Hasse – Schmidtova derivace - Hasse–Schmidt derivation - Wikipedia

V matematice, a Hasse – Schmidtova derivace je rozšířením pojmu a derivace. Koncept představil Schmidt & Hasse (1937).

Definice

Pro (ne nutně komutativní ani asociativní) prsten B a a B-algebra A, derivace Hasse-Schmidta je mapa B-algebry

${ displaystyle D: A až A [[t]]}$

přijímání hodnot v kruhu formální mocenské řady s koeficienty v A. Tato definice se nachází na několika místech, například Gatto a Salehyan (2016, §3.4), který také obsahuje následující příklad: pro A být prstenem nekonečně diferencovatelné funkce (definováno na, řekněme, Rⁿ) a B=R, mapa

${ displaystyle f mapsto exp left (t { frac {d} {dx}} right) f (x) = f + t { frac {df} {dx}} + { frac {t ^ {2}} {2}} { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} + cdots}$

je Hasse-Schmidtova derivace, jak vyplývá z aplikace Leibnizovo pravidlo iteračně.

Ekvivalentní charakterizace

Hazewinkel (2012) ukazuje, že derivace Hasse-Schmidta je ekvivalentní působení bialgebra

${ displaystyle operatorname {NSymm} = mathbf {Z} langle Z_ {1}, Z_ {2}, ldots rangle}$

z nekomutativní symetrické funkce v nespočetně mnoha proměnných Z₁, Z₂, ...: část ${ displaystyle D_ {i}: od A do A}$ z D který vybírá koeficient ${ displaystyle t ^ {i}}$, je akce neurčitého Z_i.

Aplikace

Derivace Hasse-Schmidta na vnější algebra ${ textstyle A = bigwedge M}$ některých B-modul M byly studovány uživatelem Gatto a Salehyan (2016, §4). Základní vlastnosti derivací v této souvislosti vedou ke koncepčnímu důkazu Cayley-Hamiltonova věta. Viz také Gatto & Scherbak (2015).

Reference

• Gatto, Letterio; Salehyan, Parham (2016), Hasse-Schmidtovy derivace na Grassmannovy algebrySpringer, doi:10.1007/978-3-319-31842-4, ISBN  978-3-319-31842-4, PAN  3524604
• Gatto, Letterio; Scherbak, Inna (2015), Poznámky k Cayley-Hamiltonově větě, arXiv:1510.03022
• Hazewinkel, Michiel (2012), „Derivace Hasse-Schmidta a Hopfova algebra nekomutativních symetrických funkcí“, Axiomy, 1 (2): 149–154, arXiv:1110.6108, doi:10,3390 / axiomy1020149
• Schmidt, F. K.; Hasse, H. (1937), „Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten. (Nach einer brieflichen Mitteilung von F. K. Schmidt in Jena)“, J. Reine Angew. Matematika., 177: 215–237, doi:10.1515 / crll.1937.177.215, ISSN  0075-4102, PAN  1581557