Párování - Pairing
v matematika, a párování je R-bilineární mapa ze součinu dvou R-moduly k podkladovému prsten R. Když R je pole a oba moduly jsou stejné, to dává a bilineární forma. Bilineární párování tedy dává zobecnění vnitřní výrobky (včetně Tečkovaný produkt ).
Definice
Nechat R být komutativní prsten s jednotka a nechte M, N a L být R- moduly.
A párování je jakýkoli R-bilineární mapa . To znamená, že to uspokojuje
- ,
- a
pro všechny a jakékoli a jakékoli . Ekvivalentně je párování R-lineární mapa
kde označuje tenzorový produkt z M a N.
Párování lze také považovat za R-lineární mapa, který odpovídá první definici nastavením.
Párování se nazývá perfektní pokud výše uvedená mapa je izomorfismus z R- moduly.
Párování se nazývá nedegenerovaný vpravo pokud pro výše uvedenou mapu tu máme pro všechny naznačuje ; podobně, je nazýván nedegenerovaný nalevo -li pro všechny naznačuje .
Párování se nazývá střídavý -li a pro všechny m. Z toho zejména vyplývá , zatímco bilinearita ukazuje . Pro střídavé párování tedy , což ospravedlňuje název.
Příklady
Žádný skalární součin na nemovitý vektorový prostor PROTI je párování (set M = N = PROTI, R = R ve výše uvedených definicích).
Mapa determinantů (2 × 2 matice nad k) → k lze považovat za párování .
The Hopf mapa psáno jako je příklad párování. Například Hardie et al.[1] prezentovat explicitní konstrukci mapy pomocí posetových modelů.
Spárování v kryptografii
v kryptografie, často se používá následující specializovaná definice:[2]
Nechat být aditivní skupiny a multiplikátor skupina, vše připraveno objednat . Nechat být generátory z a resp.
Párování je mapa:
pro které platí:
- Bilinearita:
- Nedegenerace:
- Z praktických důvodů musí být vypočitatelný efektivním způsobem
Všimněte si, že v kryptografické literatuře je také běžné, že všechny skupiny se zapisují v multiplikativní notaci.
V případech, kdy se párování nazývá symetrické. Tak jako je cyklický, mapa bude komutativní; to znamená pro všechny , my máme . Je to proto, že pro generátor , existují celá čísla , takhle a . Proto .
The Weil párování je důležitý koncept v kryptografie eliptické křivky; např. může být použit k útoku na určité eliptické křivky (viz MOV útok ). To a další párování byly použity k vývoji šifrování založené na identitě schémata.
Trochu odlišné použití pojmu párování
Skalární produkty na komplex vektorové prostory se někdy nazývají párování, i když nejsou bilineární. Například v teorie reprezentace, jeden má skalární součin na charakterech komplexních reprezentací konečné skupiny, která se často nazývá párování znaků.
Viz také
Reference
- ^ Hardie K.A.1; Vermeulen J.J.C .; Witbooi P.J., Netriviální párování konečných prostorů T0, Topologie a její aplikace, svazek 125, číslo 3, 20. listopadu 2002, str. 533-542.
- ^ Dan Boneh, Matthew K. Franklin, Šifrování založené na identitě z Weil Pairing, SIAM J. of Computing, sv. 32, č. 3, str. 586-615, 2003.