Tři podskupiny lemma - Three subgroups lemma

v matematika, konkrétněji teorie skupin, lemma tří podskupin je výsledek týkající se komutátory. Je to důsledek Philip Hall a Ernst Witt stejnojmenná identita.

Zápis

V následujícím textu bude použita následující notace:

Li H a K. jsou podskupiny a skupina G, komutátor H a K., označeno [H, K.], je definována jako podskupina G generováno uživatelem komutátory mezi prvky ve dvou podskupinách. Li L je třetí podskupina, konvence, která [H,K.,L] = [[H,K.],L] budou následovat.
Li X a y jsou prvky skupiny G, sdružené z X podle y bude označen ${ displaystyle x ^ {y}}$ .
Li H je podskupina skupiny G, pak centralizátor z H v G bude označen C_G(H).

Prohlášení

Nechat X, Y a Z být podskupinami skupiny G, a předpokládejme

{ displaystyle [X, Y, Z] = 1}

a

{ displaystyle [Y, Z, X] = 1.}

Pak ${ displaystyle [Z, X, Y] = 1}$ .^[1]

Obecněji, pro a normální podskupina ${ displaystyle N}$ z ${ displaystyle G}$ , pokud ${ displaystyle [X, Y, Z] subseteq N}$ a ${ displaystyle [Y, Z, X] subseteq N}$ , pak ${ displaystyle [Z, X, Y] subseteq N}$ .^[2]

Důkaz a identita Hall-Witt

Hall – Wittova identita

Li ${ displaystyle x, y, z v G}$ , pak

{ displaystyle [x, y ^ {- 1}, z] ^ {y} cdot [y, z ^ {- 1}, x] ^ {z} cdot [z, x ^ {- 1}, y ] ^ {x} = 1.}

Důkaz tří lemmat podskupin

Nechat ${ displaystyle x v X}$ , ${ displaystyle y v Y}$ , a ${ displaystyle z v Z}$ . Pak ${ displaystyle [x, y ^ {- 1}, z] = 1 = [y, z ^ {- 1}, x]}$ a podle výše uvedené identity Hall – Witt z toho vyplývá ${ displaystyle [z, x ^ {- 1}, y] ^ {x} = 1}$ a tak ${ displaystyle [z, x ^ {- 1}, y] = 1}$ . Proto, ${ displaystyle [z, x ^ {- 1}] subseteq mathbf {C} _ {G} (Y)}$ pro všechny ${ displaystyle z v Z}$ a ${ displaystyle x v X}$ . Protože tyto prvky generují ${ displaystyle [Z, X]}$ z toho usuzujeme ${ displaystyle [Z, X] subseteq mathbf {C} _ {G} (Y)}$ a tudíž ${ displaystyle [Z, X, Y] = 1}$ .