Zamíchejte algebru - Shuffle algebra
V matematice, a zamíchat algebru je Hopfova algebra se základem odpovídajícím slovům na nějaké množině, jejichž součin je dán zamíchat produkt X ⧢ Y dvou slov X, Y: součet všech způsobů jejich prokládání. Prokládání je dáno riffle shuffle permutace.
Shuffle algebra na konečné sadě je odstupňovanou dvojkou univerzální obalová algebra z zdarma Lie algebra na scéně.
Přes racionální čísla je míchaná algebra isomorfní s polynomiální algebra v Lyndonova slova.
Náhodný produkt se vyskytuje v obecném nastavení v nekomutativní algebry; je to proto, že je schopen zachovat relativní pořadí faktorů, které se násobí společně - riffle shuffle permutace. To lze držet na rozdíl od rozdělená mocenská struktura, což se stává vhodným, když jsou faktory komutativní.
Zamíchejte produkt
Náhodný produkt slov o délkách m a n je součet nad (m+n)!/m!n! způsoby prokládání dvou slov, jak je znázorněno v následujících příkladech:
- ab ⧢ xy = abxy + Axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- aaa ⧢ aa = 10ááááá
Může být definováno indukčně pomocí[1]
- u ⧢ ε = ε ⧢ u = u
- ua ⧢ vb = (u ⧢ vb)A + (ua ⧢ proti)b
kde ε je prázdné slovo, A a b jsou jednotlivé prvky a u a proti jsou libovolná slova.
Produkt shuffle představil Eilenberg & Mac Lane (1953). Název „zamíchat produkt“ odkazuje na skutečnost, že produkt lze považovat za součet za všechny způsoby míchání riflí dvě slova společně: toto je riffle shuffle permutace. Produkt je komutativní a asociativní.[2]
Produkt shuffle dvou slov v nějaké abecedě často označuje zamíchat symbol produktu ⧢ (Unicode znak U + 29E2 NÁMĚNNÝ VÝROBEK, odvozené z cyrilice písmeno ⟨ш⟩ sha ).
Infiltrační produkt
Úzce související infiltrační produkt byl představen Chen, Fox & Lyndon (1958). Je definován indukčně u slov nad abecedou A podle
- fa ↑ ga = (F ↑ ga)A + (fa ↑ G)A + (F ↑ G)A
- fa ↑ gb = (F ↑ gb)A + (fa ↑ G)b
Například:
- ab ↑ ab = ab + 2aab + 2abb + 4 aabb + 2abab
- ab ↑ ba = aba + bab + abab + 2abba + 2baab + baba
Infiltrační produkt je také komutativní a asociativní.[3]
Viz také
Reference
- Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph H.; Lyndon, Roger C. (1958), "Volný diferenciální počet. IV. Kvocientové skupiny dolní centrální řady", Annals of Mathematics, Druhá série, 68 (1): 81–95, doi:10.2307/1970044, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970044, PAN 0102539, Zbl 0142.22304
- Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1953), "O skupinách H (Π, n). I", Annals of Mathematics, Druhá série, 58: 55–106, doi:10.2307/1969820, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969820, PAN 0056295, Zbl 0050.39304
- Green, J. A. (1995), Zamíchejte algebry, algebry lži a kvantové skupiny, Textos de Matemática. Série B, 9Coimbra: Universidade de Coimbra Departamento de Matemática, PAN 1399082
- Hazewinkel, M. (2001) [1994], „Shuffle algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2010), Algebry, prsteny a moduly. Lež algebry a Hopfovy algebryMatematické průzkumy a monografie 168, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090 / přežít / 168, ISBN 978-0-8218-5262-0, PAN 2724822, Zbl 1211.16023
- Lothaire, M. (1997), Kombinatorika slovEncyklopedie matematiky a její aplikace 17, Perrin, D .; Reutenauer, C .; Berstel, J .; Pin, J. E .; Pirillo, G .; Foata, D .; Sakarovitch, J .; Simon, I .; Schützenberger, M. P .; Choffrut, C .; Cori, R .; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Předmluva Rogera Lyndona (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
- Reutenauer, Christophe (1993), Zdarma Lie algebry, Monografie matematické společnosti v Londýně. Nová řada, 7Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, PAN 1231799, Zbl 0798.17001