Eliptický filtr - Elliptic filter

An eliptický filtr (také známý jako Cauerův filtr, pojmenoval podle Wilhelm Cauer, nebo jako Zolotarevův filtr, po Jegor Zolotarev ) je filtr zpracování signálu s vyrovnaným vlnění (ekviprip ) chování v obou propustné pásmo a stopband. Množství zvlnění v každém pásmu je nezávisle nastavitelné a žádný jiný filtr stejného řádu nemůže mít rychlejší přechod dovnitř získat mezi propustné pásmo a stopband, pro dané hodnoty zvlnění (ať je zvlnění vyrovnáno nebo ne).^{[Citace je zapotřebí ]} Alternativně by se člověk mohl vzdát schopnosti nezávisle nastavit vlnění propustného a zastavovacího pásma a místo toho navrhnout filtr, který je maximálně necitlivý na variace komponent.

Jak se zvlnění v pásmu zastavení blíží nule, stane se filtr typu I. Čebyševův filtr. Jak se vlnění v propustném pásmu blíží nule, stane se filtr typu II Čebyševův filtr a nakonec, jak se obě hodnoty zvlnění blíží nule, stane se filtr a Butterworthův filtr.

Zisk a dolní propust eliptický filtr jako funkce úhlové frekvence ω je dán vztahem:

${ displaystyle G_ {n} ( omega) = {1 nad { sqrt {1+ epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} ( xi, omega / omega _ {0}) }}}}$

kde R_n je nth-objednávka eliptická racionální funkce (někdy označovaná jako Čebyševova racionální funkce) a

${ displaystyle omega _ {0}}$ je mezní frekvence

${ displaystyle epsilon}$ je faktor zvlnění

${ displaystyle xi}$ je faktor selektivity

Hodnota faktoru zvlnění určuje zvlnění propustného pásma, zatímco kombinace faktoru zvlnění a faktoru selektivity určuje zvlnění zastavovacího pásma.

Vlastnosti

Frekvenční odezva eliptického dolnoprůchodového filtru čtvrtého řádu s ε = 0,5 a ξ = 1,05. Zobrazeny jsou také minimální zisk v propustném pásmu a maximální zisk v zastavovacím pásmu a přechodová oblast mezi normalizovanou frekvencí 1 a ξ

Detail přechodové oblasti výše uvedeného grafu.

• V propustném pásmu se eliptická racionální funkce pohybuje mezi nulou a jednotou. Zisk pásma tedy bude kolísat mezi 1 a ${ displaystyle 1 / { sqrt {1+ epsilon ^ {2}}}}$.
• V pásmu stop se eliptická racionální funkce pohybuje mezi nekonečnem a diskriminačním faktorem ${ displaystyle L_ {n}}$ který je definován jako:

${ displaystyle L_ {n} = R_ {n} ( xi, xi) ,}$

Zisk zastavovacího pásma se proto bude pohybovat mezi 0 a ${ displaystyle 1 / { sqrt {1+ epsilon ^ {2} L_ {n} ^ {2}}}}$.

• V limitu ${ displaystyle xi rightarrow infty}$ eliptická racionální funkce se stává a Čebyševův polynom, a proto se filtr stane a Čebyševův filtr typu I., s faktorem zvlnění ε
• Protože Butterworthův filtr je omezující formou Čebyševova filtru, vyplývá z toho, že v limitu ${ displaystyle xi rightarrow infty}$, ${ displaystyle omega _ {0} rightarrow 0}$ a ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$ takhle ${ displaystyle epsilon , R_ {n} ( xi, 1 / omega _ {0}) = 1}$ filtr se stane a Butterworthův filtr
• V limitu ${ displaystyle xi rightarrow infty}$, ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$ a ${ displaystyle omega _ {0} rightarrow 0}$ takhle ${ displaystyle xi omega _ {0} = 1}$ a ${ displaystyle epsilon L_ {n} = alfa}$, filtr se změní na Čebyševův filtr typu II se ziskem

${ displaystyle G ( omega) = { frac {1} { sqrt {1 + { frac {1} { alpha ^ {2} T_ {n} ^ {2} (1 / omega)}} }}}}$

Poláky a nuly

Přihlaste se k absolutní hodnotě zisku eliptického filtru 8. řádu komplexní frekvenční prostor {{{1}}} s {{{1}}} {{{1}}} a {{{1}}} Bílé skvrny jsou póly a černé skvrny jsou nuly. K dispozici je celkem 16 pólů a 8 dvojitých nul. Zdá se, že v blízkosti přechodové oblasti je jeden pól a nula, jsou ve skutečnosti čtyři póly a dvě dvojité nuly, jak je znázorněno v rozšířeném zobrazení níže. Na tomto obrázku černá odpovídá zisku 0,0001 nebo méně a bílá odpovídá zisku 10 nebo více.

Rozšířené zobrazení v přechodové oblasti výše uvedeného obrázku, řešení čtyř pólů a dvou dvojitých nul.

Nuly zisku eliptického filtru se budou shodovat s póly eliptické racionální funkce, které jsou odvozeny v článku o eliptické racionální funkce.

Póly zisku eliptického filtru lze odvodit způsobem velmi podobným derivaci pólů zisku typu I Čebyševův filtr. Pro zjednodušení předpokládejme, že mezní frekvence se rovná jednotce. Tyče ${ displaystyle ( omega _ {pm})}$ zisku eliptického filtru budou nuly jmenovatele zisku. Použití komplexní frekvence ${ displaystyle s = sigma + j omega}$ tohle znamená tamto:

${ displaystyle 1+ epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} (- js, xi) = 0 ,}$

Definování ${ displaystyle -js = mathrm {cd} (w, 1 / xi)}$ kde cd () je Jacobiho eliptická kosinová funkce a pomocí definice eliptických racionálních funkcí výnosy:

${ displaystyle 1+ epsilon ^ {2} mathrm {cd} ^ {2} left ({ frac {nwK_ {n}} {K}}, { frac {1} {L_ {n}}} right) = 0 ,}$

kde ${ displaystyle K = K (1 / xi)}$ a ${ displaystyle K_ {n} = K (1 / L_ {n})}$. Řešení pro w

${ displaystyle w = { frac {K} {nK_ {n}}} mathrm {cd} ^ {- 1} left ({ frac { pm j} { epsilon}}, { frac {1 } {L_ {n}}} vpravo) + { frac {mK} {n}}}$

kde více hodnot funkce inverzní cd () je explicitních pomocí celočíselného indexu m.

Póly funkce eliptického zisku jsou pak:

${ displaystyle s_ {pm} = i , mathrm {cd} (w, 1 / xi) ,}$

Stejně jako u Čebyševových polynomů lze toto vyjádřit ve výslovně složité formě (Lutovac a kol. 2001, § 12.8) chyba harv: žádný cíl: CITEREFLutovacet_al.2001 (Pomoc)

${ displaystyle s_ {pm} = { frac {a + jb} {c}}}$

${ displaystyle a = - zeta _ {n} { sqrt {1- zeta _ {n} ^ {2}}} { sqrt {1-x_ {m} ^ {2}}} { sqrt { 1-x_ {m} ^ {2} / xi ^ {2}}}}$

${ displaystyle b = x_ {m} { sqrt {1- zeta _ {n} ^ {2} (1-1 / xi ^ {2})}}}$

${ displaystyle c = 1- zeta _ {n} ^ {2} + x_ {i} ^ {2} zeta _ {n} ^ {2} / xi ^ {2}}$

kde ${ displaystyle zeta _ {n}}$ je funkce ${ displaystyle n, , epsilon}$ a ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle x_ {m}}$ jsou nuly eliptické racionální funkce. ${ displaystyle zeta _ {n}}$ je vyjádřitelný pro všechny n pokud jde o Jacobiho eliptické funkce, nebo algebraicky pro některé objednávky, zejména objednávky 1,2 a 3. Pro objednávky 1 a 2 máme

${ displaystyle zeta _ {1} = { frac {1} { sqrt {1+ epsilon ^ {2}}}}}$

${ displaystyle zeta _ {2} = { frac {2} {(1 + t) { sqrt {1+ epsilon ^ {2}}} + { sqrt {(1-t) ^ {2} + epsilon ^ {2} (1 + t) ^ {2}}}}}}$

kde

${ displaystyle t = { sqrt {1-1 / xi ^ {2}}}}$

Algebraický výraz pro ${ displaystyle zeta _ {3}}$ je spíše zapojen (viz Lutovac a kol. (2001, § 12.8.1) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFLutovacet_al.2001 (Pomoc)).

Vlastnost vnoření souboru eliptické racionální funkce lze použít k vytvoření výrazů vyššího řádu pro ${ displaystyle zeta _ {n}}$:

${ displaystyle zeta _ {m cdot n} ( xi, epsilon) = zeta _ {m} vlevo ( xi, { sqrt {{ frac {1} { zeta _ {n} ^ {2} (L_ {m}, epsilon)}} - 1}} vpravo)}$

kde ${ displaystyle L_ {m} = R_ {m} ( xi, xi)}$.

Eliptické filtry s minimálním faktorem Q

Normalizované Q-faktory pólů eliptického filtru 8. řádu s ξ = 1,1 jako funkce faktoru zvlnění ε. Každá křivka představuje čtyři póly, protože komplexní konjugované pólové páry a kladně-záporné pólové páry mají stejný Q-faktor. (Modré a azurové křivky se téměř shodují). Faktor Q všech pólů je současně minimalizován na ε_Qmin = 1 / √L_n = 0.02323...

Vidět Lutovac a kol. (2001, § 12.11, 13.14) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFLutovacet_al.2001 (Pomoc).

Eliptické filtry jsou obecně specifikovány požadováním konkrétní hodnoty pro zvlnění propustného pásma, zvlnění stopového pásma a ostrost mezní hodnoty. Tím se obecně určí minimální hodnota pořadí filtrů, která musí být použita. Další konstrukční úvahou je citlivost funkce zesílení na hodnoty elektronických součástek použitých k sestavení filtru. Tato citlivost je nepřímo úměrná faktoru kvality (Q-faktor ) pólů přenosové funkce filtru. Q-faktor pólu je definován jako:

${ displaystyle Q = - { frac {| s_ {pm} |} {2 mathrm {Re} (s_ {pm})}} = - { frac {1} {2 cos ( arg (s_ { odpoledne}))}}}$

a je měřítkem vlivu pólu na funkci zesílení. U eliptického filtru se stává, že pro daný řád existuje vztah mezi faktorem zvlnění a faktorem selektivity, který současně minimalizuje Q-faktor všech pólů v přenosové funkci:

${ displaystyle epsilon _ {Qmin} = { frac {1} { sqrt {L_ {n} ( xi)}}}}$

To má za následek filtr, který je maximálně necitlivý na variace komponent, ale schopnost samostatně specifikovat vlnění propustného a zastavovacího pásma bude ztracena. U takových filtrů, jak se pořadí zvyšuje, zvlnění v obou pásmech se sníží a rychlost cutoffu se zvýší. Pokud se rozhodnete použít eliptický filtr s minimálním Q, abyste dosáhli konkrétního minimálního zvlnění v pásmech filtru spolu s určitou rychlostí cut-off, bude potřebný řád obecně větší, než jaký by jinak potřeboval bez minimálního Q omezení. Obrázek absolutní hodnoty zisku bude vypadat velmi podobně jako obrázek v předchozí části, až na to, že póly jsou uspořádány spíše do kruhu než do elipsy. Nebudou rovnoměrně rozmístěny a na ose ω budou na rozdíl od nuly Butterworthův filtr, jehož póly jsou uspořádány v rovnoměrně rozmístěném kruhu bez nuly.

Srovnání s jinými lineárními filtry

Zde je obrázek zobrazující eliptický filtr vedle jiných běžných druhů filtrů získaných se stejným počtem koeficientů:

Jak je zřejmé z obrázku, eliptické filtry jsou ostřejší než všechny ostatní, ale ukazují vlnky na celé šířce pásma.

Viz také

• „EllipticFilterModel“. Centrum jazyků a dokumentace Wolfram. Wolfram, Inc.. Citováno 2016-11-05. Výpočet parametrů eliptického filtru pomocí Mathematica.

Reference

• Daniels, Richard W. (1974). Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. New York: McGraw-Hill. ISBN  0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D .; Tosic, Dejan V .; Evans, Brian L. (2001). Návrh filtru pro zpracování signálu pomocí MATLAB a Mathematica. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN  0-201-36130-2.