Počítačový algebraický systém - Computer algebra system
A počítačový algebraický systém (CAS) nebo systém symbolické algebry (SAS) je libovolný matematický software se schopností manipulovat matematické výrazy podobným způsobem jako tradiční manuální výpočty z matematici a vědci. Vývoj systémů počítačové algebry ve druhé polovině 20. století je součástí disciplíny „počítačová algebra „nebo“symbolický výpočet ", který pobídl práci v algoritmy přes matematické objekty jako polynomy.
Systémy počítačové algebry lze rozdělit do dvou tříd: specializované a obecné. Specializované se věnují konkrétní části matematiky, jako je např teorie čísel, teorie skupin, nebo výuka elementární matematika.
Obecné systémy počítačové algebry mají za cíl být užitečné pro uživatele pracujícího v jakémkoli vědeckém oboru, který vyžaduje manipulaci s matematickými výrazy. Aby byl užitečný, univerzální počítačový algebraický systém musí obsahovat různé funkce, jako například:
- A uživatelské rozhraní umožňující uživateli zadávat a zobrazovat matematické vzorce, obvykle z klávesnice, výběru z nabídky, myši nebo stylusu.
- A programovací jazyk a tlumočník (výsledek výpočtu má obvykle nepředvídatelnou formu a nepředvídatelnou velikost; proto je často nutný zásah uživatele),
- A zjednodušovač, což je přepsat systém pro zjednodušení matematických vzorců,
- A správce paměti, včetně a Popelář, což vyžaduje velká velikost mezilehlých dat, která se mohou objevit během výpočtu,
- an aritmetika s libovolnou přesností, potřebné pro obrovskou velikost celých čísel, která se mohou vyskytnout,
- velká matematická knihovna algoritmy a speciální funkce.
Knihovna musí zajišťovat nejen potřeby uživatelů, ale také potřeby zjednodušujícího programu. Například výpočet polynomiální největší společné dělitele se systematicky používá ke zjednodušení výrazů zahrnujících zlomky.
Toto velké množství požadovaných počítačových schopností vysvětluje malý počet univerzálních počítačových algebraických systémů. Hlavní jsou Axiom, Maxima, Magma, Javor, Mathematica a SageMath.
Dějiny

Systémy počítačové algebry se začaly objevovat v 60. letech a vyvinuly se ze dvou zcela odlišných zdrojů - požadavků teoretických fyziků a výzkumu umělá inteligence.
Ukázkovým příkladem pro první vývoj byla průkopnická práce, kterou provedl pozdější laureát Nobelovy ceny za fyziku Martinus Veltman, který navrhl program pro symbolickou matematiku, zejména fyziku vysokých energií, tzv Schoonschip (Holandsky „čistá loď“) v roce 1963. Další časný systém byl FORMAC.
Použitím Lisp jako základ programování, Carl Engelman vytvořeno MATHLAB v roce 1964 v MITER v prostředí výzkumu umělé inteligence. Později byl MATHLAB zpřístupněn uživatelům na systémech PDP-6 a PDP-10 se systémem TOPS-10 nebo TENEX na univerzitách. Dnes je stále možné jej používat SIMH emulace PDP-10. MATHLAB („matematikaematický laboratořby neměla být zaměňována s MATLAB ("rohožrix laboratořoratoř "), což je systém pro numerické výpočty postavený o 15 let později na University of New Mexico.
První populární systémy počítačové algebry byly muMATH, Snížit, Odvodit (na základě muMATH) a Macsyma; populární copyleft verze Macsyma s názvem Maxima se aktivně udržuje. Snížit se stal svobodným softwarem v roce 2008.[1] Od dnešního dne,[když? ] nejoblíbenější komerční systémy jsou Mathematica[2] a Javor, které běžně používají výzkumní matematici, vědci a inženýři. Mezi volně dostupné alternativy patří SageMath (který může fungovat jako front-end několika dalším bezplatným a nesvobodným CAS).
V roce 1987 Hewlett Packard představil první ruční kalkulačku CAS s Řada HP-28, a bylo to možné poprvé v kalkulačce,[3] uspořádat algebraické výrazy, diferenciaci, omezenou symbolickou integraci, konstrukci Taylorovy řady a řešitel pro algebraické rovnice. V roce 1999 nezávisle vyvinula CAS Erable pro Řada HP 48 se stala oficiálně integrovanou součástí nově se objevujícího firmwaru Řada HP 49/50 ao rok později do Řada HP 40 stejně, zatímco HP Prime přijal Xcas systému v roce 2013.
The Texas Instruments společnost v roce 1995 vydala TI-92 kalkulačka s CAS založená na softwaru Odvodit; the Řada TI-Nspire nahradil Derive v roce 2007. The Řada TI-89, který byl poprvé vydán v roce 1998, obsahuje také CAS.
Casio vydali svou první CAS kalkulačku s CFX-9970G a uspěl s Řada Algebra FX v letech 1999-2003 a v současnosti Řada ClassPad.[Citace je zapotřebí ]
V poslední době byly systémy počítačové algebry implementovány pomocí umělé neuronové sítě.[4]
Symbolické manipulace
Mezi podporované symbolické manipulace obvykle patří:
- zjednodušení na menší výraz nebo tak nějak standardní forma, včetně automatického zjednodušení s předpoklady a zjednodušení s omezeními
- substituce symbolů nebo číselných hodnot pro určité výrazy
- změna formy výrazů: rozšiřování produktů a pravomocí, částečné a úplné faktorizace, přepsáno jako dílčí zlomky, omezení spokojenosti, přepis trigonometrické funkce jako exponenciály, transformace logických výrazů atd.
- částečný a totální diferenciace
- nějaký neurčitý a definitivní integrace (vidět symbolická integrace ), včetně vícerozměrných integrálů
- symbolická omezená a neomezená globální optimalizace
- řešení lineárních a některých nelineárních rovnic v různých doménách
- řešení některých rozdíl a rozdílové rovnice
- brát některé limity
- integrální transformace
- série operace jako expanze, sumace a produkty
- maticové operace včetně produkty, inverze, atd.
- statistický výpočet
- dokazování věty a ověření což je velmi užitečné v oblasti experimentální matematika
- optimalizované generování kódu
Ve výše uvedeném slova nějaký označuje, že operaci nelze vždy provést.
Další možnosti
Mnoho z nich také zahrnuje:
- A programovací jazyk, což umožňuje uživatelům implementovat své vlastní algoritmy
- libovolná přesnost číselné operace
- přesná celočíselná aritmetika a funkce teorie čísel
- Úpravy matematických výrazů ve dvojrozměrné formě
- spiknutí grafy a parametrické grafy funkcí ve dvou a tří dimenzích a jejich animace
- kreslení grafů a diagramů
- API pro propojení s externím programem, jako je databáze, nebo použití v programovacím jazyce k použití systému počítačové algebry
- manipulace s řetězci jako vhodný a vyhledávání
- doplňky pro použití v aplikovaná matematika jako je fyzika, bioinformatika, výpočetní chemie a balíčky pro fyzický výpočet
Některé zahrnují:
- grafický výroba a úpravy jako např počítačem generované snímky a zpracování signálu tak jako zpracování obrazu
- zvuková syntéza
Některé systémy počítačové algebry se zaměřují na specializované disciplíny; ty jsou obvykle vyvíjeny na akademické půdě a jsou zdarma. Mohou být neúčinné pro numerické operace ve srovnání s numerické systémy.
Druhy výrazů
Výrazy manipulované CAS obvykle zahrnují polynomy ve více proměnných; standardní funkce výrazů (sinus, exponenciální, atd.); různé speciální funkce (Γ, ζ, erf, Besselovy funkce, atd.); libovolné funkce výrazů; optimalizace; deriváty, integrály, zjednodušení, součty a produkty výrazů; zkrácen série s výrazy jako koeficienty, matice výrazů atd. Mezi podporované číselné domény obvykle patří reprezentace reálných čísel s plovoucí desetinnou čárkou, celá čísla (neomezené velikosti), komplex (reprezentace s plovoucí desetinnou čárkou), intervalové znázornění skutečností, racionální číslo (přesné znázornění) a algebraická čísla.
Využití ve vzdělávání
Existuje mnoho obhájců zvýšení využívání systémů počítačové algebry ve třídách základních a středních škol. Primárním důvodem takové obhajoby je to, že systémy počítačové algebry představují matematiku v reálném světě více než matematika založená na papírové tužce nebo ruční kalkulačce.[5]Tento tlak na zvyšování využití počítače v učebnách matematiky byl podporován některými vzdělávacími radami. Bylo dokonce nařízeno v učebních osnovách některých regionů.[6]
Systémy počítačové algebry se ve vysokém školství hojně používají.[7][8] Mnoho univerzit nabízí buď konkrétní kurzy rozvoje jejich využití, nebo implicitně očekávají, že je studenti využijí pro svou práci v kurzu. Společnosti, které vyvíjejí systémy počítačové algebry, usilovaly o zvýšení jejich prevalence mezi univerzitními a vysokoškolskými programy.[9][10]
Kalkulačky vybavené CAS nejsou na internetu povoleny AKT, PLÁN a v některých učebnách[11] ačkoli to může být povoleno na všech College Board zkoušky povolené kalkulačkou, včetně SAT, někteří SAT předmětové testy a AP počet, Chemie, Fyzika, a Statistika zkoušky.
Matematika používaná v počítačových algebraických systémech
- Algoritmus dokončení Knuth – Bendix[12]
- Algoritmy hledání kořenů[12]
- Symbolická integrace přes např. Rischův algoritmus nebo Risch – Normanův algoritmus
- Hypergeometrický součet přes např. Gosperův algoritmus
- Mezní výpočet přes např. Gruntzův algoritmus
- Polynomiální faktorizace přes např. přes konečná pole,[13] Berlekampův algoritmus nebo Algoritmus Cantor – Zassenhaus.
- Největší společný dělitel přes např. Euklidovský algoritmus
- Gaussova eliminace[14]
- Gröbnerův základ přes např. Buchbergerův algoritmus; zobecnění euklidovského algoritmu a Gaussova eliminace
- Padé přibližný
- Schwartz – Zippelovo lemma a testování polynomiálních identit
- Čínská věta o zbytku
- Diophantine rovnice
- Vyloučení kvantifikátoru přes reálná čísla pomocí např. Tarského metoda /Válcový algebraický rozklad
- Landauův algoritmus (vnořené radikály)
- Deriváty základní funkce a speciální funkce. (např. viz deriváty neúplné funkce gama.)
- Válcový algebraický rozklad
Viz také
- Seznam počítačových algebraických systémů
- Vědecké výpočty
- Statistický balíček
- Automatizované dokazování věty
- Jazyk algebraického modelování
- Logické programování omezení
- Teorie modulo uspokojivosti
Reference
- ^ „REDUCE Computer Algebra System at SourceForge“. redu-algebra.sourceforge.net. Citováno 2015-09-28.
- ^ Rozhovor s Gastonem Gonnetem, spolutvůrcem Maple Archivováno 2007-12-29 na Wayback Machine, SIAM History of Numerical Analysis and Computing, 16. března 2005.
- ^ Nelson, Richard. „Kalkulačka Hewlett-Packard je první“. Hewlett Packard. Archivovány od originál dne 3. 7. 2010.
- ^ Ornes, Stephene. „Symbolická matematika konečně přináší neuronové sítě“. Časopis Quanta. Citováno 2020-11-04.
- ^ „Výuka dětí skutečnou matematikou pomocí počítačů“. Ted.com. Citováno 2017-08-12.
- ^ „Mathematics - Manitoba Education“. Edu.gov.mb.ca. Citováno 2017-08-12.
- ^ „Mathematica pro fakultu, zaměstnance a studenty: Informační technologie - Northwestern University“. It.northwestern.edu. Citováno 2017-08-12.
- ^ „Mathematica for Students - Columbia University Information Technology“. cuit.columbia.edu. Citováno 2017-08-12.
- ^ „Mathematica for Higher Education: Uses for University & College Courses“. Wolfram.com. Citováno 2017-08-12.
- ^ „MathWorks - Academia - MATLAB & Simulink“. Mathworks.com. Citováno 2017-08-12.
- ^ Testy CAAP ACT: Použití kalkulaček v testu matematiky CAAP Archivováno 31. Srpna 2009 v Wayback Machine
- ^ A b B. Buchberger; G.E. Collins; R. Loos (2013-06-29). Počítačová algebra: Symbolický a algebraický výpočet. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7091-3406-1.
- ^ Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard (2013-04-25). Moderní počítačová algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03903-2.
- ^ Keith O. Geddes; Stephen R. Czapor; George Labahn (30.06.2007). Algoritmy pro počítačovou algebru. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-585-33247-5.
externí odkazy
- Definice a fungování systému počítačové algebry
- Učební plán a hodnocení ve věku počítačových algebraických systémů - Od Informační centrum vzdělávacích zdrojů Clearinghouse pro vědu, matematiku a ekologickou výchovu, Columbus, Ohio.
- Richard J. Fateman. „Pokusy o algebraické zjednodušení.“ Technická zpráva MIT-LCS-TR-095, 1972. (Z historického hlediska je důležité ukázat směr výzkumu počítačové algebry. Na webových stránkách MIT LCS: [1] )