Nonomino - Nonomino

Nonomino nebo Vykružovačka Sudoku skládačka, jak je vidět na Sunday Telegraph

A nonomino (nebo 9-omino) je polyomino objednávky 9, to znamená, a polygon v letadlo vyrobeno z 9 stejně velkých čtverce připojeno od okraje k okraji.[1] Název tohoto typu postavy je tvořen předponou non (a) -. Když rotace a odrazy nejsou považovány za odlišné tvary, existuje 1 285 různých volný, uvolnit nonominoes. Pokud jsou odrazy považovány za odlišné, existuje 2 500 jednostranný nonominoes. Když jsou rotace také považovány za odlišné, existuje 9 910 pevný nonominoes.[2]

Symetrie

1 285 bezplatných nonominoů lze klasifikovat podle jejich skupiny symetrie:[2]

  • 1196 nonominoů nemá žádné symetrie. Jejich skupina symetrie se skládá pouze z mapování identity.
  • 38 nonominoes má osu reflexní symetrie zarovnáno s mřížkami. Jejich skupina symetrie má dva prvky, identitu a odraz v linii rovnoběžné se stranami čtverců.

Reflexní-symetrické-nonominoes-90-deg.svg

  • 26 nonominoes má osu odrazové symetrie pod úhlem 45 ° k mřížkám. Jejich skupina symetrie má dva prvky, identitu a diagonální odraz.

Reflexně symetrické nonominoes 45 stupňů.svg

  • 19 nonominoes má bodovou symetrii, také známý jako rotační symetrie řádu 2. Jejich skupina symetrie má dva prvky, identitu a rotaci o 180 °.

C2-rotace-symetrické nonominoes.svg

D2 Rotation and Reflection Symetric Nonominoes.svg

  • 2 nonominoes mají čtyři osy symetrie odrazu, zarovnané s mřížkami a úhlopříčkami, a rotační symetrii řádu 4. Jejich skupina symetrie, skupina s dvojicí řádu 4, má osm prvků.

D4 Rotation and Reflection Symetric Nonominoes.svg

Na rozdíl od octominoes, neexistují žádné nonominoes s rotační symetrií řádu 4 nebo se dvěma osami reflexní symetrie zarovnané s úhlopříčkami.

Pokud jsou odrazy nonomino považovány za odlišné, jako u jednostranných nonominoes, pak se první a čtvrtá kategorie zdvojnásobí, což má za následek dalších 1 215 nonominoes pro celkem 2 500. Pokud jsou rotace také považovány za odlišné, pak se nonominoes z první kategorie počítají osmkrát, ti z následujících tří kategorií se počítají čtyřikrát, ti z páté kategorie se počítají dvakrát a ti z poslední kategorie se počítají jen jednou. Výsledkem je 1 196 × 8 + (38 + 26 + 19) × 4 + 4 × 2 + 2 = 9 910 fixních nonominoes.

Balení a obklady

Kritérium Conway falešně negativní nonominoes.svg

37 nonominoes má díry.[3][4] Kompletní sada proto nemůže být zabaleno do obdélníku a ne všechny nonominoes mají obklady. Z 1285 bezplatných nonominoes uspokojí 960 Kritérium Conway a 88 dalších může vytvořit patch splňující kritérium. 1050 (ne 1048) bezplatných nonominoů však připouští tilings,[5] dvě výjimky zobrazené vpravo. Toto je nejnižší řád polyomina, pro který existují takové výjimky.[6]

Jeden nonomino má otvor se dvěma čtverci (druhý zcela vpravo v horní řadě) a je nejmenší polyomino s takovým otvorem.37 Nonominoes s Holes.svg

Reference

  1. ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2. vyd.). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN  0-691-02444-8.
  2. ^ A b Redelmeier, D. Hugh (1981). "Počítání polyominoů: další útok". Diskrétní matematika. 36: 191–203. doi:10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5.
  3. ^ Weisstein, Eric W. „Polyomino“. MathWorld.
  4. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A001419 (Number of n-celled polyominoes with holes)“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
  5. ^ Rawsthorne, Daniel A. (1988). "Složitost dlažby je malá n-ominoes (n<10)". Diskrétní matematika. 70: 71–75. doi:10.1016 / 0012-365X (88) 90081-7.
  6. ^ Rhoads, Glenn C. (2005). „Rovinné obklady polyominoes, polyhexes a polyiamonds“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 174 (2): 329–353. doi:10.1016 / j.cam.2004.05.002.