Náhrdelník polynom - Necklace polynomial

v kombinační matematika, polynomial náhrdelníkunebo Moreauova funkce počítání náhrdelníků, představil C. Moreau  (1872 ), počítá počet odlišných náhrdelníků n barevné korálky vybrané z α dostupných barev. Předpokládá se, že náhrdelníky jsou neperiodické (netvoří je opakované podsekvence) a počítání se provádí „bez převrácení“ (bez obrácení pořadí korálků). Tato funkce počítání mimo jiné popisuje počet volných Lieových algeber a počet neredukovatelných polynomů přes konečné pole.

Definice

Polynomy náhrdelníku jsou rodinou polynomů ${ displaystyle M ( alpha, n)}$ v proměnné ${ displaystyle alpha}$ takhle

${ displaystyle alpha ^ {n} = součet _ {d , | , n} d , M ( alfa, d).}$

Podle Möbiova inverze jsou dány

${ Displaystyle M ( alfa, n) = {1 nad n} součet _ {d , | , n} mu ! vlevo ({n nad d} vpravo) alfa ^ {d},}$

kde ${ displaystyle mu}$ je klasika Möbiova funkce.

Blízce příbuzná rodina, která se jmenuje obecný polynomial náhrdelníku nebo obecná funkce počítání náhrdelníků, je:

${ displaystyle N ( alpha, n) = součet _ {d | n} M ( alpha, d) = { frac {1} {n}} součet _ {d , | , n} phi ! left ({n over d} right) alpha ^ {d},}$

kde ${ displaystyle phi}$ je Eulerova totientová funkce.

Aplikace

Polynomy náhrdelníku ${ displaystyle M ( alpha, n)}$ zobrazit jako:

• Počet neperiodické náhrdelníky (nebo ekvivalentně Lyndonova slova ) které lze provést uspořádáním n barevné korálky mající α dostupné barvy. Dva takové náhrdelníky jsou považovány za rovnocenné, pokud jsou spojeny rotací (nikoli však odrazem). Aperiodické označuje náhrdelníky bez rotační symetrie, které mají n zřetelné rotace. Polynomy ${ displaystyle N ( alpha, n)}$ uveďte počet náhrdelníků včetně pravidelných: toto se snadno vypočítá pomocí Teorie Pólya.
• Rozměr stupně n kus zdarma Lie algebra na α generátory („Wittův vzorec“)^[1]). Tady ${ displaystyle N ( alpha, n)}$ by měl být rozměr stupně n kusu odpovídající volné Jordan algebra.
• Počet zřetelných slov délky n v Hall set. Všimněte si, že Hallova sada poskytuje explicitní základ pro bezplatnou Lieovu algebru; jedná se tedy o zobecněné nastavení pro výše uvedené.
• Počet monických neredukovatelných polynomů stupně n přes konečné pole s α prvky (když ${ displaystyle alpha = p ^ {d}}$ je hlavní síla). Tady ${ displaystyle N ( alpha, n)}$ je počet polynomů, které jsou primární (síla neredukovatelné).
• Exponent v cyklotomická identita.

Navzdory skutečnosti, že se polynomy objevují v těchto různých prostředích, přesné vztahy mezi nimi zůstávají záhadné nebo neznámé. Například není známa žádná bijekce mezi neredukovatelnými polynomy a lyndonskými slovy.^[2]

Vztahy mezi M a N

Polynomy pro M a N jsou snadno související, pokud jde o Dirichletova konvoluce aritmetických funkcí ${ displaystyle f (n) * g (n)}$, týkající se ${ displaystyle alpha}$ jako konstanta.

• Vzorec pro M dává ${ Displaystyle n , M (n) , = , mu (n) * alpha ^ {n}}$,
• Vzorec pro N dává ${ Displaystyle n , N (n) , = , phi (n) * alpha ^ {n} , = , n * mu (n) * alpha ^ {n}}$.
• Jejich vztah dává ${ displaystyle N (n) , = , 1 * M (n)}$ nebo ekvivalentně ${ Displaystyle n , N (n) , = , n * (n , M (n))}$, od té doby n je zcela multiplikativní.

Jakékoli dva z nich znamenají třetí, například:

${ Displaystyle n * mu (n) * alpha ^ {n} , = , n , N (n) , = , n * (n , M (n)) quad Longrightarrow quad mu (n) * alpha ^ {n} = n , M (n)}$

zrušením v Dirichletově algebře.

Příklady

${ displaystyle { begin {zarovnáno} M (1, n) & = 0 { text {if}} n> 1 [6pt] M ( alpha, 1) & = alpha [6pt] M ( alpha, 2) & = { tfrac {1} {2}} ( alpha ^ {2} - alpha) [6pt] M ( alpha, 3) & = { tfrac {1} { 3}} ( alpha ^ {3} - alpha) [6pt] M ( alpha, 4) & = { tfrac {1} {4}} ( alpha ^ {4} - alpha ^ { 2}) [6pt] M ( alpha, 5) & = { tfrac {1} {5}} ( alpha ^ {5} - alpha) [6pt] M ( alpha, 6) & = { tfrac {1} {6}} ( alpha ^ {6} - alpha ^ {3} - alpha ^ {2} + alpha) [6pt] M ( alpha, p) & = { tfrac {1} {p}} ( alpha ^ {p} - alpha) & { text {if}} p { text {is prime}} [6pt] M ( alpha, p ^ {N}) & = { tfrac {1} {p ^ {N}}} ( alpha ^ {p ^ {N}} - alpha ^ {p ^ {N-1}}) & { text {if}} p { text {je hlavní}} end {zarovnáno}}}$

Pro ${ displaystyle alpha = 2}$, počínaje nulou, tvoří tyto celočíselná sekvence

1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, ... (sekvence A001037 v OEIS )

Totožnosti

Polynomy se řídí různými kombinatorickými identitami danými Metropolis & Rota:

${ displaystyle M ( alpha beta, n) = součet _ { operatorname {lcm} (i, j) = n} gcd (i, j) M ( alpha, i) M ( beta, j ),}$

kde je „gcd“ největší společný dělitel a „lcm“ je nejmenší společný násobek. Obecněji,

${ displaystyle M ( alpha beta cdots gamma, n) = součet _ { operatorname {lcm} (i, j, ldots, k) = n} gcd (i, j, cdots, k ) M ( alpha, i) M ( beta, j) cdots M ( gamma, k),}$

což také znamená:

${ displaystyle M ( beta ^ {m}, n) = součet _ { operatorname {lcm} (j, m) = nm} { frac {j} {n}} M ( beta, j). }$

Cyklomtomická identita

${ displaystyle {1 over 1- alpha z} = prod _ {j = 1} ^ { infty} left ({1 over 1-z ^ {j}} right) ^ {M ( alpha, j)}}$

Reference

• Moreau, C. (1872), "Sur les permutations circulaires evidentes (Na odlišných kruhových permutacích)", Nouvelles Annales de Mathématiques, Journal des Candidats Aux écoles Polytechnique et Normale, Sér. 2 (francouzsky), 11: 309–31, JFM  04.0086.01

• Metropolis, N.; Rota, Gian-Carlo (1983), „Wittovy vektory a algebra náhrdelníků“, Pokroky v matematice, 50 (2): 95–125, doi:10.1016 / 0001-8708 (83) 90035-X, ISSN  0001-8708, PAN  0723197, Zbl  0545.05009

• Reutenauer, Christophe (1988). "Mots circulaires et polynomies irreductibles". Ann. Sc. Matematika. Quebec. 12 (2): 275–285.