Derivát Pincherle - Pincherle derivative

v matematika, Derivát Pincherle^[1] T ’ a lineární operátor T:K.[X] → K.[X] na vektorový prostor z polynomy v proměnné X přes pole K. je komutátor z T s násobením X v algebra endomorfismů Konec(K.[X]). To znamená, T ’ je další lineární operátor T ’:K.[X] → K.[X]

{ displaystyle T ': = [T, x] = Tx-xT = - operatorname {ad} (x) T, ,}

aby

{ displaystyle T ' {p (x) } = T {xp (x) } - xT {p (x) } qquad forall p (x) in mathbb {K} [x ].}

Tento koncept je pojmenován po italském matematikovi Salvatore Pincherle (1853–1936).

Vlastnosti

Derivát Pincherle, jako každý jiný komutátor, je derivace, což znamená, že splňuje pravidla součtu a součinu: dané dva lineární operátory ${ displaystyle scriptstyle S}$ a ${ displaystyle scriptstyle T}$ patřící ${ displaystyle scriptstyle operatorname {End} left ( mathbb {K} [x] right)}$

${ displaystyle scriptstyle {(T + S) ^ { prime} = T ^ { prime} + S ^ { prime}}}$ ;
${ displaystyle scriptstyle {(TS) ^ { prime} = T ^ { prime} ! S + TS ^ { prime}}}$ kde ${ displaystyle scriptstyle {TS = T circ S}}$ je složení provozovatelů ;

Jeden také má ${ displaystyle scriptstyle {[T, S] ^ { prime} = [T ^ { prime}, S] + [T, S ^ { prime}]}}$ kde ${ displaystyle scriptstyle {[T, S] = TS-ST}}$ je obvyklé Ležící závorka, který vyplývá z Jacobi identita.

Obvyklý derivát, D = d/dx, je operátor polynomů. Přímým výpočtem je jeho derivát Pincherle

{ displaystyle D '= left ({d over {dx}} right)' = operatorname {Id} _ { mathbb {K} [x]} = 1.}

Tento vzorec zobecňuje na

{ displaystyle (D ^ {n}) '= left ({{d ^ {n}} over {dx ^ {n}}} right)' = nD ^ {n-1},}

podle indukce. Dokazuje to, že Pincherleova derivace a operátor diferenciálu

{ displaystyle částečné = součet a_ {n} {{d ^ {n}} nad {dx ^ {n}}} = součet a_ {n} D ^ {n}}

je také diferenciální operátor, takže Pincherleova derivace je derivací ${ displaystyle scriptstyle operatorname {Diff} ( mathbb {K} [x])}$ .

Když ${ displaystyle mathbb {K}}$ má charakteristickou nulu, operátor řazení

{ displaystyle S_ {h} (f) (x) = f (x + h) ,}

lze psát jako

{ displaystyle S_ {h} = součet _ {n geq 0} {{h ^ {n}} přes {n!}} D ^ {n}}

podle Taylorův vzorec. Jeho derivát Pincherle je tedy

{ displaystyle S_ {h} '= součet _ {n geq 1} {{h ^ {n}} přes {(n-1)!}} D ^ {n-1} = h cdot S_ { h}.}

Jinými slovy, operátory směny jsou vlastní vektory derivátu Pincherle, jehož spektrum je celý prostor skalárů ${ displaystyle scriptstyle { mathbb {K}}}$ .

Li T je ekvivalenční posun, tedy pokud T dojíždí s S_h nebo ${ displaystyle scriptstyle {[T, S_ {h}] = 0}}$ , pak také máme ${ displaystyle scriptstyle {[T ', S_ {h}] = 0}}$ , aby ${ displaystyle scriptstyle T '}$ je také rovnocenný posunu a pro stejný posun ${ displaystyle scriptstyle h}$ .