Modulační prostory[1] jsou rodina Banachovy prostory definované chováním krátkodobá Fourierova transformace s ohledem na testovací funkci z Schwartzův prostor. Původně je navrhl Hans Georg Feichtinger a jsou uznávány jako správný druh funkčních prostor pro časově-frekvenční analýza. Feichtingerova algebra, zatímco původně představen jako nový Segal algebra,[2] je identický s určitým modulačním prostorem a stal se široce používaným prostorem testovací funkce pro časově-frekvenční analýzu.
Modulační prostory jsou definovány následovně. Pro
, nezáporná funkce
na
a testovací funkce
, modulační prostor
je definováno
![{ displaystyle M_ {m} ^ {p, q} ( mathbb {R} ^ {d}) = left {f in { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {d} ) : left ( int _ { mathbb {R} ^ {d}} left ( int _ { mathbb {R} ^ {d}} | V_ {g} f (x, omega) | ^ {p} m (x, omega) ^ {p} dx right) ^ {q / p} d omega right) ^ {1 / q} < infty right }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b22fee105dcef3d7402bdb56e0b38968259e3e0)
Ve výše uvedené rovnici
označuje krátkodobou Fourierovu transformaci
s ohledem na
hodnoceno na
, jmenovitě
![{ displaystyle V_ {g} f (x, omega) = int _ { mathbb {R} ^ {d}} f (t) { overline {g (tx)}} e ^ {- 2 pi it cdot omega} dt = { mathcal {F}} _ { xi} ^ {- 1} ({ overline {{ hat {g}} ( xi)}} { hat {f}} ( xi + omega)) (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d440c1aba10dc01bd2a4ab9ba5f5f260e0677e1a)
Jinými slovy,
je ekvivalentní k
. Prostor
je stejný, nezávisle na testovací funkci
zvolen. Kanonická volba je a Gaussian.
Dále máme definici modulačních prostorů typu Besov.[3]
,
kde
je vhodný jednotný oddíl. Li
, pak
.
Feichtingerova algebra
Pro
a
, modulační prostor
je známá pod jménem Feichtingerova algebra a často se označuje
za to, že je minimální invaliantou Segalovy algebry za časově-frekvenčních posunů, tj. operátory kombinovaného překladu a modulace.
je Banachův prostor vložený do
, a je neměnný pod Fourierovou transformací. Právě pro tyto a další vlastnosti
je přirozenou volbou prostoru testovací funkce pro časově-frekvenční analýzu. Fourierova transformace
je automatizovaný na
.
Reference
|
---|
Prostory | |
---|
Věty | |
---|
Operátoři | |
---|
Algebry | |
---|
Otevřené problémy | |
---|
Aplikace | |
---|
Pokročilá témata | |
---|