Analytická torze - Analytic torsion
V matematice Reidemeister torze (nebo R-torzenebo Zkroucení Reidemeister – Franz) je topologický invariant z rozdělovače představil Kurt Reidemeister (Reidemeister 1935 ) pro 3 rozdělovače a zobecnit na vyšší rozměry podle Wolfgang Franz (1935 ) a Georges de Rham (1936 ).Analytická torze (nebo Ray – Singerova torze) je neměnný Riemannovy rozdělovače definován Daniel B. Ray a Isadore M. Singer (1971, 1973a, 1973b ) jako analytický analog torze Reidemeister. Jeff Cheeger (1977, 1979 ) a Werner Müller (1978 ) dokázal to Ray a Singerova domněnka Reidemeister torze a analytická torze jsou stejné pro kompaktní Riemannovy potrubí.
Reidemeister torze byl první neměnný v algebraická topologie které by mohly rozlišovat mezi uzavřenými rozdělovači, které jsou ekvivalent homotopy ale ne homeomorfní, a lze jej tedy považovat za narození geometrická topologie jako odlišné pole. Lze jej použít ke klasifikaci prostory pro čočky.
Reidemeister torze úzce souvisí s Torze Whitehead; viz (Milnor 1966 ). Rovněž to dalo určitou důležitou motivaci aritmetická topologie; viz (Mazur ). Více informací o torzích najdete v knihách (Turajev 2002 ) a (Nicolaescu2002, 2003 ).
Definice analytické torze
Li M je Riemannovo potrubí a E přes vektorový balíček M, pak existuje Laplaciánský operátor působící na i-formáty s hodnotami v E. Pokud vlastní čísla na i-formy jsou λj pak funkce zeta ζi je definován jako
pro s velké, a to je rozšířeno na všechny složité s podle analytické pokračování.Zeta regularizovaný determinant Laplacian působící na i-forms je
který je formálně produktem kladných vlastních čísel laplacianského působení i-formy analytická torze T(M,E) je definován jako
Definice Reidemeister torze
Nechat být konečně spojený CW-komplex s základní skupina a univerzální kryt a nechte být ortogonální konečně-dimenzionální -zastoupení. Předpokládejme to
pro všechny n. Pokud opravíme buněčný základ pro a ortogonální -základ pro , pak je kontraktovatelný konečný základ zdarma -řetězcový komplex. Nechat být jakákoli řetězová kontrakce D*, tj. pro všechny . Získáváme izomorfismus s , . Definujeme Reidemeister torze
kde A je matice vzhledem k daným základnám. Torze Reidemeister je nezávislá na výběru buněčného základu pro , ortogonální základ pro a kontrakce řetězu .
Nechat být kompaktní hladké potrubí a nechat být unimodulární reprezentací. má hladkou triangulaci. Pro jakoukoli volbu svazku , dostaneme invariant . Pak nazýváme kladné reálné číslo torze Reidemeister potrubí s ohledem na a .
Krátká historie torze Reidemeister
Reidemeister torze byla poprvé použita ke kombinatorické klasifikaci 3-dimenzionální prostory pro čočky v (Reidemeister 1935 ) Reidemeister a ve vyšších dimenzionálních prostorech Franz. Klasifikace zahrnuje příklady ekvivalent homotopy 3-dimenzionální potrubí, které nejsou homeomorfní - v té době (1935) byla klasifikace pouze na úrovni PL homeomorfismus, ale později E.J. Brody (1960 ) ukázal, že se ve skutečnosti jednalo o klasifikaci až homeomorfismus.
J. H. C. Whitehead definoval „torzi“ homotopické ekvivalence mezi konečnými komplexy. Jedná se o přímé zobecnění konceptu Reidemeister, Franz a de Rham; ale je delikátnější invariant. Torze Whitehead poskytuje klíčový nástroj pro studium kombinatorických nebo diferencovatelných variet s netriviální základní skupinou a úzce souvisí s konceptem „jednoduchého typu homotopy“, viz (Milnor 1966 )
V roce 1960 Milnor objevil vztah duality torzních invariantů potrubí a ukázal, že (zkroucený) Alexanderův polynom uzlů je Reidemisterova torze jeho uzlového doplňku v . (Milnor 1962 ) Pro každého q the Poincaré dualita indukuje
a pak získáme
Ústřední roli v nich hraje zastoupení základní skupiny uzlového doplňku. Poskytuje vztah mezi teorií uzlů a torzními invarianty.
Cheeger – Müllerova věta
Nechat být orientovatelným kompaktním Riemannovým potrubím dimenze n a zastoupení základní skupiny na reálném vektorovém prostoru dimenze N. Pak můžeme definovat de Rhamův komplex
a formální adjoint a kvůli plochosti . Jako obvykle získáváme Hodge Laplacian na p-formách
Za předpokladu, že , Laplacian je pak symetrický pozitivní polopozitivní eliptický operátor s čistým bodovým spektrem
Stejně jako dříve tedy můžeme definovat funkci zeta přidruženou k Laplacianu na podle
kde je projekce do prostoru jádra Laplacian . Bylo to navíc ukázáno (Seeley 1967 ) že rozšiřuje na meromorfní funkci který je holomorfní v .
Stejně jako v případě ortogonálního zobrazení definujeme analytickou torzi podle
V roce 1971 D.B. Ray a I.M. Singer si to mysleli pro jakékoli jednotné zastoupení . Tuto domněnku Ray-Singer nakonec nezávisle na sobě dokázal Cheeger (1977, 1979 ) a Müller (1978). Oba přístupy se zaměřují na logaritmus torzí a jejich stop. To je pro liché dimenzionální potrubí jednodušší než v sudém případě, což zahrnuje další technické potíže. Tato Cheeger-Müllerova věta (že dva pojmy torze jsou ekvivalentní) spolu s Atiyah – Patodi – Singerova věta, později poskytla základ pro Teorie rušení Chern – Simons.
Důkaz Cheeger-Müllerovy věty pro libovolná vyjádření byl později uveden J. M. Bismutem a Weiping Zhangem. Jejich důkaz používá Slabá deformace.
Reference
- Bismut, J. -M .; Zhang, W. (01.03.1994), „Metriky Milnora a ray-zpěváka o ekvivariantním determinantu plochého vektorového svazku“, Geometrická a funkční analýza GAFA, 4 (2): 136–212, doi:10.1007 / BF01895837, ISSN 1420-8970
- Brody, E. J. (1960), „Topologická klasifikace prostorů čoček“, Annals of Mathematics, 2, 71 (1): 163–184, doi:10.2307/1969884, JSTOR 1969884, PAN 0116336
- Cheeger, Jeffe (1977), „Analytic Torsion and Reidemeister Torsion“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 74 (7): 2651–2654, Bibcode:1977PNAS ... 74.2651C, doi:10.1073 / pnas.74.7.2651, PAN 0451312, PMC 431228, PMID 16592411
- Cheeger, Jeffe (1979), „Analytická torze a rovnice tepla“, Annals of Mathematics, 2, 109 (2): 259–322, doi:10.2307/1971113, JSTOR 1971113, PAN 0528965
- Franz, Wolfgang (1935), „Ueber die Torsion einer Ueberdeckung“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 173: 245–254
- Milnor, Johne (1962), „Věta o dualitě pro Reidemeisterovu torzi“, Annals of Mathematics, 76 (1): 137–138, doi:10.2307/1970268, JSTOR 1970268
- Milnor, Johne (1966), "Whitehead torze", Bulletin of the American Mathematical Society, 72 (3): 358–426, doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2, PAN 0196736
- Mishchenko, Aleksandr S. (2001) [1994], "Reidemeister torze", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Müller, Werner (1978), „Analytická torze a R-torze Riemannovských variet“, Pokroky v matematice, 28 (3): 233–305, doi:10.1016/0001-8708(78)90116-0, PAN 0498252
- Nicolaescu, Liviu I. (2002), Poznámky ke zkroucení Reidemeister (PDF) Online kniha
- Nicolaescu, Liviu I. (2003), Reidemeister torze 3-potrubí, de Gruyter Studium matematiky, 30, Berlín: Walter de Gruyter & Co., str. Xiv + 249, doi:10.1515/9783110198102, ISBN 3-11-017383-2, PAN 1968575
- Ray, Daniel B .; Zpěvák, Isadore M. (1973a), „Analytická torze pro složitá potrubí.“, Annals of Mathematics, 2, 98 (1): 154–177, doi:10.2307/1970909, JSTOR 1970909, PAN 0383463
- Ray, Daniel B .; Zpěvák, Isadore M. (1973b), „Analytická torze.“, Parciální diferenciální rovnice, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXIII„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 167–181, PAN 0339293
- Ray, Daniel B .; Zpěvák, Isadore M. (1971), "R-torze a Laplacian na Riemannově potrubí. ", Pokroky v matematice, 7 (2): 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4, PAN 0295381
- Reidemeister, Kurt (1935), „Homotopieringe und Linsenräume“, Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg, 11: 102–109, doi:10.1007 / BF02940717
- de Rham, Georges (1936), „Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister“, Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik), Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl 0016.04501
- Turaev, Vladimir (2002), Torze trojrozměrných potrubíPokrok v matematice, 208, Basilej: Birkhäuser Verlag, str. X + 196, doi:10.1007/978-3-0348-7999-6, ISBN 3-7643-6911-6, PAN 1958479
- Mazur, Barry. „Poznámky k Alexandrovu polynomu“ (PDF).
- Seeley, R. T. (1967), „Komplexní síly eliptického operátoru“, Calderón, Alberto P. (ed.), Singulární integrály (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966)Sborník sympozií z čisté matematiky, 10„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9, PAN 0237943