Serresova věta o polojednodušé Lie algebře - Serres theorem on a semisimple Lie algebra - Wikipedia

V abstraktní algebře, konkrétně v teorii Lež algebry, Serreova věta uvádí: vzhledem k (omezené omezené) kořenový systém ${ displaystyle Phi}$, existuje konečně-dimenzionální polojednoduchá Lie algebra jehož kořenový systém je daný ${ displaystyle Phi}$.

Prohlášení

Věta říká, že: daný kořenový systém ${ displaystyle Phi}$ v euklidovském prostoru s vnitřním produktem ${ displaystyle (,)}$, ${ displaystyle langle beta, alpha rangle = 2 ( alpha, beta) / ( alpha, alpha), beta, alfa v E}$ a základna ${ displaystyle { alpha _ {1}, tečky, alpha _ {n} }}$ z ${ displaystyle Phi}$, Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ definováno (1) ${ displaystyle 3n}$ generátory ${ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$ a (2) vztahy

${ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}$

${ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}, , [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i neq j}$,

${ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle e_ {j}, , [h_ {i}, f_ {j}] = - langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle f_ {j}}$,

${ displaystyle operatorname {ad} (e_ {i}) ^ {- langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle +1} (e_ {j}) = 0, i neq j }$,

${ displaystyle operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {- langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle +1} (f_ {j}) = 0, i neq j }$.

je konečně trojrozměrná polojednoduchá Lieova algebra s Cartanovou subalgebrou generovanou ${ displaystyle h_ {i}}$as kořenovým systémem ${ displaystyle Phi}$.

Čtvercová matice ${ displaystyle [ langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle] _ {1 leq i, j leq n}}$ se nazývá Kartanová matice. S touto představou tedy věta říká, že dáme kartanovou matici A, existuje jedinečná (až do izomorfismu) konečná trojrozměrná polojednoduchá Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} (A)}$ spojené s ${ displaystyle A}$. Konstrukci polojednodušé Lieovy algebry z kartanovské matice lze zobecnit oslabením definice kartanové matice. (Obecně nekonečně-rozměrná) Lieova algebra spojená s a zobecněná kartanova matice se nazývá a Kac – Moodyho algebra.

Náčrt důkazu

Důkaz zde je převzat z (Kac 1990, Věta 1.2.) A (Serre 2000, Ch. VI, příloha.) chyba harv: žádný cíl: CITEREFSerre2000 (Pomoc).

Nechat ${ displaystyle a_ {ij} = langle alpha _ {i}, alpha _ {j} rangle}$ a pak nech ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$ být Lieova algebra generovaná (1) generátory ${ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$ a (2) vztahy:

• ${ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0}$,
• ${ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}}$, ${ displaystyle [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i neq j}$,
• ${ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i}, f_ {j}] = - a_ {ij} f_ {j}}$.

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ být volný vektorový prostor překlenut ${ displaystyle h_ {i}}$, PROTI volný vektorový prostor se základem ${ displaystyle v_ {1}, tečky, v_ {n}}$ a ${ textstyle T = bigoplus _ {l = 0} ^ { infty} V ^ { otimes l}}$ nad ním tenzorová algebra. Zvažte následující znázornění Lieovy algebry:

${ displaystyle pi: { widetilde { mathfrak {g}}} do { mathfrak {gl}} (T)}$

zadal: pro ${ displaystyle a v T, h v { mathfrak {h}}, lambda v { mathfrak {h}} ^ {*}}$,

• ${ displaystyle pi (f_ {i}) a = v_ {i} mnohokrát,}$
• ${ displaystyle pi (h) 1 = langle lambda, , h rangle 1, pi (h) (v_ {j} otimes a) = - langle alpha _ {j}, h rangle v_ {j} otimes a + v_ {j} otimes pi (h) a}$, indukčně,
• ${ displaystyle pi (e_ {i}) 1 = 0, , pi (e_ {i}) (v_ {j} další a) = delta _ {ij} alpha _ {i} (a) + v_ {j} otimes pi (e_ {i}) a}$, indukčně.

Není nic triviálního, že se skutečně jedná o přesně definovanou reprezentaci, kterou je třeba zkontrolovat ručně. Z této reprezentace lze odvodit následující vlastnosti: let ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+}}$ (resp. ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-}}$) subalgebry ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$ generované ${ displaystyle e_ {i}}$(resp ${ displaystyle f_ {i}}$'s).

• ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+}}$ (resp. ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-}}$) je bezplatná Lieova algebra generovaná ${ displaystyle e_ {i}}$(resp ${ displaystyle f_ {i}}$'s).
• Jako vektorový prostor ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}} = { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+} bigoplus { mathfrak {h}} bigoplus { widetilde { mathfrak {n} }} _ {-}}$.
• ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+} = bigoplus _ {0 neq alpha v Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ { alfa }}$ kde ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha} = {x v { widetilde { mathfrak {g}}} | [h, x] = alfa (h) x, h in { mathfrak {h}} }}$ a podobně ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-} = bigoplus _ {0 neq alpha v Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ {- alfa}}$.
• (rozklad kořenového prostoru) ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}} = left ( bigoplus _ {0 neq alpha v Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ {- alpha } right) bigoplus { mathfrak {h}} bigoplus left ( bigoplus _ {0 neq alpha in Q _ {+}} { widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha} že jo)}$.

Pro každý ideální ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ z ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$, lze to snadno ukázat ${ displaystyle { mathfrak {i}}}$ je homogenní s ohledem na hodnocení dané rozkladem kořenového prostoru; tj., ${ displaystyle { mathfrak {i}} = bigoplus _ { alpha} ({ widetilde { mathfrak {g}}} _ { alpha} cap { mathfrak {i}})}$. Z toho vyplývá, že součet ideálů se protíná ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ triviálně, protíná se to samo ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ triviálně. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ být součtem všech protínajících se ideálů ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ triviálně. Pak existuje rozklad vektorového prostoru: ${ displaystyle { mathfrak {r}} = ({ mathfrak {r}} cap { widetilde { mathfrak {n}}} _ {-}) oplus ({ mathfrak {r}} cap { widetilde { mathfrak {n}}} _ {+})}$. Ve skutečnosti je to ${ displaystyle { widetilde { mathfrak {g}}}}$- rozklad modulu. Nechat

${ displaystyle { mathfrak {g}} = { widetilde { mathfrak {g}}} / { mathfrak {r}}}$.

Pak obsahuje kopii ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, který je identifikován s ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a

${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {n}} _ {+} bigoplus { mathfrak {h}} bigoplus { mathfrak {n}} _ {-}}$

kde ${ displaystyle { mathfrak {n}} _ {+}}$ (resp. ${ displaystyle { mathfrak {n}} _ {-}}$) jsou subalgebry generované obrazy ${ displaystyle e_ {i}}$(resp. obrázky ${ displaystyle f_ {i}}$'s).

Jeden pak ukazuje: (1) odvozenou algebru ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}$ zde je stejný jako ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ v čele, (2) je konečně-dimenzionální a polojednoduchý a (3) ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}] = { mathfrak {g}}}$.

Reference

• Kac, Victor (1990). Nekonečné dimenzionální Lieovy algebry (3. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-46693-8.
• Humphreys, James E. (1972). Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90053-7.
• Serre, Jean-Pierre (2000). Algèbres de Lie částečně simple komplexy [Komplexní polojednoduché Lie Algebry]. Přeložil Jones, G. A. Springer. ISBN  978-3-540-67827-4.

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.