P-variace - P-variation

v matematická analýza, p-variace je sbírka semináře na funkcích od uspořádané množiny po a metrický prostor, indexováno reálným číslem ${ displaystyle p geq 1}$. p-variace je míra pravidelnosti nebo hladkosti funkce. Konkrétně pokud ${ displaystyle f: I to (M, d)}$, kde ${ displaystyle (M, d)}$ je metrický prostor a Já zcela objednaná sada p-variace je

${ displaystyle | f | _ {p { text {-var}}} = left ( sup _ {D} součet _ {t_ {k} v D} d (f (t_ {k} ), f (t_ {k-1})) ^ {p} vpravo) ^ {1 / p}}$

kde D rozsahy přes všechny konečné oddíly intervalu Já.

The p variace funkce klesá s p. Li F má konečný p-variace a G je α-Hölderova spojitá funkce, tedy ${ displaystyle g circ f}$ má konečný ${ displaystyle { frac {p} { alpha}}}$-variace.

Případ, kdy p je jeden je volán celková variace a jsou volány funkce s konečnou variaci 1 ohraničená variace funkce.

Spojení s Hölderovou normou

Lze interpretovat p-variace jako parametrově nezávislá verze Hölderovy normy, která se vztahuje i na diskontinuální funkce. Li F je α–Hölder kontinuální (tj. jeho α – Hölderova norma je konečná), pak jeho ${ displaystyle { frac {1} { alpha}}}$-variace je konečná. Konkrétně v intervalu [A,b], ${ displaystyle | f | _ {{ frac {1} { alpha}} { text {-var}}} leq | f | _ { alpha} (ba) ^ { alpha} }$. Naopak, pokud F je spojitá a má konečnou hodnotu p-variace existuje reparameterizace, ${ displaystyle tau}$, takový, že ${ displaystyle f circ tau}$ je ${ displaystyle 1 / p-}$Hölder kontinuální.

Li p je méně než q pak prostor funkcí konečné p-variace na kompaktní sadě je nepřetržitě vložena s normou 1 do těch konečných q-variace. Tj. ${ displaystyle | f | _ {q { text {-var}}} leq | f | _ {p { text {-var}}}}$. Na rozdíl od analogické situace s Hölderovými prostory však vložení není kompaktní. Zvažte například skutečné funkce na [0,1] dané vztahem ${ displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$. Jsou rovnoměrně ohraničeny v 1 variantě a konvergují bodově k diskontinuální funkci F ale nejen to není konvergence v p-variace pro všechny p ale také není jednotná konvergence.

Aplikace na integraci Riemann – Stieltjes

Li F a G jsou funkce z [A, b] až ℝ bez běžných diskontinuit as F mít konečnou p-variace a G mít konečnou q-variace, s ${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}}> 1}$ pak Riemann – Stieltjes Integral

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x): = lim _ {| D | až 0} součet _ {t_ {k} v D} f ( t_ {k}) [g (t_ {k + 1}) - g ({t_ {k}})]}$

je dobře definovaný. Tento integrál je znám jako Mladý integrál protože to pochází z Mladý (1936).^[1] Hodnota tohoto definitivního integrálu je omezena Young-Loève odhadem následovně

${ displaystyle left | int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x) -f ( xi) [g (b) -g (a)] doprava | leq C , | f | _ {p { text {-var}}} | , g | _ {q { text {-var}}}}$

kde C je konstanta, na které záleží pouze p a q a ξ je libovolné číslo mezi A a b.^[2]Li F a G jsou spojité, neurčitý integrál ${ displaystyle F (w) = int _ {a} ^ {w} f (x) , dg (x)}$ je spojitá funkce s konečnými q-variace: Pokud A ≤ s ≤ t ≤ b pak ${ displaystyle | F | _ {q { text {-var}}; [s, t]}}$, své q-variace na [s,t], je ohraničen ${ displaystyle C | g | _ {q { text {-var}}; [s, t]} ( | f | _ {p { text {-var}}; [s, t] } + | f | _ { infty; [s, t]}) leq 2C | g | _ {q { text {-var}}; [s, t]} ( | f | _ {p { text {-var}}; [a, b]} + f (a))}$kde C je konstanta, na které záleží pouze p a q.^[3]

Mladé diferenciální rovnice

Funkce od ℝ^d na E × d skutečné matice se nazývá ℝ^E-hodnota jednoho formuláře na ℝ^d.

Li F je Lipschitzův spojitý ℝ^E-hodnota jednoho formuláře na ℝ^d, a X je spojitá funkce z intervalu [A, b] až ℝ^d s konečnou p-variace s p méně než 2, pak integrál z F na X, ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (X (t)) , dX (t)}$, lze vypočítat, protože každá složka F(X(t)) bude cesta konečné p-variace a integrál je součet konečně mnoha Youngových integrálů. Poskytuje řešení rovnice ${ displaystyle dY = f (X) , dX}$ poháněn cestou X.

Ještě důležitější, pokud F je Lipschitzův spojitý ℝ^E-hodnota jednoho formuláře na ℝ^E, a X je spojitá funkce z intervalu [A, b] až ℝ^d s konečnou p-variace s p méně než 2, pak k ustavení řešení rovnice stačí Youngova integrace ${ displaystyle dY = f (Y) , dX}$ poháněn cestou X.^[4]

Hrubé diferenciální rovnice

Teorie drsné cesty zobecňuje Youngův integrál a Youngovy diferenciální rovnice a velmi využívá koncept p-variace.

Pro Brownův pohyb

p-variace by měla být v kontrastu s kvadratická variace který se používá v stochastická analýza, kde trvá jeden stochastický proces do druhého. Kvadratická variace je definována jako limit, protože oddíl je jemnější, zatímco p-variace je supremum nad všemi oddíly. Kvadratická variace procesu by tedy mohla být menší než jeho 2 variace. Li Ž_t je standard Brownův pohyb dne [0,T] pak s pravděpodobností jedna jeho p-variace je nekonečná pro ${ displaystyle p leq 2}$ a konečný jinak. Kvadratická variace Ž je ${ displaystyle [W] _ {T} = T}$.

Výpočet p-variace pro diskrétní časové řady

Pro diskrétní časovou řadu pozorování X₀,...,X_N je jednoduché vypočítat jeho p-variace se složitostí Ó (N²). Zde je příklad použití C ++ kódu dynamické programování:

dvojnásobek p_var(konst std::vektor<dvojnásobek>& X, dvojnásobek p) {	-li (X.velikost() == 0)		vrátit se 0.0;	std::vektor<dvojnásobek> cum_p_var(X.velikost(), 0.0);   // kumulativní p-variace	pro (size_t n = 1; n < X.velikost(); n++) {		pro (size_t k = 0; k < n; k++) {			cum_p_var[n] = std::max(cum_p_var[n], cum_p_var[k] + std::prášek(std::břišní svaly(X[n] - X[k]), p));		}	}	vrátit se std::prášek(cum_p_var.zadní(), 1./p);}

Pro procesy s hodnotou ℝ existují mnohem efektivnější, ale také složitější algoritmy^[5][6]a pro procesy v libovolných metrických prostorech^[6].

Reference

• Young, L.C. (1936), „Nerovnost Hölderova typu spojená s integrací Stieltjes“, Acta Mathematica, 67 (1): 251–282, doi:10.1007 / bf02401743.

externí odkazy

• Spojité cesty s omezenou variací p Fabrice Baudoin
• Na Youngově integrálu, zkrácená variace a drsné cesty Rafał M. Łochowski