Lemma Cotlar – Stein - Cotlar–Stein lemma

Tento článek se čte jako učebnice matematiky. Své tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii. Viz Wikipedia průvodce psaním lepších článků pro návrhy. (Červenec 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, v oblasti funkční analýza, Cotlar – Stein téměř ortogonální lemma je pojmenována po matematiků Mischa Cotlar a Elias Stein. Může být použit k získání informací o norma operátora na operátora jednajícího od jednoho Hilbertův prostor do kterého lze operátor rozložit téměř kolmé Originální verze tohoto lemmatu (pro samoadjung a vzájemně dojíždějící operátoři) byla prokázána Mischa Cotlar v roce 1955^[1] a umožnil mu dojít k závěru, že Hilbertova transformace je spojitý lineární operátor v ${displaystyle L ^ {2}}$bez použití Fourierova transformace Obecnější verzi prokázal Elias Stein.^[2]

Cotlar – Stein téměř ortogonální lemma

Nechat ${displaystyle E ,, F}$ být dva Hilbertovy prostory Zvažte rodinu operátorů${displaystyle T_ {j}}$, ${displaystyle jgeq 1}$,s každým ${displaystyle T_ {j}}$A ohraničený lineární operátor z ${displaystyle E}$ na ${displaystyle F}$.

Označit

${displaystyle a_ {jk} = Vert T_ {j} T_ {k} ^ {ast} Vert, qquad b_ {jk} = Vert T_ {j} ^ {ast} T_ {k} Vert.}$

Rodina operátorů${displaystyle T_ {j} :; E o F}$, ${displaystyle jgeq 1,}$je téměř kolmé -li

${displaystyle A = sup _ {j} součet _ {k} {sqrt {a_ {jk}}}$

Lemma Cotlar – Stein uvádí, že pokud ${displaystyle T_ {j}}$jsou téměř kolmé, pak série${displaystyle sum _ {j} T_ {j}}$konverguje do silná topologie operátora, a to

${displaystyle Vert sum _ {j} T_ {j} Vert leq {sqrt {AB}}.}$

Důkaz

Li R₁, ..., R_n je tedy konečná sbírka omezených operátorů^[3]

${displaystyle displaystyle {sum _ {i, j} | (R_ {i} v, R_ {j} v) | leq left (max _ {i} sum _ {j} | R_ {i} ^ {*} R_ { j} | ^ {1 nad 2} ight) vlevo (max _ {i} součet _ {j} | R_ {i} R_ {j} ^ {*} | ^ {1 nad 2} ight) | v | ^ { 2}.}}$

Takže podle hypotéz lemmatu

${displaystyle displaystyle {sum _ {i, j} | (T_ {i} v, T_ {j} v) | leq AB | v | ^ {2}.}}$

Z toho vyplývá, že

${displaystyle displaystyle {| sum _ {i = 1} ^ {n} T_ {i} v | ^ {2} leq AB | v | ^ {2},}}$

a to

${displaystyle displaystyle {| součet _ {i = m} ^ {n} T_ {i} v | ^ {2} leq součet _ {i, jgeq m} | (T_ {i} v, T_ {j} v) | .}}$

Proto částečné částky

${displaystyle displaystyle {s_ {n} = součet _ {i = 1} ^ {n} T_ {i} v}}$

tvoří a Cauchyova posloupnost.

Součet je tedy absolutně konvergentní s limitem uspokojujícím uvedenou nerovnost.

Prokázat výše uvedenou nerovnost

${displaystyle displaystyle {R = součet a_ {ij} R_ {i} ^ {*} R_ {j}}}$

s |A_ij| ≤ 1 zvoleno tak

${displaystyle displaystyle {(Rv, v) = | (Rv, v) | = součet | (R_ {i} v, R_ {j} v) |.}}$

Pak

${displaystyle displaystyle {| R | ^ {2m} = | (R ^ {*} R) ^ {m} | leq sum | R_ {i_ {1}} ^ {*} R_ {i_ {2}} R_ {i_ {3}} ^ {*} R_ {i_ {4}} cdots R_ {i_ {2m}} | leq sum left (| R_ {i_ {1}} ^ {*} || R_ {i_ {1}} ^ {*} R_ {i_ {2}} || R_ {i_ {2}} R_ {i_ {3}} ^ {*} | cdots | R_ {i_ {2m-1}} ^ {*} R_ {i_ { 2m}} || R_ {i_ {2m}} | ight) ^ {1 přes 2}.}}$

Proto

${displaystyle displaystyle {| R | ^ {2m} leq ncdot max | R_ {i} | vlevo (max _ {i} součet _ {j} | R_ {i} ^ {*} R_ {j} | ^ {1 nad 2} ight) ^ {2m} vlevo (max _ {i} součet _ {j} | R_ {i} R_ {j} ^ {*} | ^ {1 přes 2} ight) ^ {2m-1}.} }$

Užívání 2mth kořeny a pronájem m inklinovat k ∞,

${displaystyle displaystyle {| R | leq left (max _ {i} součet _ {j} | R_ {i} ^ {*} R_ {j} | ^ {1 přes 2} ight) left (max _ {i} součet _ {j} | R_ {i} R_ {j} ^ {*} | ^ {1 více než 2} ight),}}$

což okamžitě implikuje nerovnost.

Zobecnění

Existuje zevšeobecnění lemu Cotlar – Stein se součty nahrazenými integrály.^[4][5] Nechat X být lokálně kompaktním prostorem a μ a Borelův rozměr X. Nechat T(X) být mapou z X do omezených operátorů z E na F který je jednotně ohraničený a spojitý v silné topologii operátora. Li

${displaystyle displaystyle {A = sup _ {x} int _ {X} | T (x) ^ {*} T (y) | ^ {1 přes 2}, dmu (y) ,,,, B = sup _ { x} int _ {X} | T (y) T (x) ^ {*} | ^ {1 nad 2}, dmu (y),}}$

jsou konečné, pak funkce T(X)proti je integrovatelný pro každého proti v E s

${displaystyle displaystyle {| int _ {X} T (x) v, dmu (x) | leq {sqrt {AB}} cdot | v |.}}$

Výsledek lze dokázat nahrazením součtů integrály v předchozím důkazu nebo použitím Riemannůch součtů k aproximaci integrálů.

Příklad

Zde je příklad souboru ortogonální rodina operátorů. Zvažte inifite-dimenzionální matice

${displaystyle T = left [{egin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & vdots 0 & 1 & 0 & vdots 0 & 0 & 1 & vdots cdots & cdots & cdots & ddots end {array}} ight]}$

a také

${displaystyle qquad T_ {1} = left [{egin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & vdots 0 & 0 & 0 & vdots 0 & 0 & 0 & vdots cdots & cdots & cdots & ddots end {array}} ight], qquad T_ {2} = left [{egin {array} { cccc} 0 a 0 & 0 & vdots 0 & 1 & 0 & vdots 0 & 0 & 0 & vdots cdots & cdots & cdots & ddots end {array}} ight], qquad T_ {3} = left [{egin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & vdots 0 & 0 & 0 & vdots 0 & 0 & 0 & vdots 0 & 0 & 0 & vdots } přesně], qquad tečky.}$

Pak${displaystyle Vert T_ {j} Vert = 1}$ pro každého ${displaystyle j}$, tedy série ${displaystyle sum _ {jin mathbb {N}} T_ {j}}$nekonverguje v jednotná topologie operátora.

Přesto od té doby${displaystyle Vert T_ {j} T_ {k} ^ {ast} Vert = 0}$a ${displaystyle Vert T_ {j} ^ {ast} T_ {k} Vert = 0}$pro ${displaystyle jeq k}$, to nám říká lemma Cotlar – Stein téměř ortogonality

${displaystyle T = součet _ {jin mathbb {N}} T_ {j}}$

konverguje do silná topologie operátora a je ohraničen 1.

Poznámky

Reference

• Cotlar, Mischa (1955), „Kombinatorická nerovnost a její aplikace na L² mezery ", Matematika. Cuyana, 1: 41–55
• Hörmander, Lars (1994), Analýza parciálních diferenciálních operátorů III: Pseudodiferenciální operátory (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 165–166, ISBN  978-3-540-49937-4
• Knapp, Anthony W .; Stein, Elias (1971), „Intertwining operator for semi-simple Lie groups“, Ann. Matematika., 93: 489–579
• Stein, Elias (1993), Harmonická analýza: Metody reálných proměnných, ortogonalita a oscilační integrály, Princeton University Press, ISBN  0-691-03216-5