M-matice - M-matrix

v matematika, zvláště lineární algebra, an M-matice je Z-matice s vlastní čísla jehož nemovitý části jsou nezáporné. Sada nesamostatných M-matrice jsou podmnožinou třídy P- matice, a také třídy inverzně pozitivní matice (tj. matice s inverzemi patřícími do třídy pozitivní matice ).^[1] Název M- matice byla zdánlivě původně vybrána uživatelem Alexander Ostrowski v odkazu na Hermann Minkowski, který dokázal, že pokud má matice Z všechny své řádkové sumy kladné, pak je determinant této matice kladný.^[2]

Charakterizace

M-matice je obecně definována takto:

Definice: Nechat A být n × n nemovitý Z-matice. To znamená A = (A_ij) kde A_ij ≤ 0 pro všechny i ≠ j, 1 ≤ já, j ≤ n. Pak matice A je také M-matice pokud to lze vyjádřit ve formě A = sI − B, kde B = (b_ij) s b_ij ≥ 0, pro všechny 1 ≤ já, j ≤ n, kde s je přinejmenším stejně velký jako maximum modulů vlastních čísel z B, a Já je matice identity.

Pro ne-singularita z A, podle Perron-Frobeniova věta, musí tomu tak být s > ρ(B). Také pro ne-singulární M-matici diagonální prvky A_ii z A musí být pozitivní. Zde budeme dále charakterizovat pouze třídu nesamostatných M-matic.

Je známo mnoho příkazů, které jsou ekvivalentní s touto definicí ne-singulárních M-matic, a kterýkoli z těchto výroků může sloužit jako výchozí definice ne-singulární M-matice.^[3] Například Plemmons uvádí 40 takových ekvivalentů.^[4] Tyto charakterizace kategorizoval Plemmons z hlediska jejich vztahů k vlastnostem: (1) pozitivity hlavních nezletilých, (2) inverzní pozitivity a rozdělení, (3) stability a (4) semipositivity a diagonální dominance. Má smysl takto kategorizovat vlastnosti, protože příkazy v konkrétní skupině spolu souvisejí, i když jsou matice A je libovolná matice, a ne nutně Z-matice. Zde zmíníme několik charakterizací z každé kategorie.

Ekvivalence

Níže, ≥ označuje elementární pořadí (není obvyklé pozitivní semidefinit objednávka na maticích). To znamená pro všechny skutečné matice A, B velikosti m × n, píšeme A ≥ B (nebo A > B) -li A_ij ≥ b_ij (nebo A_ij > b_ij ) pro všechny i, j.

Nechat A být n × n nemovitý Z-matice, pak jsou následující tvrzení ekvivalentní A být ne singulární M-matice:

Pozitivita hlavních nezletilých

• Všechny hlavní nezletilí z A jsou pozitivní. To znamená, že determinant každé submatice A získáno odstraněním sady, případně prázdné, odpovídajících řádků a sloupců z A je pozitivní.
• A + D není singulární pro každou nezápornou diagonální matici D.
• Každé skutečné vlastní číslo A je pozitivní.
• Všichni přední hlavní nezletilí z A jsou pozitivní.
• Existují spodní a horní trojúhelníkové matice L a U respektive s kladnými úhlopříčkami, takovými A = LU.

Inverzní pozitivita a rozdělení

• A je inverzně pozitivní. To znamená A⁻¹ existuje a A⁻¹ ≥ 0.
• A je monotónní. To znamená Sekera ≥ 0 naznačuje X ≥ 0.
• A má konvergentní pravidelné rozdělení. To znamená A má zastoupení A = M − N, kde M⁻¹ ≥ 0, N ≥ 0 s M⁻¹N konvergentní. To znamená ρ(M⁻¹N) < 1.
• Existují inverzně pozitivní matice M₁ a M₂ s M₁ ≤ A ≤ M₂.
• Každé pravidelné rozdělení A je konvergentní.

Stabilita

• Existuje pozitivní diagonální matice D takhle INZERÁT + DA^T je pozitivní určitý.
• A je pozitivní stabilní. To znamená skutečnou část každé vlastní hodnoty A je pozitivní.
• Existuje symetrický pozitivní určitá matice Ž takhle AW + WA^T je pozitivní určitý.
• A + Já není singulární a G = (A + Já)⁻¹(A − Já) je konvergentní.
• A + Já není singulární a pro G = (A + Já)⁻¹(A − Já)existuje kladná určitá symetrická matice Ž takhle Ž − G^TWG je pozitivní určitý.

Semipositivita a diagonální dominance

• A je polopozitivní. To znamená, že existuje X > 0 s Sekera > 0.
• Tady existuje X ≥ 0 s Sekera > 0.
• Existuje pozitivní diagonální matice D takhle INZERÁT má všechny kladné součty řádků.
• A má všechny kladné diagonální prvky a existuje pozitivní diagonální matice D takhle INZERÁT je přísně diagonálně dominantní.
• A má všechny kladné diagonální prvky a existuje pozitivní diagonální matice D takhle D⁻¹INZERÁT je striktně diagonálně dominantní.

Aplikace

Primární příspěvky k teorii M-matice pocházejí hlavně od matematiků a ekonomů. M-matice se používají v matematice ke stanovení hranic vlastních čísel a stanovení konvergenčních kritérií pro iterační metody pro řešení velkých řídký soustavy lineárních rovnic. M-matice vznikají přirozeně v některých diskretizacích diferenciální operátory, tak jako Laplacian, a jako takové jsou dobře studovány ve vědeckých výpočtech. M-matice se vyskytují také při studiu řešení problém lineární komplementarity. Problémy s lineární komplementaritou vznikají v lineární a kvadratické programování, výpočetní mechanika, a v problému nalezení rovnovážného bodu a hra bimatrix. A konečně, M-matice se vyskytují při studiu konečných Markovovy řetězy v oblasti teorie pravděpodobnosti a operační výzkum jako teorie front. Ekonomové mezitím studovali M-matice v souvislosti s hrubou zaměnitelností, stabilitou a obecná rovnováha a Leontiefova analýza vstupů a výstupů v ekonomických systémech. Podmínka pozitivity všech hlavních nezletilých je v ekonomické literatuře známá také jako Hawkinsova-Simonova podmínka.^[5] Ve strojírenství se M-matice vyskytují také v problémech Stabilita Lyapunova a zpětnovazební řízení v teorie řízení a souvisí s Hurwitzova matice. v výpočetní biologie, M-matice se vyskytují při studiu populační dynamika.

Viz také

• A je nesingulární slabě diagonálně dominantní M-matice právě tehdy, pokud se jedná o a slabě zřetězený diagonálně dominantní L-matice.
• Pokud A je M-matice, pak - je Metzlerova matice.
• Nesingulární symetrický M-matice se někdy nazývá a Stieltjesova matice.
• Hurwitzova matice
• P-matice
• Perron-Frobeniova věta
• Z-matice
• H-matice

Reference