Peterssonův vnitřní produkt - Petersson inner product - Wikipedia

v matematika the Peterssonův vnitřní produkt je vnitřní produkt definované na prostoru celku modulární formy. Byl zaveden německým matematikem Hans Petersson.

Definice

Nechat ${ displaystyle mathbb {M} _ {k}}$ být prostorem celých modulárních forem hmotnosti ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle mathbb {S} _ {k}}$ prostor hrotové formy.

Mapování ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle: mathbb {M} _ {k} times mathbb {S} _ {k} rightarrow mathbb {C}}$,

${ displaystyle langle f, g rangle: = int _ { mathrm {F}} f ( tau) { overline {g ( tau)}} ( operatorname {Im} tau) ^ {k } d nu ( tau)}$

se nazývá Peterssonův vnitřní produkt, kde

${ displaystyle mathrm {F} = left { tau in mathrm {H}: left | operatorname {Re} tau right | leq { frac {1} {2}}, vlevo | tau vpravo | geq 1 vpravo }}$

je základní oblastí regionu modulární skupina ${ displaystyle Gamma}$ a pro ${ displaystyle tau = x + iy}$

${ displaystyle d nu ( tau) = y ^ {- 2} dxdy}$

je forma hyperbolického objemu.

Vlastnosti

Integrál je absolutně konvergentní a vnitřní produkt společnosti Petersson je pozitivní určitý Poustevnická forma.

Pro Operátoři Hecke ${ displaystyle T_ {n}}$a pro formuláře ${ displaystyle f, g}$ úrovně ${ displaystyle Gamma _ {0}}$, my máme:

${ displaystyle langle T_ {n} f, g rangle = langle f, T_ {n} g rangle}$

To lze použít k ukázce, že prostor hrotů tvoří úroveň ${ displaystyle Gamma _ {0}}$ má ortonormální základ skládající se ze simultánního vlastní funkce pro operátory Hecke a Fourierovy koeficienty všechny tyto formy jsou skutečné.

Reference

• T.M. Apostol, Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii číselSpringer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN  3-540-97127-0
• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und ModulformenSpringer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN  3-540-63744-3
• Slang, Úvod do modulárních formulářůSpringer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN  3-540-07833-9