Cartan – Dieudonné věta - Cartan–Dieudonné theorem
v matematika, Cartan – Dieudonné věta, pojmenoval podle Élie Cartan a Jean Dieudonné, stanoví, že každý ortogonální transformace v n-dimenzionální symetrický bilineární prostor lze popsat jako složení maximálně n odrazy.
Pojem symetrický bilineární prostor je zobecněním Euklidovský prostor jehož struktura je definována a symetrická bilineární forma (což nemusí být pozitivní určitý, takže nemusí být nutně vnitřní produkt - například a pseudoeuklidovský prostor je také symetrický bilineární prostor). Ortogonální transformace v prostoru jsou ty automorfismy které zachovávají hodnotu bilineární formy mezi každou dvojicí vektorů; v euklidovském prostoru to odpovídá zachování vzdáleností a úhlů. Tyto ortogonální transformace tvoří skupinu ve složení, ortogonální skupina.
Například v dvourozměrném Euklidovský letadlo, každá ortogonální transformace je buď odrazem přes čáru počátkem nebo a otáčení o původu (který lze zapsat jako složení dvou odrazů). Libovolné složení takových rotací a odrazů lze přepsat jako složení maximálně 2 odrazů. Podobně v trojrozměrném euklidovském prostoru lze každou ortogonální transformaci popsat jako jediný odraz, rotaci (2 odrazy) nebo nesprávná rotace (3 odrazy). Ve čtyřech rozměrech, dvojitá rotace jsou přidány, které představují 4 odrazy.
Formální prohlášení
Nechat (PROTI, b) být n-dimenzionální, nedegenerovaný symetrický bilineární prostor nad a pole s charakteristický nerovná se 2. Potom každý prvek ortogonální skupiny Ó(PROTI, b) je složení maximálně n odrazy.
Viz také
Reference
- Gallier, Jean H. (2001). Geometrické metody a aplikace. Texty z aplikované matematiky. 38. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95044-3. Zbl 1031.53001.
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannova geometrie. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 3-540-20493-8. Zbl 1068.53001.
- Garling, D. J. H. (2011). Clifford Algebras: Úvod. Studentské texty London Mathematical Society. 78. Cambridge University Press. ISBN 978-1-10742219-3. Zbl 1235.15025.
- Lam, T. Y. (2005). Úvod do kvadratických forem přes pole. Postgraduální studium matematiky. 67. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |