Hadamardovo lemma - Hadamards lemma - Wikipedia

v matematika, Hadamardovo lemma, pojmenoval podle Jacques Hadamard, je v podstatě forma prvního řádu Taylorova věta, ve kterém můžeme přesně a pohodlně vyjádřit hladkou funkci se skutečnou hodnotou.

Prohlášení

Nechť ƒ je plynulá funkce se skutečnou hodnotou definovaná na otevřeném, konvexní sousedství U bodu A v n-rozměrný euklidovský prostor. Pak ƒ (X) lze vyjádřit pro všechny X v U, ve formě:

${ displaystyle f (x) = f (a) + součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo (x_ {i} -a_ {i} doprava) g_ {i} (x),}$

kde každý G_i je plynulá funkce na U, A = (A₁, …, A_n), a X = (X₁, …, X_n).

Důkaz

Nechat X být v U. Nechat h být mapa od [0,1] do reálných čísel definovaných

${ displaystyle h (t) = f (a + t (x-a)).}$

Od té doby

${ displaystyle h '(t) = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné f} { částečné x_ {i}}} (a + t (xa)) vlevo (x_ {i} -a_ {i} vpravo),}$

my máme

${ displaystyle h (1) -h (0) = int _ {0} ^ {1} h '(t) , dt = int _ {0} ^ {1} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné f} { částečné x_ {i}}} (a + t (xa)) doleva (x_ {i} -a_ {i} doprava) , dt = součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo (x_ {i} -a_ {i} vpravo) int _ {0} ^ {1} { frac { částečné f} { částečné x_ {i} }} (a + t (xa)) , dt.}$

Ale navíc, h(1) − h(0) = F(X) − F(A), takže pokud to necháme

${ displaystyle g_ {i} (x) = int _ {0} ^ {1} { frac { částečné f} { částečné x_ {i}}} (a + t (xa)) , dt, }$

prokázali jsme větu.

Reference

• Nestruev, Jet (2002). Hladké potrubí a pozorovatelné. Berlín: Springer. ISBN  0-387-95543-7.