Vektorové pole - Vector field

Část vektorového pole (siny, hříchX)

v vektorový počet a fyzika, a vektorové pole je úkolem a vektor ke každému bodu v podmnožině prostor.^[1] Například vektorové pole v rovině lze vizualizovat jako soubor šipek s danou velikostí a směrem, každý připojený k bodu v rovině. Vektorová pole se často používají k modelování, například rychlosti a směru pohybující se tekutiny v prostoru nebo síly a směru některých platnost, tak jako magnetický nebo gravitační síla, jak se mění z jednoho bodu do druhého.

Prvky diferenciální a integrální počet přirozeně rozšířit na vektorová pole. Když představuje vektorové pole platnost, linka integrální vektorového pole představuje práce provedeno silou pohybující se po dráze a podle této interpretace uchování energie je vystaven jako zvláštní případ základní věta o počtu. Vektorová pole lze užitečně považovat za představující rychlost pohybujícího se toku v prostoru a tato fyzická intuice vede k představám, jako je divergence (což představuje rychlost změny objemu toku) a kučera (což představuje rotaci toku).

V souřadnicích vektorové pole na doméně v n-dimenzionální Euklidovský prostor lze reprezentovat jako a funkce s vektorovou hodnotou který sdružuje n-tuple reálných čísel do každého bodu domény. Tato reprezentace vektorového pole závisí na souřadnicovém systému a je dobře definovaná transformační zákon při přechodu z jednoho souřadnicového systému do druhého. O vektorových polích se často diskutuje otevřené podmnožiny euklidovského prostoru, ale dávají smysl i dalším podmnožinám, jako je povrchy, kde spojují šipku tečnou k povrchu v každém bodě (a tečný vektor ).

Obecněji jsou vektorová pole definována na diferencovatelné potrubí, což jsou prostory, které vypadají jako euklidovský prostor v malém měřítku, ale mohou mít složitější strukturu ve větších měřítcích. V tomto nastavení poskytuje vektorové pole tečný vektor v každém bodě potrubí (tj. A sekce z tečný svazek do potrubí). Vektorová pole jsou jeden druh tenzorové pole.

Definice

Vektorová pole na podmnožinách euklidovského prostoru

Dvě reprezentace stejného vektorového pole: proti(X, y) = −r. Šipky zobrazují pole v diskrétních bodech, ale pole existuje všude.

Vzhledem k podmnožině $S$ v $R n$ , a vektorové pole je reprezentován a funkce s vektorovou hodnotou $PROTI : S \to R n$ ve standardních kartézských souřadnicích $(X 1, \dots, X n)$ . Pokud každá složka $PROTI$ je tedy spojitý $PROTI$ je spojité vektorové pole a obecněji $PROTI$ je $C k$ vektorové pole, pokud každá složka $PROTI$ je $k$ krát průběžně diferencovatelné.

Vektorové pole lze vizualizovat jako přiřazení vektoru k jednotlivým bodům v rámci n-rozměrný prostor.^[1]

Vzhledem k tomu dva $C k$ -vektorová pole $PROTI$ , $Ž$ definováno dne $S$ a skutečnou hodnotu $C k$ -funkce $F$ definováno dne $S$ , dvě operace skalární násobení a sčítání vektorů

{ displaystyle (fV) (p): = f (p) V (p)}

{ displaystyle (V + W) (p): = V (p) + W (p)}

definovat modul z $C k$ -vektorová pole nad prsten z $C k$ -funkce, kde je multiplikace funkcí definována bodově (proto je komutativní s tím, že multiplikativní identita je $F id (str) := 1$ ).

Zákon o transformaci souřadnic

Ve fyzice, a vektor se navíc vyznačuje tím, jak se jeho souřadnice mění, když jeden měří stejný vektor vzhledem k jinému souřadnicovému systému pozadí. The transformační vlastnosti vektorů rozlišit vektor jako geometricky odlišnou entitu od jednoduchého seznamu skalárů nebo od a covector.

Předpokládejme tedy $(X 1, \dots, X n)$ je výběr kartézských souřadnic, z hlediska kterých jsou složky vektoru $PROTI$ jsou

{ displaystyle V_ {x} = (V_ {1, x}, tečky, V_ {n, x})}

a předpokládejme to $(y 1, \dots, y n)$ jsou $n$ funkce $X i$ definování jiného souřadnicového systému. Pak komponenty vektoru $PROTI$ v nových souřadnicích jsou vyžadovány ke splnění transformačního zákona

{ displaystyle V_ {i, y} = součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné y_ {i}} { částečné x_ {j}}} V_ {j, x}.}

(1)

Takový transformační zákon se nazývá protikladný. Podobný zákon transformace charakterizuje vektorová pole ve fyzice: konkrétně je vektorové pole specifikací $n$ funkce v každém souřadnicovém systému, na který se vztahuje zákon transformace (1) týkající se různých souřadnicových systémů.

Vektorová pole jsou tedy v kontrastu s skalární pole, které spojují číslo nebo skalární do každého bodu v prostoru a jsou také v kontrastu s jednoduchými seznamy skalárních polí, která se při změnách souřadnic netransformují.

Vektorová pole na potrubích

Vektorové pole na a koule

Vzhledem k tomu, diferencovatelné potrubí ${ displaystyle M}$ , a vektorové pole na ${ displaystyle M}$ je úkolem a tečný vektor ke každému bodu v ${ displaystyle M}$ .^[2] Přesněji řečeno, vektorové pole ${ displaystyle F}$ je mapování z ${ displaystyle M}$ do tečný svazek ${ displaystyle TM}$ aby ${ displaystyle p circ F}$ je mapování identity kdekoli ${ displaystyle p}$ označuje projekci z ${ displaystyle TM}$ na ${ displaystyle M}$ . Jinými slovy, vektorové pole je a sekce z tečný svazek.

Alternativní definice: Hladké vektorové pole ${ displaystyle X}$ na potrubí ${ displaystyle M}$ je lineární mapa ${ displaystyle X: C ^ { infty} (M) rightarrow C ^ { infty} (M)}$ takhle ${ displaystyle X}$ je derivace: ${ displaystyle X (fg) = fX (g) + X (f) g}$ pro všechny ${ displaystyle f, g v C ^ { infty} (M)}$ .^[3]

Pokud je potrubí ${ displaystyle M}$ je plynulý nebo analytický - to znamená, že změna souřadnic je plynulá (analytická) - pak lze pochopit pojem hladkých (analytických) vektorových polí. Kolekce všech hladkých vektorových polí na plynulém potrubí ${ displaystyle M}$ je často označován ${ displaystyle Gamma (TM)}$ nebo ${ displaystyle C ^ { infty} (M, TM)}$ (zvláště když uvažujeme o vektorových polích jako sekce ); kolekce všech hladkých vektorových polí je také označena ${ displaystyle textstyle { mathfrak {X}} (M)}$ (A fraktur "X").

Příklady

Pole toku kolem letadla je vektorové pole v R³, zde vizualizované bublinami, které následují za zefektivňuje zobrazeno a vír křídel.

Vektorová pole se běžně používají k vytváření vzorů v počítačová grafika. Tady: abstraktní kompozice křivek po vektorovém poli generovaném pomocí OpenSimplex hluk.

Vektorové pole pro pohyb vzduchu na Zemi bude spojovat pro každý bod na povrchu Země vektor s rychlostí a směrem větru pro daný bod. To lze nakreslit pomocí šipek, které představují vítr; délka (velikost ) šipky bude ukazatelem rychlosti větru. Obvykle „vysoko“ barometrický tlak mapa by pak fungovala jako zdroj (šipky směřující pryč) a „nízká“ by byla jímka (šipky směřující k), protože vzduch má tendenci se pohybovat z oblastí vysokého tlaku do oblastí nízkého tlaku.
Rychlost pole pohybu tekutina. V tomto případě a rychlost vektor je spojen s každým bodem v kapalině.
Usměrňuje, čáruje a patlíny jsou 3 typy čar, které lze vytvořit z (časově závislých) vektorových polí. Oni jsou :

pruhy - čára produkovaná částicemi procházejícími určitým pevným bodem v různých časech

pathlines - ukazující cestu, kterou by daná částice (s nulovou hmotností) sledovala.

streamlines (or fieldlines) - cesta částice ovlivněné okamžitým polem (tj. cesta částice, pokud je pole udržováno pevné).

Magnetické pole. Fieldlines lze odhalit pomocí malých žehlička piliny.
Maxwellovy rovnice dovolte nám použít danou sadu počátečních a okrajových podmínek k odvození pro každý bod v Euklidovský prostor, velikost a směr pro platnost zažívá nabitá zkušební částice v tomto bodě; výsledné vektorové pole je elektromagnetické pole.
A gravitační pole generovaný jakýmkoli masivním objektem je také vektorové pole. Například vektory gravitačního pole pro sféricky symetrické těleso by všechny směřovaly ke středu koule s velikostí vektorů snižujících se s rostoucí radiální vzdáleností od těla.

Gradientní pole v euklidovských prostorech

Vektorové pole, které má cirkulaci kolem bodu, nelze zapsat jako přechod funkce.

Vektorová pole lze zkonstruovat z skalární pole za použití spád operátor (označen del: ∇).^[4]

Vektorové pole PROTI definované na otevřené množině S se nazývá a gradientní pole nebo a konzervativní pole pokud existuje funkce se skutečnou hodnotou (skalární pole) F na S takhle

{ displaystyle V = nabla f = { bigg (} { frac { částečné f} { částečné x_ {1}}}, { frac { částečné f} { částečné x_ {2}}}, { frac { částečné f} { částečné x_ {3}}}, tečky, { frac { částečné f} { částečné x_ {n}}} { bigg)}.}

Přidružené tok se nazývá gradientní tok, a používá se v metodě klesání.

The cesta integrální podél libovolného uzavřená křivka y (y(0) = y(1)) v konzervativním poli je nula:

{ displaystyle mast _ { gamma} V ({ boldsymbol {x}}) cdot mathrm {d} { boldsymbol {x}} = mast _ { gamma} nabla f ({ boldsymbol { x}}) cdot mathrm {d} { boldsymbol {x}} = f ( gamma (1)) - f ( gamma (0)).}

Centrální pole v euklidovských prostorech

A C^∞-vektorové pole Rⁿ {0} se nazývá a centrální pole -li

{ displaystyle V (T (p)) = T (V (p)) qquad (T v mathrm {O} (n, mathbf {R}))}

kde O (n, R) je ortogonální skupina. Říkáme, že centrální pole jsou neměnný pod ortogonální transformace kolem 0.

Bod 0 se nazývá centrum pole.

Protože ortogonální transformace jsou vlastně rotace a odrazy, podmínky invariance znamenají, že vektory centrálního pole jsou vždy směrovány k nebo od 0; toto je alternativní (a jednodušší) definice. Centrální pole je vždy gradientové pole, protože jeho definování na jedné poloosě a integrace dává antigradient.

Operace s vektorovými poli

Čára integrální

Běžnou technikou ve fyzice je integrace vektorového pole podél a křivka, nazývané také určování jeho linka integrální. Intuitivně se jedná o shrnutí všech vektorových komponent v souladu s tečnami ke křivce, vyjádřenými jako jejich skalární součiny. Například, vzhledem k částice v silovém poli (např. Gravitaci), kde každý vektor v určitém bodě v prostoru představuje sílu působící tam na částici, je čára integrální podél určité dráhy prací vykonanou na částice, když se pohybuje po této cestě. Intuitivně je to součet skalárních součinů vektoru síly a malého tečnového vektoru v každém bodě podél křivky.

Řádkový integrál je konstruován analogicky k Riemannův integrál a existuje, pokud je křivka opravitelná (má konečnou délku) a vektorové pole je spojité.

Vzhledem k tomu, vektorové pole $PROTI$ a křivka $y$ , parametrizováno podle $t$ v $[A, b]$ (kde $A$ a $b$ jsou reálná čísla ), integrál úsečky je definován jako

{ displaystyle int _ { gamma} V ( mathbf {r}) cdot mathrm {d} mathbf {r} = int _ {a} ^ {b} V ( gamma (t)) ; gamma , '(t) ; mathrm {d} t.}

Divergence

The divergence vektorového pole v euklidovském prostoru je funkce (nebo skalární pole). Ve třech rozměrech je divergence definována

{ displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = nabla cdot mathbf {F} = { frac { částečný F_ {1}} { částečný x}} + { frac { částečný F_ { 2}} { částečné y}} + { frac { částečné F_ {3}} { částečné z}},}

se zjevným zobecněním na libovolné rozměry. Divergence v bodě představuje míru, do jaké je malý objem kolem bodu zdrojem nebo jímkou pro vektorový tok, což je výsledek, který je přesný věta o divergenci.

Divergenci lze také definovat na a Riemannovo potrubí, tj. potrubí s a Riemannova metrika který měří délku vektorů.

Curl ve třech rozměrech

The kučera je operace, která vezme vektorové pole a vytvoří další vektorové pole. Zvlnění je definováno pouze ve třech rozměrech, ale některé vlastnosti zvlnění lze pomocí vnější derivace. Ve třech rozměrech je definován

{ displaystyle operatorname {curl} , mathbf {F} = nabla times mathbf {F} = left ({ frac { částečné F_ {3}} { částečné y}} - { frac { částečné F_ {2}} { částečné z}} pravé) mathbf {e} _ {1} - levé ({ frac { částečné F_ {3}} { částečné x}} - { frac { částečné F_ {1}} { částečné z}} pravé) mathbf {e} _ {2} + levé ({ frac { částečné F_ {2}} { částečné x}} - { frac { částečné F_ {1}} { částečné y}} vpravo) mathbf {e} _ {3}.}

Zvlnění měří hustotu moment hybnosti vektorového toku v bodě, tj. množství, do kterého tok cirkuluje kolem pevné osy. Tento intuitivní popis je přesný Stokesova věta.

Index vektorového pole

Index vektorového pole je celé číslo, které pomáhá popsat chování vektorového pole kolem izolované nuly (tj. Izolovaná singularita pole). V rovině má index hodnotu -1 při sedlové singularitě, ale +1 při zdrojové nebo klesající singularitě.

Nechť je rozměr potrubí, na kterém je definováno vektorové pole n. Vezměte malou kouli S kolem nuly, aby ve vnitřku S neležely žádné další nuly. Mapa z této koule do jednotkové koule dimenzí n - 1 lze zkonstruovat vydělením každého vektoru na této kouli jeho délkou, aby vytvořil vektor o jednotkové délce, což je bod na jednotkové kouli S^n-1. To definuje spojitou mapu od S do S.^n-1. Index vektorového pole v bodě je stupeň této mapy. Je možné ukázat, že toto celé číslo nezávisí na volbě S, a proto závisí pouze na samotném vektorovém poli.

Index vektorového pole jako celek je definován, když má jen konečný počet nul. V tomto případě jsou všechny nuly izolované a index vektorového pole je definován jako součet indexů u všech nul.

Index není definován v žádném jiném než singulárním bodě (tj. V bodě, kde je vektor nenulový). rovná se +1 kolem zdroje a obecněji se rovná (-1)^k kolem sedla, které má k smluvní rozměry a n-k rozšiřující se rozměry. Pro obyčejnou (2-dimenzionální) kouli v trojrozměrném prostoru lze ukázat, že index libovolného vektorového pole na kouli musí být 2. To ukazuje, že každé takové vektorové pole musí mít nulu. To znamená teorém o chlupaté kouli, který uvádí, že pokud je vektor v R³ je přiřazen každému bodu jednotkové koule S² spojitým způsobem, pak je nemožné „česat chloupky naplocho“, tj. volit vektory kontinuálně tak, aby byly všechny nenulové a tečny k S².

Pro vektorové pole na kompaktním potrubí s konečným počtem nul, je Poincaré-Hopfova věta uvádí, že index vektorového pole se rovná Eulerova charakteristika potrubí.

Fyzická intuice

Magnetický siločáry železné tyče (magnetický dipól )

Michael Faraday, v jeho pojetí siločáry, zdůraznil, že pole sám by měl být předmětem studia, kterým se stal v celé fyzice v podobě teorie pole.

Kromě magnetického pole zahrnují další jevy, které byly modelovány Faradayem, také elektrické pole a světelné pole.

Průtokové křivky

Zvažte tok tekutiny oblastí vesmíru. V kterémkoli daném okamžiku má jakýkoli bod kapaliny s ním spojenou určitou rychlost; tedy existuje vektorové pole spojené s jakýmkoli tokem. Rovněž platí obráceně: je možné přidružit tok k vektorovému poli, které má toto vektorové pole jako svou rychlost.

Vzhledem k tomu, vektorové pole PROTI definováno dne S, jeden definuje křivky γ (t) zapnuto S takové, že pro každého t v intervalu Já

{ displaystyle gamma '(t) = V ( gamma (t)) ,.}

Podle Picard – Lindelöfova věta, pokud PROTI je Lipschitz kontinuální tady je unikátní C¹-křivka γ_X pro každý bod X v S takže pro některé ε> 0

{ displaystyle gamma _ {x} (0) = x ,}

{ displaystyle gamma '_ {x} (t) = V ( gamma _ {x} (t)) qquad forall t in (- varepsilon, + varepsilon) podmnožina mathbf {R}. }

Křivky γ_X jsou nazývány integrální křivky nebo trajektorie (nebo méně často čáry toku) vektorového pole PROTI a oddíl S do tříd ekvivalence. Není vždy možné prodloužit interval (−ε, + ε) na celek řádek skutečných čísel. Tok může například dosáhnout okraje S v konečném čase. Ve dvou nebo třech dimenzích lze vizualizovat vektorové pole tak, že vznikne a tok na S. Pokud do tohoto toku v určitém bodě upustíme částici str bude se pohybovat po křivce γ_str v toku v závislosti na počátečním bodě str. Li str je stacionární bod PROTI (tj. vektorové pole se rovná nulovému vektoru v bodě str), pak částice zůstane na str.

Typické aplikace jsou cesta v tekutina, geodetický tok, a jednoparametrické podskupiny a exponenciální mapa v Lež skupiny.

Kompletní vektorová pole

Podle definice se nazývá vektorové pole kompletní pokud všechny jeho tokové křivky existují po celou dobu.^[5] Zejména, kompaktně podporováno vektorová pole na potrubí jsou úplná. Li ${ displaystyle X}$ je kompletní vektorové pole na ${ displaystyle M}$ , pak skupina s jedním parametrem z difeomorfismy generovaný tokem podél ${ displaystyle X}$ existuje po celou dobu. Na kompaktním rozdělovači bez ohraničení je každé hladké vektorové pole kompletní. Příklad neúplný vektorové pole ${ displaystyle V}$ na skutečné linii ${ displaystyle mathbb {R}}$ darováno ${ displaystyle V (x) = x ^ {2}}$ . Pro, diferenciální rovnice ${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = x ^ {2}}$ , s počátečním stavem ${ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ , má jako své jedinečné řešení ${ displaystyle x (t) = { frac {x_ {0}} {1-tx_ {0}}}}$ -li ${ displaystyle x_ {0} neq 0}$ (a ${ displaystyle x (t) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {R}}$ -li ${ displaystyle x_ {0} = 0}$ ). Proto pro ${ displaystyle x_ {0} neq 0}$ , ${ displaystyle x (t)}$ není definováno v ${ displaystyle t = { frac {1} {x_ {0}}}}$ takže nelze definovat pro všechny hodnoty ${ displaystyle t}$ .

f-příbuznost

Vzhledem k tomu, plynulá funkce mezi rozdělovači, F : M → N, derivát je indukovaná mapa na tečné svazky, F_* : TM → TN. Vzhledem k tomu, vektorová pole PROTI : M → TM a Ž : N → TN, říkáme to Ž je F- související s PROTI pokud rovnice Ž ∘ F = F_∗ ∘ PROTI drží.

Li PROTI_i je F- související s Ž_i, i = 1, 2, pak Ležící závorka [PROTI₁, PROTI₂] je F- související s [Ž₁, Ž₂].

Zobecnění

Nahrazování vektorů pomocí str-vektory (str(vnější síla vektorů) str-vektorová pole; přičemž dvojí prostor a výnosy vnějších sil rozdíl k-formuláře a kombinace těchto výtěžků obecně tenzorová pole.

Algebraicky lze vektorová pole charakterizovat jako derivace algebry hladkých funkcí na potrubí, což vede k definování vektorového pole na komutativní algebře jako derivaci algebry, která je vyvinuta v teorii diferenciální počet přes komutativní algebry.

Viz také

Reference

^ ^A ^b Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). Vektorová analýza versus vektorový počet. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
^ Tu, Loring W. (2010). "Vektorová pole". Úvod do rozdělovačů. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.
^ Lerman, Eugene (19. srpna 2011). „Úvod do diferenciální geometrie“ (PDF). Definice 3.23.
^ Dawber, P.G. (1987). Vektory a vektorové operátory. CRC Press. p. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.
^ Sharpe, R. (1997). Diferenciální geometrie. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

Bibliografie

Hubbard, J. H.; Hubbard, B. B. (1999). Vektorový počet, lineární algebra a diferenciální formy. Jednotný přístup. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
Warner, Frank (1983) [1971]. Základy rozlišitelných potrubí a Lieových skupin. New York-Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
Boothby, William (1986). Úvod do diferencovatelných potrubí a Riemannovy geometrie. Čistá a aplikovaná matematika, svazek 120 (druhé vydání). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

externí odkazy

Online editor vektorových polí
"Vektorové pole", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Vektorové pole — Mathworld
Vektorové pole — PlanetMath
Prohlížeč 3D magnetického pole
Vektorové pole a siločáry
Simulace vektorového pole Interaktivní aplikace pro zobrazení účinků vektorových polí

[Galbis-2012-p12-1] A ^b Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). Vektorová analýza versus vektorový počet. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

[2] Tu, Loring W. (2010). "Vektorová pole". Úvod do rozdělovačů. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.

[3] Lerman, Eugene (19. srpna 2011). „Úvod do diferenciální geometrie“ (PDF). Definice 3.23.

[4] Dawber, P.G. (1987). Vektory a vektorové operátory. CRC Press. p. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.

[5] Sharpe, R. (1997). Diferenciální geometrie. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]