Celková variace klesá - Total variation diminishing

v numerické metody, celková odchylka se zmenšuje (TVD) je jistá vlastnost diskretizace schémata použitá k řešení hyperbolické parciální diferenciální rovnice. Nejpozoruhodnější aplikace této metody je v výpočetní dynamika tekutin. Koncept TVD představil Ami Harten.^[1]

Modelová rovnice

V systémech popsaných parciální diferenciální rovnice, například následující hyperbolický advekční rovnice,

${displaystyle {frac {částečné u} {částečné t}} + a {frac {částečné u} {částečné x}} = 0,}$

the celková variace (TV) je dáno

${displaystyle TV (u (cdot, t)) = int left | {frac {částečné u} {částečné x}} vpravo | mathrm {d} x,}$

a celková variace pro diskrétní případ je,

${displaystyle TV (u ^ {n}) = TV (u (cdot, t ^ {n})) = součet _ {j} vlevo | u_ {j + 1} ^ {n} -u_ {j} ^ {n } hned |.}$

kde ${displaystyle u_ {j} ^ {n} = u (x_ {j}, t ^ {n})}$.

Říká se, že numerická metoda je celková odchylka klesá (TVD) pokud

${displaystyle TVleft (u ^ {n + 1} ight) leq TVleft (u ^ {n} ight).}$

Vlastnosti

O numerickém schématu se říká, že zachovává monotónnost, pokud jsou zachovány následující vlastnosti:

• Li ${displaystyle u ^ {n}}$ se monotónně zvětšuje (nebo zmenšuje) v prostoru, tak to také je ${displaystyle u ^ {n + 1}}$.

Harten 1983 prokázal následující vlastnosti pro numerické schéma,

• A monotónní schéma je TVD a
• Schéma TVD je monotónnost zachování.

Aplikace v CFD

v Výpočetní dynamika tekutin „Je použito schéma TVD k zachycení ostřejších předpovědí rázů bez jakýchkoli zavádějících oscilací při změně proměnné pole“${displaystyle phi}$”Je přerušovaný. Chcete-li zachytit variaci, jemné mřížky (${displaystyle Delta x}$ jsou velmi malé) a výpočet se stává těžkým, a proto neekonomickým. Použití hrubých mřížek s centrální rozdílové schéma, schéma proti větru, hybridní rozdílové schéma, a schéma mocenského práva dává předpovědi falešných šoků. Schéma TVD umožňuje ostřejší předpovědi šoků na hrubých mřížkách, což šetří výpočetní čas a protože schéma zachovává monotónnost, nejsou v řešení žádné rušivé oscilace.

Diskretizace

Vezměme si ustálenou jednodimenzionální rovnici konvekční difúze,

${displaystyle abla cdot (ho mathbf {u} phi), = abla cdot (Gamma abla phi) + S_ {phi};}$,

kde ${displaystyle ho}$ je hustota, ${displaystyle mathbf {u}}$ je vektor rychlosti, ${displaystyle phi}$ je přepravovaný majetek, ${displaystyle Gamma}$ je koeficient difúze a ${displaystyle S_ {phi}}$ je zdrojový termín odpovědný za generování nemovitosti ${displaystyle phi}$.

Vytvoření rovnováhy toku této vlastnosti o regulačním objemu, který dostaneme,

${displaystyle int _ {A} mathbf {n} cdot (ho mathbf {u} phi), mathrm {d} A = int _ {A} mathbf {n} cdot (Gamma abla phi), mathrm {d} A + int _ {CV} S_ {phi}, mathrm {d} V}$ ${displaystyle;}$

Tady ${displaystyle mathbf {n}}$ je kolmý k povrchu řídicího objemu.

Ignorování zdrojového členu se rovnice dále redukuje na:

${displaystyle (ho mathbf {u} phi A) _ {r} - (ho mathbf {u} phi A) _ {l} = vlevo (Gamma A {frac {částečný phi} {částečný x}} večer) _ {r } -leva (Gamma A {frac {částečná phi} {částečná x}} noc) _ {l}}$

Za předpokladu

${displaystyle {frac {částečné phi} {částečné x}} = {frac {delta phi} {delta x}}}$ a ${displaystyle A_ {r} = A_ {l},}$

Rovnice se redukuje na

${displaystyle (ho mathbf {u} phi) _ {r} - (ho mathbf {u} phi) _ {l}, = left ({frac {Gamma} {delta x}} delta phi ight) _ {r} - vlevo ({frac {Gamma} {delta x}} delta phi ight) _ {l}.}$

Říci,

${displaystyle F_ {r} = (ho mathbf {u}) _ {r}; qquad F_ {l} = (ho mathbf {u}) _ {l};}$

${displaystyle D_ {l} = left ({frac {Gamma} {delta x}} ight) _ {l}; qquad D_ {r} = left ({frac {Gamma} {delta x}} ight) _ {r} ;}$

Z obrázku:

${displaystyle delta phi _ {r} = phi _ {R} -phi _ {P}; qquad delta x_ {r} = x_ {PR};}$

${displaystyle delta phi _ {l} = phi _ {P} -phi _ {L}; qquad delta x_ {l} = x_ {LP};}$

Rovnice se stává,

Také rovnice spojitosti musí být pro tento problém splněna v jedné ze svých ekvivalentních forem:

${displaystyle (ho mathbf {u}) _ {r} - (ho mathbf {u}) _ {l}, = 0 Longleftrightarrow F_ {r} -F_ {l} = 0 Longleftrightarrow F_ {r} = F_ {l} = F.}$

Za předpokladu difuzivita je homogenní vlastnost a můžeme říci stejné rozteče mřížek

${displaystyle Gamma _ {l} = Gamma _ {r}; qquad delta x_ {LP} = delta x_ {PR} = delta x,}$

dostaneme

Rovnice se dále redukuje naRovnici výše lze zapsat jakokde ${displaystyle P}$ je Číslo Péclet

${displaystyle P = {frac {F} {D}} = {frac {ho mathbf {u} delta x} {Gamma}}.}$

Schéma TVD

Schéma snižující celkovou variabilitu^[2][3] vytváří předpoklad pro hodnoty ${displaystyle phi _ {r}}$ a ${displaystyle phi _ {l}}$ nahradit v diskretizované rovnici takto:

${displaystyle phi _ {r} cdot P = {frac {1} {2}} (P + | P |) [f_ {r} ^ {+} phi _ {R} + (1-f_ {r} ^ {+ }) phi _ {L}] + {frac {1} {2}} (P- | P |) [f_ {r} ^ {-} phi _ {P} + (1-f_ {r} ^ {- }) phi _ {RR}]}$

${displaystyle phi _ {l} cdot P = {frac {1} {2}} (P + | P |) [f_ {l} ^ {+} phi _ {P} + (1-f_ {l} ^ {+ }) phi _ {LL}] + {frac {1} {2}} (P- | P |) [f_ {l} ^ {-} phi _ {L} + (1-f_ {l} ^ {- }) phi _ {R}]}$

Kde ${displaystyle P}$ je číslo Péclet a ${displaystyle f}$ je funkce vážení, ze které se má určit,

${displaystyle f = fleft ({frac {phi _ {U} -phi _ {UU}} {phi _ {D} -phi _ {UU}}} přesně)}$

kde ${displaystyle U}$ odkazuje na proti proudu, ${displaystyle UU}$ odkazuje na proti proudu od ${displaystyle U}$ a ${displaystyle D}$ označuje navazující.

Všimněte si, že ${displaystyle f ^ {+}}$ je funkce vážení, když je průtok v kladném směru (tj. zleva doprava) a ${displaystyle f ^ {-}}$ je funkce vážení, když je průtok v záporném směru zprava doleva. Tak,

${displaystyle {egin {aligned} & f_ {r} ^ {+} {ext {je funkce}} vlevo ({dfrac {phi _ {P} -phi _ {L}} {phi _ {R} -phi _ {L}}} ight), [10pt] & f_ {r} ^ {-} {ext {je funkce}} vlevo ({dfrac {phi _ {R} -phi _ {RR}} {phi _ { P} -phi _ {RR}}} ight), [10pt] & f_ {l} ^ {+} {ext {je funkce}} vlevo ({dfrac {phi _ {L} -phi _ {LL} } {phi _ {P} -phi _ {LL}}} ight), {ext {and}} [10pt] & f_ {l} ^ {-} {ext {je funkcí}} vlevo ({dfrac { phi _ {P} -phi _ {R}} {phi _ {L} -phi _ {R}}} ight) .end {zarovnáno}}}$

Pokud je tok v pozitivním směru, pak Pécletovo číslo ${displaystyle P}$ je pozitivní a termín ${displaystyle (P- | P |) = 0}$, takže funkce ${displaystyle f ^ {-}}$ nebude hrát žádnou roli za předpokladu ${displaystyle phi _ {r}}$ a ${displaystyle phi _ {l}}$. Podobně, když je tok v záporném směru, ${displaystyle P}$ je negativní a výraz ${displaystyle (P + | P |) = 0}$, takže funkce ${displaystyle f ^ {+}}$ nebude hrát žádnou roli za předpokladu ${displaystyle phi _ {r}}$ a ${displaystyle phi _ {r}}$.

Proto bere v úvahu hodnoty vlastností v závislosti na směru toku a pomocí vážených funkcí se snaží dosáhnout monotónnosti v roztoku, čímž produkuje výsledky bez rušivých rázů.

Omezení

Monotónní schémata jsou atraktivní pro řešení technických a vědeckých problémů, protože neprodukují nefyzická řešení. Godunovova věta dokazuje, že lineární schémata, která zachovávají monotónnost, jsou nanejvýš přesná pouze prvního řádu. Lineární schémata vyššího řádu, i když přesnější pro plynulá řešení, nejsou TVD a mají tendenci zavádět rušivé oscilace (kroucení), kde vznikají diskontinuity nebo šoky. K překonání těchto nevýhod, různé vysoké rozlišení, nelineární byly vyvinuty techniky, často využívající omezovače toku / sklonu.

Viz také

• Omezovače toku
• Godunovova věta
• Schéma s vysokým rozlišením
• MUSCL schéma
• Sergej K. Godunov
• Celková variace

Reference

Další čtení

• Hirsch, C. (1990), Numerický výpočet interních a externích toků, Sv. 2, Wiley.
• Laney, C. B. (1998), Výpočetní dynamika plynu, Cambridge University Press.
• Toro, E. F. (1999), Riemannovy řešení a numerické metody pro dynamiku tekutin, Springer-Verlag.
• Tannehill, J. C., Anderson, D. A. a Pletcher, R. H. (1997), Výpočetní mechanika tekutin a přenos tepla, 2. vyd., Taylor & Francis.
• Wesseling, P. (2001), Principy výpočetní dynamiky tekutin, Springer-Verlag.
• Anil W. Date Úvod do výpočetní dynamiky tekutin, Cambridge University Press.