Pravidelný složitý mnohoúhelník - Regular complex polygon

Tři pohledy na pravidelný komplexní mnohoúhelník ₄{4}₂,

Tento složitý mnohoúhelník má 8 hran (složitých čar), označených jako A..ha 16 vrcholů. Čtyři vrcholy leží v každém okraji a dva okraje se protínají v každém vrcholu. Na levém obrázku nejsou obrysové čtverce prvky polytopu, ale jsou zahrnuty pouze proto, aby pomohly identifikovat vrcholy ležící ve stejné složité linii. Osmiboký obvod levého obrázku není prvkem mnohostěnu, ale je to Petrie polygon.[1] Na prostředním obrázku je každá hrana představována jako skutečná čára a čtyři vrcholy v každé linii jsou jasněji vidět.

Perspektivní skica představující 16 vrcholných bodů jako velké černé tečky a 8 4-hran jako ohraničené čtverce uvnitř každé hrany. Zelená cesta představuje osmiboký obvod obrazu levé ruky.

Složité 1-polytopy zastoupené v Argandovo letadlo jako pravidelné polygony pro str = 2, 3, 4, 5 a 6, s černými vrcholy. Těžiště str vrcholy jsou zobrazeny červeně. Boky polygonů představují jednu aplikaci generátoru symetrie, mapující každý vrchol na další kopii proti směru hodinových ručiček. Tyto polygonální strany nejsou hranovými prvky polytopu, protože složitý 1-polytop nemůže mít žádné hrany (často je komplexní hrana) a obsahuje pouze vrcholové prvky.

v geometrie, a pravidelný komplexní mnohoúhelník je zobecněním a pravidelný mnohoúhelník v skutečný prostor na analogickou strukturu v a komplex Hilbertův prostor, kde je každá skutečná dimenze doprovázena imaginární jeden. Pravidelný mnohoúhelník existuje ve 2 reálných rozměrech, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, zatímco složitý polygon existuje ve dvou komplexních dimenzích, ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$, kterému lze poskytnout skutečná reprezentace ve 4 rozměrech, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$, které pak musí být promítnuty do 2 nebo 3 skutečných rozměrů, aby byly vizualizovány. A složitý mnohoúhelník je zobecněn jako složitý mnohostěn v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$.

Složitý mnohoúhelník lze chápat jako soubor složitých bodů, linií, rovin atd., Kde každý bod je spojnicí více linií, každé linie více rovin atd.

The pravidelné složité polygony byly zcela charakterizovány a lze je popsat pomocí symbolické notace vyvinuté uživatelem Coxeter.

Pravidelné složité polygony

Zatímco 1-polytopes může mít neomezené str, konečné pravidelné komplexní polygony, s výjimkou polygonů s dvojitým hranolem _str{4}₂, jsou omezeny na prvky s 5 hranami (pětiúhelníkové hrany) a nekonečné pravidelné aperiogony zahrnují také prvky se 6 hranami (šestiúhelníkové hrany).

Zápisy

Shephardova upravená Schläfliho notace

Shephard původně vymyslel upravenou formu Schläfliho zápis pro běžné polytopy. Pro mnohoúhelník ohraničený str₁-hrany, s a str₂-nastaví se jako vrcholová figura a celková skupina symetrie řádu G, označujeme mnohoúhelník jako str₁(G)str₂.

Počet vrcholů PROTI je tedy G/str₂ a počet hran E je G/str₁.

Složitý polygon znázorněný výše má osm hranatých hran (str₁= 4) a šestnáct vrcholů (str₂= 2). Z toho můžeme zjistit, že G = 32, což dává upravený Schläfliho symbol 4 (32) 2.

Coxeterova revidovaná upravená Schläfliho notace

Modernější notace _str1{q}_str2 je to kvůli Coxeter,^[2] a je založen na teorii skupin. Jako skupina symetrie je její symbol _str1[q]_str2.

Skupina symetrie _str1[q]_str2 je reprezentován 2 generátory R₁, R.₂, kde: R₁^str₁ = R.₂^str₂ = I. Pokud q je sudé, (R.₂R₁)^q/2 = (R.₁R₂)^q/2. Li q je liché, (R.₂R₁)^(q−1)/2R₂ = (R.₁R₂)^(q−1)/2R₁. Když q je zvláštní, str₁=str₂.

Pro ₄[4]₂ má R.₁⁴ = R.₂² = Já, (R.₂R₁)² = (R.₁R₂)².

Pro ₃[5]₃ má R.₁³ = R.₂³ = Já, (R.₂R₁)²R₂ = (R.₁R₂)²R₁.

Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy

Coxeter také zobecnil použití Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy na složité polytopy, například složitý mnohoúhelník _str{q}_r je reprezentován a ekvivalentní skupina symetrie, _str[q]_r, je kruhový diagram . Uzly str a r představují zrcadla produkující str a r obrázky v letadle. Neoznačené uzly v diagramu mají implicitní 2 štítky. Například skutečný pravidelný mnohoúhelník je ₂{q}₂ nebo {q} nebo .

Jedno omezení, uzly spojené lichými větvovými příkazy musí mít identické pořadí uzlů. Pokud tak neučiní, vytvoří skupina „hvězdné“ polygony s překrývajícími se prvky. Tak a jsou obyčejné je hvězdná.

12 Neredukovatelných Shephardových skupin

12 neredukovatelných Shephardových skupin s jejich indexovými vztahy podskupin.[3]	Podskupiny od <5,3,2>30, <4,3,2>12 a <3,3,2>6
Podskupiny se vztahují odstraněním jednoho odrazu: str[2q]2 --> str[q]str, index 2 a str[4]q --> str[q]str, index q.

_str[4]₂ podskupiny: p = 2,3,4 ...
_str[4]₂ --> [str], index str
_str[4]₂ --> _str[]×_str[], index 2

Coxeter vyjmenoval tento seznam pravidelných komplexních polygonů v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$. Pravidelný složitý mnohoúhelník, _str{q}_r nebo , má str- hrany a r-gonal vrcholové postavy. _str{q}_r je konečný mnohostěn, pokud (str + r)q > pr(q − 2).

Jeho symetrie je psána jako _str[q]_r, nazvaný a Shephardova skupina, analogický k a Skupina coxeterů, a zároveň umožňuje jednotné odrazy.

U nehvězdných skupin pořadí skupiny _str[q]_r lze vypočítat jako ${ displaystyle g = 8 / q cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}$.^[4]

The Číslo coxeteru pro _str[q]_r je ${ displaystyle h = 2 / (1 / p + 2 / q + 1 / r-1)}$, takže skupinové pořadí lze také vypočítat jako ${ displaystyle g = 2h ^ {2} / q}$. Pravidelný složitý mnohoúhelník lze nakreslit v ortogonální projekci pomocí h-gonal symetry.

Řadová řešení 2, která generují složité polygony, jsou:

Skupina	G3 = G (q,1,1)	G2 = G (str,1,2)	G4	G6	G5	G8	G14	G9	G10	G20	G16	G21	G17	G18
	2[q]2, q = 3,4...	str[4]2, str = 2,3...	3[3]3	3[6]2	3[4]3	4[3]4	3[8]2	4[6]2	4[4]3	3[5]3	5[3]5	3[10]2	5[6]2	5[4]3
Objednat	2q	2str2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
h	q	2str	6	12			24			30		60

Vyloučená řešení s lichými q a nerovné str a r jsou: ₆[3]₂, ₆[3]₃, ₉[3]₃, ₁₂[3]₃, ..., ₅[5]₂, ₆[5]₂, ₈[5]₂, ₉[5]₂, ₄[7]₂, ₉[5]₂, ₃[9]₂, a ₃[11]₂.

Jiný celek q s nerovným str a r, vytvořte hvězdné skupiny s překrývajícími se základními doménami: , , , , , a .

Duální polygon _str{q}_r je _r{q}_str. Mnohoúhelník formuláře _str{q}_str je dvojí. Skupiny formuláře _str[2q]₂ mít poloviční symetrii _str[q]_str, takže regulární mnohoúhelník je stejný jako quasiregular . Rovněž pravidelný mnohoúhelník se stejnými objednávkami uzlů, , mít střídal konstrukce , což umožňuje, aby sousední hrany byly ve dvou různých barvách.^[5]

Skupinová objednávka, G, se používá k výpočtu celkového počtu vrcholů a hran. Bude mít G/r vrcholy a G/str hrany. Když str=r, počet vrcholů a hran je stejný. Tato podmínka je vyžadována, když q je zvláštní.

Maticové generátory

Skupina str[q]r, , mohou být reprezentovány dvěma maticemi:^[6]

název	R1	R2
Objednat	str	r
Matice	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 (e ^ {2 pi i / p} -1) k & 1 end {smallmatrix}} vpravo ]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & (e ^ {2 pi i / r} -1) k 0 & e ^ {2 pi i / r} end {smallmatrix}} right]}$

S

${ displaystyle k = { sqrt { frac { cos ({ frac { pi} {p}} - { frac { pi} {r}}) + cos ({ frac {2 pi } {q}})} {2 sin { frac { pi} {p}} sin { frac { pi} {r}}}}}}$

Příklady

název R1 R2 Objednat str q Matice ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {2 pi i / q} end {smallmatrix}} right]}$	název R1 R2 Objednat str 2 Matice ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	název R1 R2 Objednat 3 3 Matice ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} a 0 { frac {-3 + { sqrt {3}} i } {2}} & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & { frac {-3 + { sqrt {3}} i} {2}} 0 & { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} end {smallmatrix}} right]}$
název R1 R2 Objednat 4 4 Matice ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} i & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & i end {smallmatrix}} right]}$	název R1 R2 Objednat 4 2 Matice ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} i & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	název R1 R2 Objednat 3 2 Matice ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} a 0 { frac {-3 + { sqrt {3}} i } {2}} & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & -2 0 & -1 konec {smallmatrix}} right]}$

Výčet pravidelných komplexních polygonů

Coxeter spočítal složité polygony v tabulce III pravidelných komplexních polytopů.^[7]

Skupina	Objednat	Coxeter číslo	Polygon		Vrcholy	Hrany		Poznámky
G(q,q,2) 2[q]2 = [q] q = 2,3,4,...	2q	q	2{q}2		q	q	{}	Nemovitý pravidelné mnohoúhelníky Stejný jako Stejný jako -li q dokonce

Skupina	Objednat	Coxeter číslo	Polygon			Vrcholy	Hrany		Poznámky
G(str,1,2) str[4]2 p = 2,3,4, ...	2str2	2str	str(2str2)2	str{4}2		str2	2str	str{}	stejný jako str{}×str{} nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako str-str duoprism
			2(2str2)str	2{4}str		2str	str2	{}	${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako str-str duopyramid
G (2,1,2) 2[4]2 = [4]	8	4		2{4}2 = {4}		4	4	{}	stejné jako {} × {} nebo Skutečné náměstí
G (3,1,2) 3[4]2	18	6	6(18)2	3{4}2		9	6	3{}	stejný jako 3{}×3{} nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 3-3 duoprism
			2(18)3	2{4}3		6	9	{}	${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 3-3 duopyramid
G (4,1,2) 4[4]2	32	8	8(32)2	4{4}2		16	8	4{}	stejný jako 4{}×4{} nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 4-4 duoprism nebo {4,3,3}
			2(32)4	2{4}4		8	16	{}	${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 4-4 duopyramid nebo {3,3,4}
G (5,1,2) 5[4]2	50	25	5(50)2	5{4}2		25	10	5{}	stejný jako 5{}×5{} nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 5-5 duoprism
			2(50)5	2{4}5		10	25	{}	${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 5-5 duopyramid
G (6,1,2) 6[4]2	72	36	6(72)2	6{4}2		36	12	6{}	stejný jako 6{}×6{} nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 6-6 duoprism
			2(72)6	2{4}6		12	36	{}	${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako 6-6 duopyramid
G4= G (1,1,2) 3[3]3 <2,3,3>	24	6	3(24)3	3{3}3		8	8	3{}	Konfigurace Möbius – Kantor self-dual, stejně jako ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako {3,3,4}
G6 3[6]2	48	12	3(48)2	3{6}2		24	16	3{}	stejný jako
				3{3}2					hvězdný mnohoúhelník
			2(48)3	2{6}3		16	24	{}
				2{3}3					hvězdný mnohoúhelník
G5 3[4]3	72	12	3(72)3	3{4}3		24	24	3{}	self-dual, stejně jako ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako {3,4,3}
G8 4[3]4	96	12	4(96)4	4{3}4		24	24	4{}	self-dual, stejně jako ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako {3,4,3}
G14 3[8]2	144	24	3(144)2	3{8}2		72	48	3{}	stejný jako
				3{8/3}2					hvězdný mnohoúhelník, stejný jako
			2(144)3	2{8}3		48	72	{}
				2{8/3}3					hvězdný mnohoúhelník
G9 4[6]2	192	24	4(192)2	4{6}2		96	48	4{}	stejný jako
			2(192)4	2{6}4		48	96	{}
				4{3}2		96	48	{}	hvězdný mnohoúhelník
				2{3}4		48	96	{}	hvězdný mnohoúhelník
G10 4[4]3	288	24	4(288)3	4{4}3		96	72	4{}
		12		4{8/3}3					hvězdný mnohoúhelník
		24	3(288)4	3{4}4		72	96	3{}
		12		3{8/3}4					hvězdný mnohoúhelník
G20 3[5]3	360	30	3(360)3	3{5}3		120	120	3{}	self-dual, stejně jako ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako {3,3,5}
				3{5/2}3					self-dual, hvězdný polygon
G16 5[3]5	600	30	5(600)5	5{3}5		120	120	5{}	self-dual, stejně jako ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ reprezentace jako {3,3,5}
		10		5{5/2}5					self-dual, hvězdný polygon
G21 3[10]2	720	60	3(720)2	3{10}2		360	240	3{}	stejný jako
				3{5}2					hvězdný mnohoúhelník
				3{10/3}2					hvězdný mnohoúhelník, stejný jako
				3{5/2}2					hvězdný mnohoúhelník
			2(720)3	2{10}3		240	360	{}
				2{5}3					hvězdný mnohoúhelník
				2{10/3}3					hvězdný mnohoúhelník
				2{5/2}3					hvězdný mnohoúhelník
G17 5[6]2	1200	60	5(1200)2	5{6}2		600	240	5{}	stejný jako
		20		5{5}2					hvězdný mnohoúhelník
		20		5{10/3}2					hvězdný mnohoúhelník
		60		5{3}2					hvězdný mnohoúhelník
		60	2(1200)5	2{6}5		240	600	{}
		20		2{5}5					hvězdný mnohoúhelník
		20		2{10/3}5					hvězdný mnohoúhelník
		60		2{3}5					hvězdný mnohoúhelník
G18 5[4]3	1800	60	5(1800)3	5{4}3		600	360	5{}
		15		5{10/3}3					hvězdný mnohoúhelník
		30		5{3}3					hvězdný mnohoúhelník
		30		5{5/2}3					hvězdný mnohoúhelník
		60	3(1800)5	3{4}5		360	600	3{}
		15		3{10/3}5					hvězdný mnohoúhelník
		30		3{3}5					hvězdný mnohoúhelník
		30		3{5/2}5					hvězdný mnohoúhelník

Vizualizace pravidelných komplexních polygonů

2D grafy

Mnohoúhelníky formuláře _str{2r}_q lze zobrazit pomocí q barevné sady str-okraj. Každý str-edge je viděn jako pravidelný mnohoúhelník, zatímco nejsou žádné tváře.

Složité polygony ₂{r}_q

Mnohoúhelníky formuláře ₂{4}_q se nazývají zobecněné ortoplexy. Sdílejí vrcholy s 4D q-q duopyramidy, vrcholy spojené 2 hranami.

• 

  ₂{4}₂, , se 4 vrcholy a 4 hranami

• 

  ₂{4}₃, , se 6 vrcholy a 9 hranami^[8]

• 

  ₂{4}₄, , s 8 vrcholy a 16 hranami

• 

  ₂{4}₅, , s 10 vrcholy a 25 hranami

• 

  ₂{4}₆, , s 12 vrcholy a 36 hranami

• 

  ₂{4}₇, , se 14 vrcholy a 49 hranami

• 

  ₂{4}₈, , s 16 vrcholy a 64 hranami

• 

  ₂{4}₉, , s 18 vrcholy a 81 hranami

• 

  ₂{4}₁₀, , s 20 vrcholy a 100 hranami

Složité polygony _str{4}₂

Mnohoúhelníky formuláře _str{4}₂ se nazývají zobecněné hyperkrychle (čtverce pro mnohoúhelníky). Sdílejí vrcholy s 4D str-str duoprismy, vrcholy spojené p-hranami. Vrcholy jsou nakresleny zeleně a str-hrany jsou kresleny střídavými barvami, červenou a modrou. Perspektiva je mírně zkreslena u lichých dimenzí, aby se posunuly překrývající se vrcholy ze středu.

• 

  ₂{4}₂, nebo , se 4 vrcholy a 4 2 hranami

• 

  ₃{4}₂, nebo , s 9 vrcholy a 6 (trojúhelníkovými) 3 hranami^[9]

• 

  ₄{4}₂, nebo , s 16 vrcholy a 8 (čtvercovými) 4 hranami

• 

  ₅{4}₂, nebo , s 25 vrcholy a 10 (pětiúhelníkovými) 5 hranami

• 

  ₆{4}₂, nebo , s 36 vrcholy a 12 (šestihrannými) 6 hranami

• 

  ₇{4}₂, nebo , se 49 vrcholy a 14 (sedmiúhelníkovými) 7 hranami

• 

  ₈{4}₂, nebo , se 64 vrcholy a 16 (osmihrannými) 8 hranami

• 

  ₉{4}₂, nebo , s 81 vrcholy a 18 (enneagonal) 9 hranami

• 

  ₁₀{4}₂, nebo , se 100 vrcholy a 20 (desetiúhelníkovými) 10 hranami

Složité polygony _str{r}₂

• 

  ₃{6}₂, nebo , s 24 vrcholy v černé barvě a 16 3 hranami obarvenými ve 2 sadách 3 hran v červené a modré barvě^[10]

• 

  ₃{8}₂, nebo , se 72 vrcholy v černé barvě a 48 3 hranami obarvenými ve 2 sadách 3 hran v červené a modré barvě^[11]

Složité polygony, _str{r}_str

Mnohoúhelníky formuláře _str{r}_str mít stejný počet vrcholů a hran. Jsou také sebe-duální.

• 

  ₃{3}₃, nebo , s 8 vrcholy v černé barvě a 8 3 hranami obarvenými ve 2 sadách 3 hran v červené a modré barvě^[12]

• 

  ₃{4}₃, nebo , s 24 vrcholy a 24 3 hranami zobrazenými ve 3 sadách barev, jedna sada vyplněna^[13]

• 

  ₄{3}₄, nebo , s 24 vrcholy a 24 4 hranami zobrazenými ve 4 sadách barev^[14]

• 

  ₃{5}₃, nebo se 120 vrcholy a 120 3 hranami^[15]

• 

  ₅{3}₅, nebo se 120 vrcholy a 120 5 hranami^[16]

3D perspektiva

3D perspektivní projekce složitých polygonů _str{4}₂ může ukázat strukturu point-edge složitého mnohoúhelníku, zatímco měřítko není zachováno.

Duály ₂{4}_str: jsou viditelné přidáním vrcholů uvnitř okrajů a přidáním okrajů místo vrcholů.

• 

  ₂{4}₃, se 6 vrcholy, 9 hranami ve 3 sadách

• 

  ₃{4}₂, s 9 vrcholy, 6 3 hranami ve 2 sadách barev jako

• 

  ₄{4}₂, s 16 vrcholy, 8 4 hranami ve 2 sadách barev a vyplněnými čtvercovými 4 hranami jako

• 

  ₅{4}₂, s 25 vrcholy, 10 5 hranami ve 2 sadách barev jako

Kvaziregulární mnohoúhelníky

A quasiregular polygon je a zkrácení pravidelného mnohoúhelníku. Kvaziregulární mnohoúhelník obsahuje alternativní okraje pravidelných mnohoúhelníků a . Kvaziregulární mnohoúhelník má str vrcholy na p-hranách pravidelné formy.

Příklad kvaziregulárních mnohoúhelníků

str[q]r	2[4]2	3[4]2	4[4]2	5[4]2	6[4]2	7[4]2	8[4]2	3[3]3	3[4]3
Pravidelný	4 2 hrany	9 3-hran	16 4 hran	25 5 hran	36 6 hran	49 8 hran	64 8 hran
Quasiregular	= 4 + 4 2 hrany	6 2-hran 9 3-hran	8 2-hran 16 4 hran	10 2 hran 25 5 hran	12 2-hran 36 6 hran	14 2-hran 49 7 hran	16 2-hran 64 8 hran	=	=
Pravidelný	4 2 hrany	6 2-hran	8 2-hran	10 2 hran	12 2-hran	14 2-hran	16 2-hran

Poznámky

Reference

• Coxeter, H. S. M. a Moser, W. O. J .; Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny (1965), zejména s. 67–80.
• Coxeter, H.S.M. (1991), Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, ISBN  0-521-39490-2
• Coxeter, H. S. M. a Shephard, G.C .; Portréty rodiny složitých polytopů, Leonardo Svazek 25, č. 3/4, (1992), str. 239–244,
• Shephard, G.C .; Pravidelné složité polytopy, Proc. Londýnská matematika. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), str. 82–97.
• G. C. Shephard, J. A. Todd, Konečné jednotné reflexní skupiny, Canadian Journal of Mathematics. 6 (1954), 274–304 [1]^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Gustav I. Lehrer a Donald E. Taylor, Jednotné reflexní skupiny, Cambridge University Press 2009