Twist (matematika) - Twist (mathematics)

V matematice (diferenciální geometrie ) kroutit je rychlost otáčení hladké stuha kolem vesmíru křivka ${ displaystyle X = X (s)}$ , kde ${ displaystyle s}$ je délka oblouku z ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle U = U (s)}$ jednotkový vektor kolmý v každém bodě na ${ displaystyle X}$ . Od stužky ${ displaystyle (X, U)}$ má hrany ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle X '= X + varepsilon U}$ zkroucení (nebo celkový počet zákrutů) ${ displaystyle Tw}$ měří průměrné vinutí křivky ${ displaystyle X '}$ kolem a podél křivky ${ displaystyle X}$ . Podle lásky (1944) je twist definován

{ displaystyle Tw = { dfrac {1} {2 pi}} int left ({ dfrac {dU} {ds}} times U right) cdot { dfrac {dX} {ds}} ds ;,}

kde ${ displaystyle dX / ds}$ je jednotkový tangensový vektor k ${ displaystyle X}$ Celkový počet zákrutů ${ displaystyle Tw}$ lze rozložit (Moffatt & Ricca 1992) na normalizovaná celková torze ${ displaystyle T v [0,1)}$ a vnitřní kroucení ${ displaystyle N in mathbb {Z}}$ tak jako

{ displaystyle Tw = { dfrac {1} {2 pi}} int tau ; ds + { dfrac { left [ Theta right] _ {X}} {2 pi}} = T + N ;,}

kde ${ displaystyle tau = tau (s)}$ je kroucení prostorové křivky ${ displaystyle X}$ , a ${ displaystyle left [ Theta right] _ {X}}$ označuje celkový úhel rotace ${ displaystyle U}$ podél ${ displaystyle X}$ . Ani ${ displaystyle N}$ ani ${ displaystyle Tw}$ jsou nezávislé na poli pásu karet ${ displaystyle U}$ . Místo toho pouze normalizovaná torze ${ displaystyle T}$ je invariant křivky ${ displaystyle X}$ (Banchoff & White 1975).

Když je pás deformován tak, aby prošel skrz inflexní stav (tj. ${ displaystyle X}$ má inflexní bod ) torze se stává singulární, ale její singularita je integrovatelná (Moffatt & Ricca 1992) a ${ displaystyle Tw}$ zůstává kontinuální. Toto chování má mnoho důležitých důsledků pro energetické úvahy v mnoha oblastech vědy.

Spolu s svíjet se ${ displaystyle Wr}$ z ${ displaystyle X}$ , twist je geometrická veličina, která hraje důležitou roli při aplikaci vzorce Călugăreanu – White – Fuller ${ displaystyle Lk = Wr + Tw}$ v dynamika topologické tekutiny (pro jeho blízký vztah k kinetický a magnetická helicita vektorového pole), teorie fyzických uzlů, a strukturální složitost analýza.

Viz také

Reference

Banchoff, T.F. & White, J.H. (1975) Chování celkového zkroucení a spojovacího čísla křivky uzavřeného prostoru při inverzích. Matematika. Scand. 36, 254–262.
Láska, A.E.H. (1944) Pojednání o matematické teorii pružnosti. Dover, 4. vydání, New York.
Moffatt, H.K. & Ricca, R.L. (1992) Helicita a invariant Călugăreanu. Proc. R. Soc. A 439, 411–429.