jsou stejné jako objekty C a morfismy z X na Y jsou třídy izomorfismu diagramů ${ displaystyle X leftarrow Z až Y}$ tak, že první šipka je přípustná epi a druhá přípustná mono a dva diagramy jsou izomorfní, pokud se liší pouze uprostřed a existuje mezi nimi izomorfismus. Složení morfismů je dáno pullbackem.

Definujte topologický prostor ${ displaystyle B ^ {+} C}$ podle ${ displaystyle B ^ {+} C = Omega BQC}$ kde ${ displaystyle Omega}$ je funktor smyčkového prostoru a ${ displaystyle BQC}$ je třídicí prostor kategorie QC (geometrická realizace nervu). Jak se ukázalo, je jednoznačně definován až do homotopické ekvivalence (takže zápis je oprávněný.)

Operace

Každý prsten homomorfismus ${ displaystyle R to S}$ indukuje ${ displaystyle B ^ {+} P (R) až B ^ {+} P (S)}$ a tudíž ${ displaystyle K_ {i} (P (R)) = K_ {i} (R) až K_ {i} (S)}$ kde ${ displaystyle P (R)}$ je kategorie konečně generovaných projektivních modulů R. Lze snadno ukázat, že tato mapa (tzv. Převod) souhlasí s mapou definovanou v Milnorově Úvod do algebraické K-teorie.^[2] Konstrukce je také kompatibilní s zavěšení prstenu (srov. Grayson).

Srovnání s klasickou K-teorií kruhu

Věta o Daniel Quillen uvádí, že když C je kategorie konečně generovaných projektivních modulů přes prsten R, ${ displaystyle pi _ {i} (B ^ {+} C)}$ je i-tá K-skupina R v klasickém smyslu pro ${ displaystyle i = 0,1,2}$ . Obvyklý důkaz věty (srov. Weibel 2013) se opírá o přechodnou homotopickou ekvivalenci. Li S je symetrická monoidní kategorie, ve které je každý morfismus izomorfismem, vytvoří se (srov. Grayson) kategorie ${ displaystyle S ^ {- 1} S}$ která zobecňuje Grothendieckovu skupinovou konstrukci monoidu. Nechat C být přesnou kategorií, ve které se každá přesná sekvence rozděluje, např. kategorie konečně generovaných projektivních modulů, a dát ${ displaystyle S = operatorname {iso} C}$ , podkategorie C se stejnou třídou objektů, ale s morfismem, který je izomorfismem C. Pak existuje „přirozená“ rovnocennost homotopy:^[3]

{ displaystyle Omega BQC simeq B (S ^ {- 1} S)}

.

Ekvivalence je konstruována následovně. Nechat E být kategorie, jejíž objekty jsou krátké přesné sekvence C a jejichž morfismy jsou izomorfismem tříd diagramů mezi nimi. Nechat ${ displaystyle f: E na QC}$ být funktorem, který posílá krátkou přesnou sekvenci ke třetímu členu v posloupnosti. Všimněte si vlákna ${ displaystyle f ^ {- 1} (X)}$ , což je podkategorie, se skládá z přesných sekvencí, jejichž třetí člen je X. To dělá E A kategorie přeplátovaná ${ displaystyle QC}$ . Psaní ${ displaystyle S ^ {- 1} f}$ pro ${ displaystyle S ^ {- 1} E na QC}$ existuje očividná (tedy přirozená) inkluze ${ displaystyle Omega BQC}$ do homotopy vlákno ${ displaystyle F (BS ^ {- 1} f)}$ , což lze prokázat jako homotopickou ekvivalenci. Na druhou stranu tím, že Quillenova věta B, to lze ukázat ${ displaystyle B (S ^ {- 1} S)}$ je homotopy pullback z ${ displaystyle BS ^ {- 1} f}$ podél ${ displaystyle * na BQC}$ a je tedy homotopy ekvivalentní s ${ displaystyle F (BS ^ {- 1} f)}$ .

Nyní bereme C být kategorií konečně generovaných projektivních modulů přes prsten R a ukazuje to ${ displaystyle pi _ {i} B (S ^ {- 1} S)}$ jsou ${ displaystyle K_ {i}}$ z R v klasickém smyslu pro ${ displaystyle i = 0,1,2}$ . Nejprve ze definice ${ displaystyle pi _ {0} B (S ^ {- 1} S) = K_ {0} (R)}$ . Další, ${ displaystyle GL_ {n} (R) = operatorname {Aut} (R ^ {n}) do S ^ {- 1} S}$ nám dává:

{ displaystyle BGL (R) = varinjlim BGL_ {n} (R) do B (S ^ {- 1} S)}

.

(Tady, ${ displaystyle BGL (R)}$ je buď klasifikační prostor kategorie ${ displaystyle GL (R)}$ nebo Eilenberg – MacLaneův prostor typu ${ displaystyle K (GL (R), 1)}$ , ve výši stejné věci.) Obraz ve skutečnosti spočívá v identitní složce ${ displaystyle B (S ^ {- 1} S)}$ a tak dostaneme:

{ displaystyle f: BGL (R) až B (S ^ {- 1} S) ^ {0}.}

Nechat ${ displaystyle S_ {n}}$ být úplnou podkategorií S skládající se z modulů izomorfních s ${ displaystyle R ^ {n}}$ (tím pádem, ${ displaystyle BS_ {n}}$ je připojená součást obsahující ${ displaystyle R ^ {n}}$ ). Nechat ${ displaystyle e in pi _ {0} (BS)}$ být složkou obsahující R. Potom, Quillenovou větou,

{ displaystyle H_ {p} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) podmnožina H_ {p} (B (S ^ {- 1} S)) = H_ {p} (BS) [ pi _ {0} (BS) ^ {- 1}] = H_ {p} (BS) [e ^ {- 1}].}

Třída vlevo má tedy tvar ${ displaystyle xe ^ {- n}}$ . Ale ${ displaystyle x mapsto xe ^ {m}}$ je vyvolán působením ${ displaystyle R ^ {m} v S}$ . Proto,

{ displaystyle H_ {p} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) = varinjlim H_ {p} (BS_ {n}) = varinjlim H_ {p} (BGL_ {n} (R )) = H_ {p} (BGL (R)), quad p geq 0.}

Od té doby ${ displaystyle B (S ^ {- 1} S) ^ {0}}$ je H-skupina,

{ displaystyle pi _ {1} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) = pi _ {1} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) ^ { text {ab}} = H_ {1} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) = H_ {1} (BGL (R)) = H_ {1} (GL (R)) = GL (R) ^ { text {ab}} = K_ {1} (R).}

Uvidíme ${ displaystyle pi _ {2}}$ je ${ displaystyle K_ {2}}$ . Psaní ${ displaystyle Ff}$ pro homotopy vlákno máme dlouhou přesnou sekvenci:

{ displaystyle pi _ {2} (BGL (R)) = 0 to pi _ {2} (B (S ^ {- 1} S) ^ {0}) to pi _ {1} ( Ff) to pi _ {1} (BGL (R)) = GL (R) to K_ {1} (R).}

Z teorie homotopy víme, že druhý člen je ústřední; tj., ${ displaystyle pi _ {1} (Ff) až E (R)}$ je centrální prodloužení. Z dalšího lemmatu to pak vyplývá ${ displaystyle pi _ {1} (Ff)}$ je univerzální centrální prodloužení (tj., ${ displaystyle pi _ {1} (Ff)}$ je Steinbergova skupina z R a jádro je ${ displaystyle K_ {2} (R)}$ .)

Lemma — Nechat ${ displaystyle f: X až Y}$ být spojitá mapa mezi propojenými CW-komplexy. Li ${ displaystyle f _ {*}: H _ {*} (X, L) až H _ {*} (Y, f ^ {*} L)}$ je izomorfismus pro kohokoli systém místních koeficientů L na X, pak

{ displaystyle H_ {1} ( pi _ {1} (Ff), mathbb {Z}) = H_ {2} ( pi _ {1} (Ff), mathbb {Z}) = 0.}

Důkaz: Homotopický typ ${ displaystyle Ff}$ se nemění, pokud vyměníme F stahováním ${ displaystyle { widetilde {f}}}$ podél univerzálního zakrytí Y ${ displaystyle to Y}$ . Můžeme tedy nahradit hypotézu takovou Y je jednoduše připojen a ${ displaystyle H_ {p} (X, mathbb {Z}) simeq H_ {p} (Y, mathbb {Z}), p geq 0}$ . Nyní Serre spektrální sekvence pro ${ displaystyle Ff až X až Y}$ a ${ displaystyle * na Y na Y}$ říci:

{ displaystyle {} ^ {2} E_ {pq} = H_ {p} (Y, H_ {q} (Ff, mathbb {Z})) Rightarrow H_ {p + q} (X, mathbb {Z }),}

{ displaystyle {} ^ {2} E '_ {pq} = H_ {p} (Y, H_ {q} (*, mathbb {Z})) Rightarrow H_ {p + q} (Y, mathbb {Z}).}

Podle věta o srovnání pro spektrální sekvence, z toho vyplývá, že ${ displaystyle {} ^ {2} E_ {0q} = {} ^ {2} E '_ {0q}}$ ; tj., ${ displaystyle Ff}$ je acyklický. (Shodou okolností lze obrácením argumentu říci, že to naznačuje ${ displaystyle H_ {p} (X, mathbb {Z}) simeq H_ {p} (Y, mathbb {Z});}$ tedy hypotéza lemmatu.) Dále, spektrální sekvence pro krytinu ${ displaystyle { widetilde {Ff}} do Ff}$ se skupinou ${ displaystyle G = pi _ {1} (Ff)}$ říká: