Octomino - Octomino

Nesmí být zaměňována s Otomino.
369 octominoes zdarma

An octomino (nebo 8-omino) je polyomino objednávky 8, to znamená, a polygon v letadlo vyrobeno z 8 stejně velkých čtverce připojeno od okraje k okraji.[1] Když rotace a odrazy nejsou považovány za odlišné tvary, existují 369 odlišný volný, uvolnit octominoes. Když jsou odrazy považovány za odlišné, je jich 704 jednostranný octominoes. Pokud jsou rotace také považovány za odlišné, existuje 2725 pevný octominoes.[2][3]

Symetrie

Na obrázku jsou zobrazeny všechny možné volné oktominoes, vybarvené podle jejich skupiny symetrie:

  • 316 octominoes (barevně šedé) nemá č symetrie. Jejich skupina symetrie se skládá pouze z mapování identity.
  • 23 octominoes (zbarveno červeně) má osu reflexní symetrie zarovnán s mřížkami. Jejich skupina symetrie má dva prvky, identitu a odraz v linii rovnoběžné se stranami čtverců.
Reflexní symetrické octominoes 90 deg.svg
  • 5 octominoes (zbarveno zeleně) má osu odrazové symetrie pod úhlem 45 ° k mřížkám. Jejich skupina symetrie má dva prvky, identitu a diagonální odraz.
Reflexní symetrické octominoes 45 deg.svg
  • 18 octominoes (zbarveno modře) má bodovou symetrii, známou také jako rotační symetrie řádu 2. Jejich skupina symetrie má dva prvky, identitu a rotaci o 180 °.
Rotace symetrických octominoes (C2). Svg
  • 1 octomino (zbarveno žlutě) má rotační symetrii řádu 4. Jeho skupina symetrie má čtyři prvky, identitu a rotaci 90 °, 180 ° a 270 °.
Rotace symetrická octomino (C4). Svg
  • 4 octominoes (barevné fialové) mají dvě osy reflexní symetrie, obě zarovnané s mřížkami. Jejich skupina symetrie má čtyři prvky, identitu, dva odrazy a rotaci o 180 °. To je dihedrální skupina řádu 2, také známý jako Kleinova čtyřčlenná skupina.
  • 1 octomino (barevně oranžové) má dvě osy symetrie odrazu, obě zarovnané s úhlopříčkami. Jeho skupina symetrie je také vzepětí skupina řádu 2 se čtyřmi prvky.
  • 1 octomino (zbarvené modrozelené) má čtyři osy symetrie odrazu, zarovnané s mřížkami a úhlopříčkami, a rotační symetrii řádu 4. Jeho skupina symetrie, vzepětná skupina řádu 4, má osm prvků.
Rotace a reflexe symetrické octominoes h.svg

Sada octominoes je nejnižší polyomino sada, ve které je realizováno všech osm možných symetrií. Další vyšší sada s touto vlastností je dodecomino (12-omino) sada.[3]

Pokud jsou odrazy oktomina považovány za odlišné, jako jsou tomu u jednostranných oktomino, pak se první, čtvrtá a pátá kategorie zdvojnásobí, což má za následek dalších 335 octominoes pro celkem 704. Pokud jsou rotace také považovány za odlišné, pak se octominoes z první kategorie počítají osmkrát, ti z následujících tří kategorií se počítají čtyřikrát, ti z kategorií pět až sedm se počítají dvakrát a poslední octomino se počítá jen jednou. Výsledkem je 316 × 8 + (23 + 5 + 18) × 4 + (1 + 4 + 1) × 2 + 1 = 2725 pevných oktomino.

Balení a obklady

Z 369 bezplatných octominoes 320 vyhovuje Kritérium Conway a 23 dalších může vytvořit patch splňující kritérium.[4] Dalších 26 octominoes (včetně 6 s otvory) není schopno dláždit rovinu.[5]

Protože 6 z volných octominoes má díru, je triviální dokázat, že kompletní sadu octominoes nelze zabaleno do obdélníku, a že ne všechny octominoes mohou být kachlová.

Octominoes s otvory.svg

Reference

  1. ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2. vyd.). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN  0-691-02444-8.
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Octomino“. From MathWorld - A Wolfram Web Resource. Citováno 2008-07-22.
  3. ^ A b Redelmeier, D. Hugh (1981). "Počítání polyominoů: další útok". Diskrétní matematika. 36 (2): 191–203. doi:10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5.
  4. ^ Rhoads, Glenn C. (2005). „Rovinné obklady polyominoes, polyhexes a polyiamonds“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 174 (2): 329–353. doi:10.1016 / j.cam.2004.05.002.
  5. ^ Gardner, Martin (srpen 1975). "Více o obkládání roviny: možnosti polyominoů, polyiamondů a polyhexů". Scientific American. 233 (2): 112–115.