Prezentace zdarma - Free presentation - Wikipedia

v algebra, a prezentace zdarma a modul M přes komutativní prsten R je přesná sekvence z R-moduly:

{ displaystyle bigoplus _ {i in I} R { nadměrně {f} { to}} bigoplus _ {j v J} R { nadměrně {g} { to}} M na 0. }

Všimněte si obrázku pod G standardního základu generuje M. Zejména pokud J je tedy konečný M je konečně generovaný modul. Li Já a J jsou konečné množiny, pak se prezentace nazývá a konečná prezentace; volá se modul konečně představen pokud připouští konečnou prezentaci.

Od té doby F je homomorfismus modulu mezi volnými moduly jej lze vizualizovat jako (nekonečnou) matici se záznamy v R a M jako jeho koks.

Bezplatná prezentace vždy existuje: jakýkoli modul je podílem bezplatného modulu: ${ displaystyle F { overset {g} { to}} M na 0}$ , ale pak jádro G je opět kvocient volného modulu: ${ displaystyle F '{ přesahující {f} { to}} ker g na 0}$ . Kombinace F a G je bezplatná prezentace M. Nyní lze zjevně takto „řešit“ jádra; výsledek se nazývá a bezplatné rozlišení. Bezplatná prezentace je tedy počáteční částí bezplatného rozlišení.

Prezentace je užitečná pro výpočet. Například od tenzorování je správná přesná, tenzoruje výše uvedenou prezentaci pomocí modulu N, dává:

{ displaystyle bigoplus _ {i in I} N { nadměrně {f otimes 1} { to}} bigoplus _ {j in J} N to M otimes _ {R} N na 0 .}

To říká, že ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ je jádro z ${ Displaystyle f otimes 1}$ . Li N je R-algebra, pak se jedná o prezentaci N-modul ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ ; to znamená, že prezentace se rozšiřuje pod základní příponu.

Přesně vlevo funktory, existuje například

Tvrzení — Nechat F, G být levými přesnými kontravariantními funktory z kategorie modulů přes komutativní kruh R abelianským skupinám a θ A přirozená transformace z F na G. Li ${ displaystyle theta: F (R ^ { oplus n}) až G (R ^ { oplus n})}$ je izomorfismus pro každé přirozené číslo n, pak ${ displaystyle theta: F (M) až G (M)}$ je izomorfismus pro jakýkoli konečně prezentovaný modul M.

Důkaz: Přihlašování F na konečnou prezentaci ${ displaystyle R ^ { oplus n} až R ^ { oplus m} až M}$ výsledky v

{ displaystyle 0 až F (M) až F (R ^ { oplus m}) až F (R ^ { oplus n})}

a totéž pro G. Nyní použijte hadí lemma. ${ displaystyle square}$

Viz také

Reference

Eisenbud, David, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.