Magnetický dipól - Magnetic dipole

The magnetické pole díky přirozeným magnetickým dipólům (vlevo nahoře), magnetické monopoly (vpravo nahoře), an elektrický proud v kruhové smyčce (vlevo dole) nebo v a solenoid (vpravo dole). Všichni vytvářejí stejný profil pole, když je uspořádání nekonečně malé.^[1]

A magnetický dipól je limit buď uzavřené smyčky elektrický proud nebo pár pólů jako velikost^{[je zapotřebí objasnění ]} zdroje se sníží na nulu při zachování magnetický moment konstantní. Jedná se o magnetický analog elektrický dipól, ale analogie není dokonalá. Zejména a magnetický monopol, magnetický analog z elektrický náboj, nebyl nikdy pozorován. Jedna forma magnetického dipólového momentu je navíc spojena se základní kvantovou vlastností - roztočit z elementární částice.

The magnetické pole kolem jakéhokoli magnetického zdroje vypadá čím dál více pole magnetického dipólu, jak se zvyšuje vzdálenost od zdroje.

Vnější magnetické pole produkované magnetickým dipólovým momentem

Elektrostatický analog pro magnetický moment: dva protichůdné náboje oddělené konečnou vzdáleností. Každá šipka představuje směr vektoru pole v daném bodě.

Magnetické pole proudové smyčky. Kroužek představuje aktuální smyčku, která jde na stránku na x a vyjde na tečce.

v klasická fyzika, magnetické pole dipólu se počítá jako limit buď proudové smyčky, nebo dvojice nábojů, jak se zdroj zmenšuje na bod při zachování magnetického momentu m konstantní. Pro aktuální smyčku je tento limit nejsnadněji odvozen pro vektorový potenciál. Mimo zdrojovou oblast je tento potenciál (v SI jednotky )^[2]

${ displaystyle { mathbf {A}} ({ mathbf {r}}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi r ^ {2}}} { frac {{ mathbf { m}} times { mathbf {r}}} {r}} = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} { frac {{ mathbf {m}} times { mathbf {r}}} {r ^ {3}}},}$

s 4π r² je povrch koule o poloměru r;

a hustota magnetického toku (síla B-pole) v teslas je^[2]

${ displaystyle mathbf {B} ({ mathbf {r}}) = nabla times { mathbf {A}} = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} vlevo [ { frac {3 mathbf {r} ( mathbf {m} cdot mathbf {r})} {r ^ {5}}} - { frac { mathbf {m}} {r ^ {3} }}že jo].}$

Ekvivalentně, pokud ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ je jednotkový vektor ve směru ${ displaystyle mathbf {r},}$^[3]

${ displaystyle mathbf {B} ({ mathbf {r}}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} vlevo [{ frac {3 mathbf { hat {r }} ( mathbf {m} cdot mathbf { hat {r}}) - mathbf {m}} {r ^ {3}}} vpravo].}$

Ve sférických souřadnicích s magnetickým momentem vyrovnaným s osou z, pokud použijeme ${ displaystyle mathbf { hat {r}} cos theta - mathbf { hat {z}} = sin theta { boldsymbol { hat { theta}}}}$, pak lze tento vztah vyjádřit jako

${ displaystyle mathbf {B} ({ mathbf {r}}) = { frac { mu _ {0} | mathbf {m} |} {4 pi r ^ {3}}} vlevo ( 2 cos theta , mathbf { hat {r}} + sin theta , { boldsymbol { hat { theta}}} right).}$

Alternativně lze získat skalární potenciál nejprve od limitu magnetického pólu,

${ displaystyle psi ({ mathbf {r}}) = { frac {{ mathbf {m}} cdot { mathbf {r}}} {4 pi r ^ {3}}},}$

a tedy síla magnetického pole (nebo síla H-pole) v ampérové ​​otáčky na metr je

${ displaystyle { mathbf {H}} ({ mathbf {r}}) = - nabla psi = { frac {1} {4 pi}} left [{ frac {3 mathbf { hat {r}} ( mathbf {m} cdot mathbf { hat {r}}) - mathbf {m}} {r ^ {3}}} right] = { frac { mathbf {B }} { mu _ {0}}}.}$

Magnetické pole je symetrické při rotaci kolem osy magnetického momentu.

Vnitřní magnetické pole dipólu

Dva modely pro dipól (proudová smyčka a magnetické póly) poskytují stejné předpovědi pro magnetické pole daleko od zdroje. Uvnitř zdrojové oblasti však dávají různé předpovědi. Magnetické pole mezi póly je v opačném směru než magnetický moment (který směřuje od záporného náboje ke kladnému náboji), zatímco uvnitř proudové smyčky je ve stejném směru (viz obrázek vpravo). Je zřejmé, že limity těchto polí se také musí lišit, protože zdroje se zmenšují na nulovou velikost. Toto rozlišení je důležité pouze v případě, že se pro výpočet polí uvnitř magnetického materiálu použije limit dipólu.

Pokud se magnetický dipól vytvoří zmenšením a zmenšením proudové smyčky, ale udržením konstantního součinu proudu a plochy, bude mezní pole

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} vlevo [{ frac {3 mathbf { hat {r}} ( mathbf { hat {r}} cdot mathbf {m}) - mathbf {m}} {| mathbf {r} | ^ {3}}} + { frac {8 pi} {3 }} mathbf {m} delta ( mathbf {r}) vpravo],}$

kde δ(r) je Diracova delta funkce ve třech rozměrech. Na rozdíl od výrazů v předchozí části je tento limit správný pro vnitřní pole dipólu.

Je-li magnetický dipól vytvořen převzetím „severního pólu“ a „jižního pólu“, jejich přiblížením a přiblížením k sobě, ale udržením součinu náboje magnetického pólu a vzdálenosti konstantní, je mezní pole

${ displaystyle mathbf {H} ( mathbf {r}) = { frac {1} {4 pi}} vlevo [{ frac {3 mathbf { hat {r}} ( mathbf { hat {r}} cdot mathbf {m}) - mathbf {m}} {| mathbf {r} | ^ {3}}} - { frac {4 pi} {3}} mathbf { m} delta ( mathbf {r}) vpravo].}$

Tato pole souvisí s B = μ₀(H + M), kde

${ displaystyle mathbf {M} ( mathbf {r}) = mathbf {m} delta ( mathbf {r})}$

je magnetizace.

Síly mezi dvěma magnetickými dipóly

Síla F vynaloženo jedním dipólovým momentem m₁ na jiném m₂ odděleny v prostoru vektorem r lze vypočítat pomocí:^[4]

${ displaystyle mathbf {F} = nabla left ( mathbf {m} _ {2} cdot mathbf {B} _ {1} right),}$

nebo ^[5][6]

${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {r}, mathbf {m} _ {1}, mathbf {m} _ {2}) = { dfrac {3 mu _ {0}} {4 pi r ^ {5}}} left [( mathbf {m} _ {1} cdot mathbf {r}) mathbf {m} _ {2} + ( mathbf {m} _ {2} cdot mathbf {r}) mathbf {m} _ {1} + ( mathbf {m} _ {1} cdot mathbf {m} _ {2}) mathbf {r} - { dfrac { 5 ( mathbf {m} _ {1} cdot mathbf {r}) ( mathbf {m} _ {2} cdot mathbf {r})} {r ^ {2}}} mathbf {r } že jo],}$

kde r je vzdálenost mezi dipóly. Síla působící na m₁ je v opačném směru.

Točivý moment lze získat ze vzorce

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = mathbf {m} _ {2} times mathbf {B} _ {1}.}$

Dipolární pole z konečných zdrojů

The magnetický skalární potenciál ψ produkovaný konečným zdrojem, ale mimo něj, může být reprezentován a vícepólová expanze. Každý člen v expanzi je spojen s charakteristikou okamžik a potenciál mající charakteristickou rychlost poklesu se vzdáleností r ze zdroje. Monopole momenty mají 1/r rychlost poklesu, dipólové momenty mají a 1/r² rychlost, kvadrupólové momenty mají a 1/r³ rychlost atd. Čím vyšší je objednávka, tím rychleji potenciál klesá. Protože termín nejnižšího řádu pozorovaný v magnetických zdrojích je dipolární termín, dominuje na velké vzdálenosti. Proto na velké vzdálenosti vypadá jakýkoli magnetický zdroj jako jeho dipól magnetický moment.

Poznámky

Reference