Von Staudt kuželovitý - Von Staudt conic - Wikipedia

v projektivní geometrie, a von Staudt kuželovitý je množina bodů definovaná všemi absolutními body polarity, která má absolutní body. V skutečná projektivní rovina kónický von Staudt je kuželovitý řez v obvyklém smyslu. Obecněji projektivní roviny není tomu tak vždy. Karl Georg Christian von Staudt zavedl tuto definici v Geometrie der Lage (1847) jako součást svého pokusu odstranit všechny metrické pojmy z projektivní geometrie.

Polarita

A polarita, π, projektivní roviny, P, je involutory (tj. pořadí dva) bijekce mezi body a přímkami P který zachovává vztah výskytu. Polarita tedy souvisí s bodem Q s čárou q a následující Gergonne, q se nazývá polární z Q a Q the pól z q.[1] An absolutní bod (čára) polarity je ten, který dopadá na svůj polární (pól).[2][3]

Polarita může, ale nemusí mít absolutní body. Polarita s absolutními body se nazývá a hyperbolická polarita a jeden bez absolutních bodů se nazývá an eliptická polarita.[4] V složitá projektivní rovina všechny polarity jsou hyperbolické, ale v skutečná projektivní rovina jen některé jsou.[4]

Klasifikace polarit nad libovolnými poli vyplývá z klasifikace sesquilineárních forem daných Birkhoffem a von Neumannem.[5] Rovněž se nazývají ortogonální polarity odpovídající symetrickým bilineárním formám běžné polarity a lokus absolutních bodů tvoří nedegenerovaný kuželovitý tvar (množina bodů, jejichž souřadnice uspokojí neredukovatelnou homogenní kvadratickou rovnici), pokud pole nemá charakteristický dva. V charakteristice dva jsou nazývány ortogonální polarity pseudopolarity a v rovině tvoří absolutní body přímku.[6]

Konečné projektivní roviny

Li π je polarita konečné projektivní roviny (která nemusí být desarguesiánská), Pobjednávky n pak počet jeho absolutních bodů (nebo absolutních čar), A(π) darováno:

A(π) = n + 2r√n + 1,

kde r je nezáporné celé číslo.[7]Od té doby A(π) je celé číslo, A(π) = n + 1 -li n není čtverec, a v tomto případě π se nazývá ortogonální polarita.

R. Baer ukázal, že pokud n je liché, absolutní body ortogonální polarity tvoří ovál (to znamená, n + 1 body, žádné tři kolineární ), zatímco pokud n je sudé, absolutní body leží na ne-absolutní přímce.[8]

Stručně řečeno, von Staudtovy kuželosečky nejsou ovály v konečných projektivních rovinách (desarguesiánských či nikoli) sudého řádu.[9][10]

Vztah k jiným typům kuželoseček

Hlavní článek: Nedesarguesovská rovina § kuželosečka

V pappské letadlo (tj. projektivní rovina koordinovaná a pole ), pokud pole nemá charakteristický dvě, von Staudtova kuželovitost je ekvivalentní a Steiner kuželovitý.[11] R. Artzy však ukázal, že tyto dvě definice kuželoseček mohou produkovat neizomorfní objekty v (nekonečném) Mufangová letadla.[12]

Poznámky

  1. ^ Coxeter 1964, str. 60
  2. ^ Garner 1979, str. 132
  3. ^ Coxeter a několik dalších autorů používá tento termín vlastní konjugát místo absolutního.
  4. ^ A b Coxeter 1964, str. 72
  5. ^ Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), „Logika kvantové mechaniky“, Ann. Matematika., 37: 823–843
  6. ^ Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Jednotky v projektivních rovinách, Springer, str. 16–18, ISBN  978-0-387-76364-4
  7. ^ Ball, R.W. (1948), „Duality konečných projektivních rovin“, Duke Mathematical Journal, 15: 929–940, doi:10.1215 / s0012-7094-48-01581-6
  8. ^ Baer, ​​Reinhold (1946), „Polarita v konečných projektivních rovinách“, Bulletin of the American Mathematical Society, 52: 77–93, doi:10.1090 / s0002-9904-1946-08506-7
  9. ^ Garner 1979, str. 133
  10. ^ Dembowski 1968, str. 154–155
  11. ^ Coxeter 1964, str. 80
  12. ^ Artzy, R. (1971), „Kónický y = x2 v Moufang Planes ", Aequationes Mathematicae, 6: 30–35, doi:10.1007 / bf01833234

Reference

Další čtení

  • Ostrom, T.G. (1981), „Conicoids: Conic-like numbers in Non-Pappian Planes“, Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometrie - von Staudtův úhel pohledu, D. Reidel, s. 175–196, ISBN  90-277-1283-2