Prouhet – Tarry – Escott problém - Prouhet–Tarry–Escott problem - Wikipedia

v matematika, Prouhet – Tarry – Escott problém žádá o dva disjunktní multisety A a B z n celá čísla každý, jehož první k symetrické polynomy součtového výkonu jsou všechny stejné. To znamená, že dvě multisety by měly splňovat rovnice

${ displaystyle sum _ {a v A} a ^ {i} = součet _ {b v B} b ^ {i}}$

pro každé celé číslo i od 1 do daného k. Bylo prokázáno, že n musí být přísně větší než k. Řešení s ${ displaystyle k = n-1}$ jsou nazývány ideální řešení. Ideální řešení jsou známá ${ displaystyle 3 leq n leq 10}$ a pro ${ displaystyle n = 12}$. Není známo žádné ideální řešení ${ displaystyle n = 11}$ nebo pro ${ displaystyle n geq 13}$.^[1]

Tento problém byl pojmenován po Eugène Prouhet, který ji studoval počátkem padesátých let 19. století,^[2] a Gaston Tarry a Edward B. Escott, který to studoval na počátku 10. let 20. století. Problém pramení z písmen Christian Goldbach a Leonhard Euler (1750/1751).

Příklady

Ideální řešení

Ideální řešení pro n = 6 je dáno dvěma sadami {0, 5, 6, 16, 17, 22} a {1, 2, 10, 12, 20, 21}, protože:

0¹ + 5¹ + 6¹ + 16¹ + 17¹ + 22¹ = 1¹ + 2¹ + 10¹ + 12¹ + 20¹ + 21¹

0² + 5² + 6² + 16² + 17² + 22² = 1² + 2² + 10² + 12² + 20² + 21²

0³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 22³ = 1³ + 2³ + 10³ + 12³ + 20³ + 21³

0⁴ + 5⁴ + 6⁴ + 16⁴ + 17⁴ + 22⁴ = 1⁴ + 2⁴ + 10⁴ + 12⁴ + 20⁴ + 21⁴

0⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 16⁵ + 17⁵ + 22⁵ = 1⁵ + 2⁵ + 10⁵ + 12⁵ + 20⁵ + 21⁵.

Pro n = 12, ideální řešení je dáno vztahem A = {± 22, ± 61, ± 86, ± 127, ± 140, ± 151} a B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}.^[3]

Další řešení

Prouhet použil Sekvence Thue – Morse vytvořit řešení s ${ displaystyle n = 2 ^ {k}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$. Jmenovitě rozdělte čísla od 0 do ${ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ do zlá čísla a ohavná čísla; pak dvě sady oddílu poskytnou řešení problému.^[4] Například pro ${ displaystyle n = 8}$ a ${ displaystyle k = 3}$, Prouhetovo řešení je:

0¹ + 3¹ + 5¹ + 6¹ + 9¹ + 10¹ + 12¹ + 15¹ = 1¹ + 2¹ + 4¹ + 7¹ + 8¹ + 11¹ + 13¹ + 14¹

0² + 3² + 5² + 6² + 9² + 10² + 12² + 15² = 1² + 2² + 4² + 7² + 8² + 11² + 13² + 14²

0³ + 3³ + 5³ + 6³ + 9³ + 10³ + 12³ + 15³ = 1³ + 2³ + 4³ + 7³ + 8³ + 11³ + 13³ + 14³.

Zobecnění

Byla zavedena a studována vyšší dimenze verze problému Prouhet – Tarry – Escott Andreas Alpers a Robert Tijdeman v roce 2007: Dané parametry ${ displaystyle n, k in mathbb {N}}$, najděte dvě různé multi-sady ${ displaystyle {(x_ {1}, y_ {1}), tečky, (x_ {n}, y_ {n}) }}$, ${ displaystyle {(x_ {1} ', y_ {1}'), tečky, (x_ {n} ', y_ {n}') }}$ bodů z ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ takhle

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {j} y_ {i} ^ {dj} = sum _ {i = 1} ^ {n} {x '} _ { i} ^ {j} {y '} _ {i} ^ {dj}}$

pro všechny ${ displaystyle d, j v {0, tečky, k }}$ s ${ displaystyle j leq d.}$ Tento problém souvisí s diskrétní tomografie a také vede ke speciálním řešením Prouhet-Tarry-Escott po celém světě Gaussova celá čísla (ačkoli řešení problému Alpers-Tijdeman nevyčerpávají Gaussova celočíselná řešení pro Prouhet-Tarry-Escott).

Řešení pro ${ displaystyle n = 6}$ a ${ displaystyle k = 5}$ je dán například:

${ displaystyle {(x_ {1}, y_ {1}), tečky, (x_ {6}, y_ {6}) } = {(2,1), (1,3), (3 , 6), (6,7), (7,5), (5,2) }}$ a

${ displaystyle {(x '_ {1}, y' _ {1}), tečky, (x '_ {6}, y' _ {6}) } = {(1,2), (2,5), (5,7), (7,6), (6,3), (3,1) }}$.

Žádná řešení pro ${ displaystyle n = k + 1}$ s ${ displaystyle k geq 6}$ jsou známy.

Viz také

• Eulerův součet sil dohad
• Bealova domněnka
• Jacobi – Maddenova rovnice
• Lander, Parkin a Selfridge domněnka
• Číslo taxíku
• Pytagorova čtyřnásobná
• Součty sil, seznam souvisejících dohadů a vět
• Diskrétní tomografie

Poznámky

Reference

• Borwein, Peter B. (2002), „Prouhet – Tarry – Escottův problém“, Výpočtové exkurze v analýze a teorii čísel, CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag, str. 85–96, ISBN  0-387-95444-9, vyvoláno 2009-06-16 Kap.11.
• Alpersi, Andreasi; Rob Tijdeman (2007), „Dvourozměrný problém Prouhet-Tarry-Escott“ (PDF), Žurnál teorie čísel, 123 (2): 403–412, doi:10.1016 / j.jnt.2006.07.001, vyvoláno 2015-04-01.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Prouhet-Tarry-Escott problém“. MathWorld.