Úhlopříčka - Diagonal

Úhlopříčky a krychle s délkou strany 1. AC '(zobrazeno modře) je a úhlopříčka prostoru s délkou ${ displaystyle { sqrt {3}}}$, zatímco AC (zobrazeno červeně) je a čelní úhlopříčka a má délku ${ displaystyle { sqrt {2}}}$.

v geometrie, a úhlopříčka je úsečka spojení dvou vrcholy a polygon nebo mnohostěn, když tyto vrcholy nejsou na stejném okraj. Neformálně se každá šikmá čára nazývá diagonální. Slovo úhlopříčka pochází z starořečtina διαγώνιος úhlopříčky,^[1] „z úhlu do úhlu“ (z διά- dia-, „skrz“, „napříč“ a γωνία gonia, "úhel", související s ponurý "koleno"); to bylo používáno oběma Strabo^[2] a Euklid^[3] odkazovat na přímku spojující dva vrcholy a kosočtverec nebo kvádr,^[4] a později přijat do latiny jako diagonus ("šikmá čára").

v maticová algebra, úhlopříčka čtverce matice je sada položek sahajících od jednoho rohu k nejvzdálenějšímu rohu.

Existují i ​​jiná, nematematická použití.

Nematematická použití

Stojan základního lešení na staveništi domu s diagonálními výztuhami pro zachování jeho struktury

v inženýrství, diagonální výztuha je nosník používaný k vyztužení obdélníkové struktury (například lešení ) odolat silným silám, které do něj tlačí; ačkoli se nazývá diagonální, z praktických důvodů nejsou diagonální závorky často spojeny s rohy obdélníku.

Diagonální kleště jsou kleště na řezání drátu definované řeznými hranami čelistí protíná spojovací nýt pod úhlem nebo „na úhlopříčce“, odtud název.

A diagonální upevnění je typ vázacího prostředku, který se používá k připevnění nosníků nebo pólů k sobě tak, aby se upevňovací prostředky šikmo křížily přes póly.

v fotbal, úhlopříčka systém kontroly je metoda, kterou rozhodčí a pomocní rozhodčí používají k umístění v jednom ze čtyř kvadrantů hřiště.

Úhlopříčka je běžným měřením Velikost Displeje.

Mnohoúhelníky

Jak je aplikováno na a polygon, úhlopříčka je a úsečka spojením libovolných dvou po sobě následujících vrcholů. Proto a čtyřúhelník má dvě úhlopříčky spojující protilehlé páry vrcholů. Pro všechny konvexní mnohoúhelník, všechny úhlopříčky jsou uvnitř mnohoúhelníku, ale pro opakované polygony, některé úhlopříčky jsou mimo mnohoúhelník.

Žádný n-stranný mnohoúhelník (n ≥ 3), konvexní nebo konkávní, má ${ displaystyle { tfrac {n (n-3)} {2}}}$ úhlopříčky, protože každý vrchol má úhlopříčky ke všem ostatním vrcholům kromě sebe a dvou sousedních vrcholů, nebo n - 3 úhlopříčky a každá úhlopříčka je sdílena dvěma vrcholy.

Oblasti tvořené úhlopříčkami

V konvexní mnohoúhelník, pokud nejsou tři úhlopříčky souběžně v jednom bodě v interiéru je počet oblastí, na které úhlopříčky rozdělují interiér, dán

${ displaystyle { binom {n} {4}} + { binom {n-1} {2}} = { frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}$

Pro n-gony s n= 3, 4, ... počet regionů je^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Tohle je OEIS sekvence A006522.^[6]

Průsečíky úhlopříček

Pokud v bodě v interiéru nejsou současně tři úhlopříčky konvexního mnohoúhelníku, je počet vnitřních průsečíků úhlopříček dán vztahem ${ displaystyle { binom {n} {4}}}$.^[7][8] To platí například pro všechny pravidelný mnohoúhelník s lichým počtem stran. Vzorec vyplývá ze skutečnosti, že každý průsečík je jednoznačně určen čtyřmi koncovými body dvou protínajících se úhlopříček: počet průsečíků je tedy počtem kombinací n vrcholy čtyři najednou.

Pravidelné mnohoúhelníky

A trojúhelník nemá žádné úhlopříčky.

A náměstí má dvě úhlopříčky stejné délky, které se protínají ve středu čtverce. Poměr úhlopříčky ke straně je ${ displaystyle { sqrt {2}} přibližně 1,414.}$

A pravidelný pětiúhelník má pět úhlopříček všechny stejné délky. Poměr úhlopříčky ke straně je Zlatý řez, ${ displaystyle { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} přibližně 1,618.}$

Pravidelný šestiúhelník má devět úhlopříček: šest kratších je si navzájem rovných; tři delší jsou si navzájem rovné a protínají se ve středu šestiúhelníku. Poměr dlouhé úhlopříčky ke straně je 2 a poměr krátké úhlopříčky ke straně je ${ displaystyle { sqrt {3}}}$.

Pravidelný sedmiúhelník má 14 úhlopříček. Sedm kratších se navzájem rovná a sedm delších se navzájem rovná. Převrácená strana se rovná součtu převrácených hodnot krátké a dlouhé úhlopříčky.

V každém pravidelném n-gon s n sudé, všechny dlouhé úhlopříčky se protínají ve středu mnohoúhelníku.

Mnohostěny

A mnohostěn (A pevný předmět v trojrozměrný prostor, ohraničený dvourozměrný tváře ) mohou mít dva různé typy úhlopříček: čelní úhlopříčky na různých plochách spojující nesousedící vrcholy na stejné ploše; a vesmírné úhlopříčky, zcela uvnitř mnohostěnu (kromě koncových bodů na vrcholech).

Stejně jako trojúhelník nemá žádné úhlopříčky, takže také a čtyřstěn (se čtyřmi trojúhelníkovými plochami) nemá žádné úhlopříčky obličeje a žádné prostorové úhlopříčky.

A kvádr má dvě úhlopříčky na každé ze šesti tváří a čtyři prostorové úhlopříčky.

Matice

V případě a čtvercová matice, hlavní nebo hlavní úhlopříčka je diagonální řada položek probíhajících od levého horního rohu k pravému dolnímu rohu.^[9][10][11] Pro matici ${ displaystyle A}$ s indexem řádku určeným ${ displaystyle i}$ a index sloupce určený ${ displaystyle j}$, to by byly záznamy ${ displaystyle A_ {ij}}$ s ${ displaystyle i = j}$. Například matice identity lze definovat jako položky 1 na hlavní úhlopříčce a nuly jinde:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

Úhlopříčka zprava doleva doleva je někdy popisována jako Méně důležitý úhlopříčka nebo antidiagonální. The mimo úhlopříčku položky jsou ty, které nejsou na hlavní úhlopříčce. A diagonální matice je ten, jehož off-diagonální položky jsou všechny nulové.^[12][13]

A superdiagonální položka je ta, která je přímo nad a napravo od hlavní úhlopříčky.^[14][15] Stejně jako jsou diagonální položky ${ displaystyle A_ {ij}}$ s ${ displaystyle j = i}$, superdiagonální položky jsou ty s ${ displaystyle j = i + 1}$. Například nenulové položky následující matice leží v superdiagonální:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$

Podobně, a subdiagonální položka je ta, která je přímo pod a nalevo od hlavní úhlopříčky, tj. položka ${ displaystyle A_ {ij}}$ s ${ displaystyle j = i-1}$.^[16] Úhlopříčky obecné matice lze určit indexem ${ displaystyle k}$ měřeno vzhledem k hlavní úhlopříčce: hlavní úhlopříčka má ${ displaystyle k = 0}$; superdiagonální má ${ displaystyle k = 1}$; subdiagonální má ${ displaystyle k = -1}$; a obecně ${ displaystyle k}$-diagonální se skládá z položek ${ displaystyle A_ {ij}}$ s ${ displaystyle j = i + k}$.

Geometrie

Analogicky podmnožina z kartézský součin X×X jakékoli sady X se sama o sobě, skládající se ze všech párů (x, x), se nazývá úhlopříčka a je graf z rovnost vztah na X nebo ekvivalentně graf z funkce identity z X na X. To hraje důležitou roli v geometrii; například pevné body a mapování F z X k sobě lze získat protínáním grafu F s úhlopříčkou.

V geometrických studiích myšlenka protínat úhlopříčku sám se sebou je běžné, ne přímo, ale narušením uvnitř třída ekvivalence. To souvisí na hluboké úrovni s Eulerova charakteristika a nuly vektorová pole. Například kruh S¹ má Betti čísla 1, 1, 0, 0, 0, a tedy Eulerova charakteristika 0. Geometrickým způsobem vyjádření je pohled na úhlopříčku na dvou-torus S¹xS¹ a pozorujte, že se může pohybovat sám od sebe malým pohybem (θ, θ) do (θ, θ + ε). Obecně lze průsečíkové číslo grafu funkce s úhlopříčkou vypočítat pomocí homologie pomocí Lefschetzova věta o pevném bodě; vlastní průnik úhlopříčky je zvláštním případem funkce identity.

Viz také

• Jordan normální forma
• Hlavní úhlopříčka
• Diagonální funktor

Poznámky

Reference

• Bronson, Richard (1970), Maticové metody: Úvod, New York: Akademický tisk, LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matice a lineární transformace, Čtení: Addison-Wesley, LCCN  66021267
• Herstein, I.N. (1964), Témata v algebřeWaltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN  978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a teorie matic (2. vyd.), New York: Wiley, LCCN  76091646

externí odkazy

• Úhlopříčky mnohoúhelníku s interaktivní animací
• Mnohoúhelník úhlopříčka z MathWorld.
• Úhlopříčka matice z MathWorld.