Neúplná funkce gama - Incomplete gamma function
v matematika, horní a nižší neúplné funkce gama jsou typy speciální funkce které vznikají jako řešení různých matematických problémů, jako jsou určité integrály.
Jejich příslušná jména vycházejí z jejich integrálních definic, které jsou definovány podobně jako funkce gama ale s jinými nebo „neúplnými“ integrálními limity. Funkce gama je definována jako integrál od nuly do nekonečna. To kontrastuje s dolní neúplnou gama funkcí, která je definována jako integrál od nuly po variabilní horní hranici. Podobně je horní neúplná funkce gama definována jako integrál od variabilní dolní hranice do nekonečna.
Definice
Horní neúplná funkce gama je definována jako:
vzhledem k tomu, že dolní neúplná funkce gama je definována jako:
Vlastnosti
V obou případech s je komplexní parametr, takže skutečná část s je pozitivní.
Podle integrace po částech najdeme relace opakování
a
Protože běžná funkce gama je definována jako
my máme
a
Pokračování ke komplexním hodnotám
Dolní neúplná gama a horní neúplná gama funkce, jak jsou definovány výše pro skutečné kladné hodnoty s a X, lze rozvinout do holomorfní funkce, s ohledem na oba X a s, definovaný pro téměř všechny kombinace komplexu X a s.[1] Komplexní analýza ukazuje, jak se vlastnosti skutečných neúplných funkcí gama rozšiřují na jejich holomorfní protějšky.
Nižší neúplná funkce gama
Holomorfní rozšíření
Opakovaná aplikace relace opakování pro nižší neúplné gama funkce vede k výkonová řada expanze: [2]
Vzhledem k rychlý růst v absolutní hodnota z Γ (z + k) když k → ∞ a skutečnost, že převrácená hodnota Γ (z) je celá funkce, koeficienty v součtu zcela vpravo jsou dobře definované a místně součet konverguje rovnoměrně pro všechny složité s a X. Věta Weierstraße,[2] omezující funkce, někdy označovaná jako ,
je celý s ohledem na oba z (pro pevné s) a s (pro pevné z) [4], a tedy holomorfní na ℂ × ℂ od Hartogova věta[5]. Proto následující rozklad
- [6],
rozšiřuje skutečnou nižší neúplnou gama funkci jako a holomorfní funkce společně a samostatně v z a s. Vyplývá to z vlastností a Γ funkce, že první dva faktory zachycují singularity z (na z = 0 nebo s kladné celé číslo), zatímco poslední faktor přispívá k jeho nulám.
Vícecennost
The komplexní logaritmus logz = log |z| + i argz je určen pouze na násobek 2πi, který jej vykreslí více hodnot. Funkce zahrnující komplexní logaritmus tuto vlastnost obvykle dědí. Mezi nimi jsou komplexní moc, a od té doby zs objevuje se také v jeho rozkladu, γ-funkci.
Neurčitost vícehodnotových funkcí přináší komplikace, protože je třeba uvést, jak vybrat hodnotu. Strategie, jak to vyřešit, jsou:
- (nejobecnějším způsobem) nahraďte doménu-funkcí s více hodnotami vhodným potrubím v ℂ × ℂ zvaném Riemannův povrch. Tím se odstraní vícecennost, člověk však musí znát teorii, která za tím stojí [7];
- omezit doménu tak, aby se vícehodnotová funkce rozkládala na samostatné jednohodnotové větve, které lze řešit individuálně.
K správné interpretaci vzorců v této části lze použít následující sadu pravidel. Pokud není uvedeno jinak, předpokládá se následující:
Odvětví
Sektory v ℂ s vrcholem z = 0 se často ukazuje jako vhodná doména pro složité výrazy. Sektor D se skládá ze všech komplexů z naplňující z ≠ 0 a α − δ
Pobočky
Zejména jednohodnotový a holomorfní logaritmus existuje na každém takovém sektoru D, jehož imaginární část je vázána na rozsah (α − δ, α + δ). Na základě takového omezeného logaritmu zs a neúplné funkce gama se zase zhroutí na holoorfní funkce s jednou hodnotou D (nebo ℂ×D), nazývané větve jejich vícehodnotných protějšků na D. Přidání násobku 2π k α získá jinou sadu korelovaných větví na stejné sadě D. V jakémkoli daném kontextu zde α je považován za pevný a jsou k němu přidruženy všechny zúčastněné pobočky. Pokud |α| < δ, jsou nazývány pobočky ředitel školy, protože se rovnají svým skutečným analogům na kladné reálné ose. Poznámka: V mnoha aplikacích a textech platí vzorce pouze pro hlavní větve.
Vztah mezi větvemi
Hodnoty různých větví složité výkonové funkce a nižší neúplné funkce gama lze od sebe odvodit vynásobením [8], pro k vhodné celé číslo.
Chování poblíž bodu odbočky
Výše uvedený rozklad dále ukazuje, že γ se chová blízko z = 0 asymptoticky jako:
Pro pozitivní reálné X, y a s, Xy/ y → 0, když (X, y) → (0, s). Zdá se, že to nastavení ospravedlňuje γ (s, 0) = 0 opravdu s > 0. Ve složité sféře se však věci poněkud liší. Pouze pokud (a) skutečná část s je kladné a (b) hodnoty uproti jsou převzaty pouze z konečné sady větví, je zaručeno, že konvergují k nule jako (u, proti) → (0, s), a stejně tak y(u, proti). Na jediné větev z y(b) je přirozeně splněn, takže tam y(s, 0) = 0 pro s s pozitivní skutečnou částí je a kontinuální limit. Všimněte si také, že takové pokračování v žádném případě není analytický.
Algebraické vztahy
Všechny algebraické vztahy a diferenciální rovnice pozorované skutečností y(s, z) držet se i svého holomorfního protějšku. To je důsledek věty o identitě [9], s tím, že rovnice mezi holomorfními funkcemi platnými ve skutečném intervalu platí všude. Zejména relace opakování [10] a .Γ(s,z)/.Z = zs−1 E−z [11] jsou zachovány na odpovídajících větvích.
Integrální zastoupení
Poslední vztah nám říká, že pro pevné s, y je primitivní nebo primitivní holomorfní funkce zs−1 E−z. Tudíž, [12], pro jakýkoli komplex u, proti ≠ 0,
platí, pokud cesta integrace je zcela obsažen v doméně větve integrand. Pokud navíc skutečná část s je kladný, pak limit y(s, u) → 0 pro u → 0 platí, až nakonec dojde ke komplexní integrální definici y
Platí zde jakákoli cesta integrace obsahující 0 pouze na jejím začátku, jinak omezená na doménu větve integrand, například přímka spojující 0 a z.
Limit pro z → +∞
Skutečné hodnoty
Vzhledem k integrální reprezentaci hlavní větve γ platí následující rovnice pro všechna kladná reálná s, x:[14]
s komplex
Tento výsledek se rozšiřuje na komplexní s. Předpokládejme první 1 ≤ Re (s) ≤ 2 a 1 . Pak
kde
byl použit uprostřed. Protože konečný integrál je libovolně malý, i když jen A je dostatečně velký, γ (s, x) konverguje rovnoměrně pro X → ∞ na proužku 1 ≤ Re (s) ≤ 2 směrem k holomorfní funkci,[3] což musí být Γ (s) z důvodu věty o totožnosti [16]. Vezmeme-li limit v relaci opakování y(s,X) = (s − 1)y(s − 1,X) − Xs−1 E−X a upozorňuje, že lim Xn E−X = 0 pro X → ∞ a všechna n, ukazuje, že γ (s, x) konverguje i mimo pás směrem k funkci poslouchající relaci opakování funkce Γ. Následuje
pro všechny složité s není kladné celé číslo, X skutečné a y ředitel školy.
Sektorová konvergence
Teď nech u být ze sektoru | arg z| < δ < π/ 2 s některými pevnými δ (α = 0), y být hlavní pobočkou v tomto sektoru a podívat se na
Jak je uvedeno výše, první rozdíl může být libovolně malý, pokud |u| je dostatečně velká. Druhý rozdíl umožňuje následující odhad:
kde jsme využili integrální reprezentaci γ a vzorec o | zs| výše. Pokud se integrujeme podél oblouku s poloměrem R = |u| kolem 0 připojení u a |u|, pak je poslední integrál
kde M = δ(cos δ)- Re s EIm sδ je konstanta nezávislá na u nebo R. Opět s odkazem na chování Xn E−X pro velké X, vidíme, že poslední výraz se blíží 0 jako R zvyšuje směrem k ∞. Celkově nyní máme:
-li s není nezáporné celé číslo, 0 < ε < π/ 2 je libovolně malý, ale pevný a y označuje hlavní větev v této doméně.
Přehled
je:
- celý v z pro pevné, kladné integrály s;
- více hodnot holomorfní v z pro pevné s ne celé číslo, s a odbočka na z = 0;
- na každé větvi meromorfní v s pro pevné z ≠ 0, s jednoduchými póly u nepozitivních celých čísel s.
Horní neúplná funkce gama
jako pro horní neúplná funkce gama, a holomorfní prodloužení s ohledem na z nebo s, darováno
v bodech (s, z), kde existuje pravá strana. Od té doby má více hodnot, stejné platí pro , ale omezení hlavních hodnot vede pouze k jednohodnotové hlavní větvi .
Když s je kladné celé číslo ve výše uvedené rovnici, není definována žádná část rozdílu a a omezující proces, zde vyvinut pro s → 0, doplní chybějící hodnoty. Složitá analýza záruky holomorficita, protože se ukáže být ohraničený v sousedství tohoto limitu pro pevnou z[18].
Chcete-li určit limit, výkonová řada na z = 0 se ukáže jako užitečné. Při výměně jeho výkonovou řadou v integrální definici , jeden získá (předpokládejme X,s pozitivní reálné prozatím):
nebo
který jako série reprezentace celku funkce, konverguje pro všechny složité X (a vše složité s není kladné celé číslo).
S omezením na skutečné hodnoty zrušeno, série umožňuje rozšíření:
Když s → 0:
- ,[4]
( je Euler – Mascheroniho konstanta zde), tedy
je omezující funkce na horní neúplnou gama funkci jako s → 0, také známý jako exponenciální integrál .[5]
Prostřednictvím relace opakování jsou hodnoty pro kladná celá čísla n lze odvodit z tohoto výsledku,[6]
takže horní neúplná funkce gama se prokáže, že existuje a je holomorfní, s ohledem na obě z a s, pro všechny s a z ≠ 0.
je:
- celý v z pro pevné, kladné integrály s;
- více hodnot holomorfní v z pro pevné s nenulové a nikoli kladné celé číslo, s a odbočka na z = 0;
- = pro s s pozitivní skutečnou částí a z = 0 (limit, když ), ale toto je kontinuální rozšíření, nikoli analytický (ne podržet pro skutečné s <0!);
- na každé větvi celý v s pro pevné z ≠ 0.
Speciální hodnoty
- -li s je pozitivní celé číslo,
- -li s je pozitivní celé číslo,[7]
- ,
- ,
- ,
- pro ,
- ,
- ,
- .
Tady, je exponenciální integrál, je zobecněný exponenciální integrál, je chybová funkce, a je doplňková chybová funkce, .
Asymptotické chování
- tak jako ,
- tak jako a (opravdu s, chyba Γ (s, X) ~ −Xs / s je v pořadí Ó(Xmin {s + 1, 0}) -li s ≠ −1 a Ó(ln (X)) -li s = −1),
- tak jako ,
- tak jako ,
- jako asymptotická série kde a .[8]
Hodnotící vzorce
Funkci nižší gama lze vyhodnotit pomocí rozšíření řady výkonů: [20]
kde je Pochhammer symbol.
Alternativní rozšíření je
kde M je Kummer konfluentní hypergeometrická funkce.
Spojení s Kummerovou soutokovou hypergeometrickou funkcí
Když skutečná část z je pozitivní,
kde
má nekonečný poloměr konvergence.
Opět s konfluentní hypergeometrické funkce a zaměstnává Kummerovu identitu,
Pro skutečný výpočet číselných hodnot Gaussova pokračující část poskytuje užitečné rozšíření:
Tato pokračující část konverguje pro všechny složité z, pouze za předpokladu, že s není záporné celé číslo.
Funkce horní gama má pokračující zlomek
a
Věta o násobení
Následující věta o násobení platí:
Implementace softwaru
Neúplné funkce gama jsou k dispozici v různých systémy počítačové algebry.
I když nejsou přímo k dispozici, lze neúplné hodnoty funkcí vypočítat pomocí funkcí běžně obsažených v tabulky (a balíčky počítačové algebry). v Vynikat například je lze vypočítat pomocí Funkce gama v kombinaci s Distribuce gama funkce.
- Dolní neúplná funkce: = EXP (GAMMALN (s)) * GAMMA.DIST (x, s, 1, PRAVDA)
- Horní neúplná funkce: = EXP (GAMMALN (s)) * (1-GAMMA.DIST (x, s, 1, TRUE)).
Vyplývají z definice Funkce kumulativní distribuce gama distribuce.
Regularizované funkce gama a Poissonovy náhodné proměnné
Dvě související funkce jsou regularizované funkce gama:
je kumulativní distribuční funkce pro Gama náhodné proměnné s parametr tvaru a parametr měřítka 1.
Když je celé číslo, je kumulativní distribuční funkce pro Poissonovo náhodné proměnné: Pokud je náhodná proměnná pak
Tento vzorec lze odvodit opakovanou integrací po částech.
Deriváty
Pomocí výše uvedeného integrálního vyjádření je derivace horní neúplné funkce gama s ohledem na X je
Derivát s ohledem na jeho první argument darováno[10]
a druhý derivát
kde funkce je zvláštní případ Funkce Meijer G.
Tento konkrétní zvláštní případ má interní uzavření jeho vlastní vlastnosti, protože jej lze použít k vyjádření Všechno následné deriváty. Obecně,
kde je permutace definováno Pochhammer symbol:
Všechny tyto deriváty lze generovat za sebou z:
a
Tato funkce lze vypočítat z jeho řady reprezentace platné pro ,
s pochopením toho s není záporné celé číslo nebo nula. V takovém případě je nutné použít limit. Výsledky pro lze získat pomocí analytické pokračování. Některé speciální případy této funkce lze zjednodušit. Například, , , kde je Exponenciální integrál. Tyto deriváty a funkce poskytnout přesná řešení řady integrálů opakovanou diferenciací integrální definice horní neúplné funkce gama.[11][12]Například,
Tento vzorec může být dále nafouknutý nebo zobecnit na obrovskou třídu Laplaceovy transformace a Mellin se transformuje. V kombinaci s a počítačový algebraický systém, využití speciálních funkcí poskytuje účinnou metodu řešení určitých integrálů, zejména těch, s nimiž se setkávají praktické inženýrské aplikace (viz Symbolická integrace Více podrobností).
Neurčitý a určitý integrál
Následující neurčité integrály lze snadno získat pomocí integrace po částech (s konstanta integrace v obou případech vynecháno):
Dolní a horní neúplná funkce gama jsou připojeny pomocí Fourierova transformace:
Z toho vyplývá například vhodná specializace (Gradshteyn a Ryzhik 2015, §7.642) .
Poznámky
- ^ DLMF, neúplné funkce gama, analytické pokračování
- ^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 16. 05. 2011. Citováno 2011-04-23.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz) Věta 3.9 na str.56
- ^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 16. 05. 2011. Citováno 2011-04-23.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz) Věta 3.9 na str.56
- ^ viz poslední ekv.
- ^ http://dlmf.nist.gov/8.4.E4
- ^ http://dlmf.nist.gov/8.4.E15
- ^ Weisstein, Eric W. „Neúplná funkce gama“. MathWorld. (rovnice 2)
- ^ DLMF, neúplné funkce gama, 8.11 (i)
- ^ Abramowitz a Stegun p. 263, 6.5.31
- ^ K.O. Geddes M.L. Glasser, R.A. Moore a T.C. Scott, Hodnocení tříd určitých integrálů zahrnujících základní funkce pomocí diferenciace speciálních funkcí, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), sv. 1, (1990), s. 149–165, [1]
- ^ Milgram, M. S. Milgram (1985). "Zobecněná integro-exponenciální funkce". Matematika. Comp. 44 (170): 443–458. doi:10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4. PAN 0777276.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- ^ Mathar (2009). "Numerické vyhodnocení oscilačního integrálu nad exp (i * pi * x) * x ^ (1 / x) mezi 1 a nekonečnem". arXiv:0912.3844 [matematika ]., Aplikace B
Reference
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 6.5“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253. „Neúplná funkce gama“. §6.5.
- Allasia, Giampietro; Besenghi, Renata (1986). Msgstr "Numerický výpočet neúplných gama funkcí lichoběžníkovým pravidlem". Číslo. Matematika. 50 (4): 419–428. doi:10.1007 / BF01396662. S2CID 121964300.
- Amore, Paolo (2005). Msgstr "Asymptotické a přesné reprezentace řady pro neúplnou funkci gama". Europhys. Lett. 71 (1): 1–7. arXiv:math-ph / 0501019. Bibcode:2005EL ..... 71 .... 1A. doi:10.1209 / epl / i2005-10066-6. PAN 2170316. S2CID 1921569.
- G. Arfken a H. Weber. Matematické metody pro fyziky. Harcourt / Academic Press, 2000. (Viz kapitola 10.)
- DiDonato, Armido R .; Morris, Jr., Alfred H. (prosinec 1986). Msgstr "Výpočet neúplných poměrů gama funkce a jejich inverze". Transakce ACM na matematickém softwaru. 12 (4): 377–393. doi:10.1145/22721.23109. S2CID 14351930.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Barakat, Richard (1961). "Hodnocení neúplné gama funkce imaginárního argumentu Čebyševovými polynomy". Matematika. Comp. 15 (73): 7–11. doi:10.1090 / s0025-5718-1961-0128058-1. PAN 0128058.
- Carsky, Petr; Polasek, Martin (1998). „Neúplné gama F_m (x) funkce pro skutečné a složité argumenty ". J. Comput. Phys. 143 (1): 259–265. Bibcode:1998JCoPh.143..259C. doi:10.1006 / jcph.1998.5975. PAN 1624704.
- Chaudhry, M. Aslam; Zubair, S. M. (1995). „O rozkladu zobecněných neúplných funkcí gama s aplikacemi na Fourierovy transformace“. J. Comput. Appl. Matematika. 59 (101): 253–284. doi:10.1016 / 0377-0427 (94) 00026-w. PAN 1346414.
- DiDonato, Armido R .; Morris, Jr., Alfred H. (září 1987). „ALGORITMUS 654: podprogramy FORTRAN pro výpočet poměrů neúplných funkcí gama a jejich inverzí“. Transakce ACM na matematickém softwaru. 13 (3): 318–319. doi:10.1145/29380.214348. S2CID 19902932.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (Viz také www.netlib.org/toms/654 ).
- Früchtl, H .; Otto, P. (1994). "Nový algoritmus pro hodnocení neúplné funkce gama na vektorových počítačích". ACM Trans. Matematika. Softw. 20 (4): 436–446. doi:10.1145/198429.198432. S2CID 16737306.
- Gautschi, Walter (1998). "Neúplná funkce gama od Tricomi". Atti Convegni Lincei. 147: 203–237. PAN 1737497.
- Gautschi, Walter (1999). Msgstr "Poznámka k rekurzivnímu výpočtu neúplných gama funkcí". ACM Trans. Matematika. Softw. 25 (1): 101–107. doi:10.1145/305658.305717. PAN 1697463. S2CID 36469885.
- Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Jurij Veniaminovič; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. „8.35.“. In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů. Přeložil Scripta Technica, Inc. (8. vydání). Academic Press, Inc. str. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Jones, William B .; Thron, W. J. (1985). „O výpočtu neúplných funkcí gama v komplexní doméně“. J. Comput. Appl. Matematika. 12-13: 401–417. doi:10.1016/0377-0427(85)90034-2. PAN 0793971.
- „Neúplná funkce gama“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Mathar, Richard J. (2004). "Numerická reprezentace neúplné funkce gama argumentu s komplexní hodnotou". Numerické algoritmy. 36 (3): 247–264. arXiv:matematika / 0306184. Bibcode:2004NuAlg..36..247M. doi:10.1023 / B: NUMA.0000040063.91709,58. PAN 2091195. S2CID 30860614.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Miller, Allen R .; Moskowitz, Ira S. (1998). „O určitých zobecněných neúplných funkcích gama“. J. Comput. Appl. Matematika. 91 (2): 179–190. doi:10.1016 / s0377-0427 (98) 00031-4.
- Paris, R. B. (2010), „Neúplná funkce gama“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
- Paris, R. B. (2002). „Jednotná asymptotická expanze neúplné funkce gama“. J. Comput. Appl. Matematika. 148 (2): 323–339. Bibcode:2002JCoAM.148..323P. doi:10.1016 / S0377-0427 (02) 00553-8. PAN 1936142.
- Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Část 6.2. Neúplná funkce gama a chybová funkce“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Takenaga, Roy (1966). „O vyhodnocení neúplné funkce gama“. Matematika. Comp. 20 (96): 606–610. doi:10.1090 / S0025-5718-1966-0203911-3. PAN 0203911.
- Temme, Nico (1975). „Jednotná asymptotická expanze neúplných funkcí gama a neúplné funkce beta“. Matematika. Comp. 29 (132): 1109–1114. doi:10.1090 / S0025-5718-1975-0387674-2. PAN 0387674.
- Terras, Riho (1979). "Stanovení neúplných funkcí gama prostřednictvím analytické integrace". J. Comput. Phys. 31 (1): 146–151. Bibcode:1979JCoPh..31..146T. doi:10.1016/0021-9991(79)90066-4. PAN 0531128.
- Tricomi, Francesco G. (1950). „Sulla funzione gama neúplná“. Ann. Rohož. Pura Appl. 31: 263–279. doi:10.1007 / BF02428264. PAN 0047834. S2CID 120404791.
- Tricomi, F. G. (1950). „Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion“. Matematika. Z. 53 (2): 136–148. doi:10.1007 / bf01162409. PAN 0045253. S2CID 121234109.
- van Deun, Joris; Cools, Ronald (2006). "Stabilní opakování neúplné funkce gama s imaginárním druhým argumentem". Číslo. Matematika. 104 (4): 445–456. doi:10.1007 / s00211-006-0026-1. PAN 2249673. S2CID 43780150.
- Winitzki, Serge (2003). Msgstr "Výpočet neúplné funkce gama s libovolnou přesností". Přednáška Ne. Comp. Sci. Přednášky z informatiky. 2667: 790–798. doi:10.1007 / 3-540-44839-x_83. ISBN 978-3-540-40155-1. PAN 2110953.
- Weisstein, Eric W. „Neúplná funkce gama“. MathWorld.