John R. Stallings - John R. Stallings

John R. Stallings
2006 Stallings
narozený	(1935-07-22)22. července 1935 Morrilton, Arkansas, USA
Zemřel	24. listopadu 2008(2008-11-24) (ve věku 73) Berkeley, Kalifornie, USA
Národnost	americký
Alma mater	University of Arkansas Univerzita Princeton
Známý jako	důkaz Poincarého domněnka v rozměrech větších než šest; Věta o zastavení o koncích skupin
Ocenění	Cena Franka Nelsona Colea v algebře (1971)
Vědecká kariéra
Pole	Matematika
Instituce	Kalifornská univerzita v Berkeley
Doktorský poradce	Ralph Fox
Doktorandi	Marc Culler Stephen M. Gersten J. Hyam Rubinstein

John Robert Stallings Jr. (22. července 1935 - 24. listopadu 2008) byl a matematik známý svými významnými příspěvky do teorie geometrických skupin a 3-topná topologie. Stallings byl emeritním profesorem na katedře matematiky na Kalifornská univerzita v Berkeley^[1] kde byl členem fakulty od roku 1967.^[1] Publikoval více než 50 prací, převážně v oblastech teorie geometrických skupin a topologie 3 rozdělovače. Mezi nejdůležitější příspěvky společnosti Stallings patří v publikaci z roku 1960 důkaz o Poincarého domněnka v rozměrech větších než šest a důkaz v dokumentu z roku 1971 Věta o zastavení o koncích skupin.

Životopisné údaje

John Stallings se narodil 22. července 1935 v Morrilton, Arkansas.^[1]

Stallings získal titul B.Sc. z University of Arkansas v roce 1956 (kde byl jedním z prvních dvou absolventů studijního programu univerzity)^[2] a získal titul Ph.D. v matematice od Univerzita Princeton v roce 1959 pod vedením Ralph Fox.^[1]

Po ukončení doktorského studia zastával Stallings řadu postdoktorských a fakultních pozic, včetně postdoktorského studia NSF na University of Oxford stejně jako instruktorství a jmenování fakulty v Princetonu. Stallings nastoupil na University of California v Berkeley jako člen fakulty v roce 1967, kde zůstal až do svého odchodu do důchodu v roce 1994.^[1] I po svém odchodu do důchodu pokračoval Stallings v dohledu na postgraduální studenty UC Berkeley až do roku 2005.^[3] Stallings byl Alfred P. Sloan vědecký pracovník od 1962–65 a člen Millerova institutu od 1972–73.^[1]V průběhu své kariéry měl Stallings včetně 22 doktorandů Marc Culler, Stephen M. Gersten, a J. Hyam Rubinstein a 100 doktorských potomků. Publikoval více než 50 prací, převážně v oblastech teorie geometrických skupin a topologie 3 rozdělovače.

Stallings doručil pozvanou adresu jako Mezinárodní kongres matematiků v Pěkný v roce 1970^[4] a přednáška Jamese K. Whittemora v univerzita Yale v roce 1969.^[5]

Stallings obdržel Cena Franka Nelsona Colea v algebře z Americká matematická společnost v roce 1970.^[6]

Konference "Geometrické a topologické aspekty teorie grup", která se konala v Brně Výzkumný ústav matematických věd v Berkeley v květnu 2000, byl věnován 65. narozeninám Stallings.^[7]V roce 2002 speciální číslo časopisu Geometriae Dedicata byl věnován Stallingsovi u příležitosti jeho 65. narozenin.^[8] Stallings zemřel rakovina prostaty 24. listopadu 2008.^[3][9]

Matematické příspěvky

Většina matematických příspěvků Stallings je v oblastech teorie geometrických skupin a nízkodimenzionální topologie (zejména topologie 3 rozdělovače ) a na souhru mezi těmito dvěma oblastmi.

Časným významným výsledkem Stallingsa je jeho důkaz z roku 1960^[10] z Poincarého domněnka v rozměrech větších než šest. (Stallingův důkaz byl získán nezávisle na jiném důkazu a krátce po něm Stephen Smale kteří stanovili stejný výsledek v dimenzích větších než čtyři^[11]).

Používání „pohlcujících“ metod podobných těm, které uvádí v důkazu o Poincarého domněnce pro n > 6, Stallings dokázal, že obyčejný euklidovský n-dimenzionální prostor má jedinečnou po částech lineární, tedy také hladkou strukturu, pokud n se nerovná 4. Toto získalo další význam, když v důsledku práce Michael Freedman a Simon Donaldson v roce 1982 se ukázalo, že 4-prostor má exotické hladké struktury, ve skutečnosti nespočetně mnoho takových.

V dokumentu z roku 1963^[12] Stallings zkonstruoval příklad a konečně představená skupina s nekonečně generovaným trojrozměrným integrálem homologická skupina a navíc ne takového typu ${displaystyle F_ {3}}$, tj. nepřipouští a třídicí prostor s konečnou 3 kostrou. Tento příklad se začal nazývat Stájová skupina a je klíčovým příkladem při studiu homologických konečných vlastností skupin. Robert Bieri později ukázal^[13] že skupina Stallings je přesně jádrem homomorfismu z přímého produktu tří kopií volná skupina ${displaystyle F_ {2}}$ do skupiny aditiv ${displaystyle mathbb {Z}}$ celých čísel, která odešlou ${displaystyle 1in mathbb {Z}}$ šest prvků vycházející z výběru volných základen pro tři kopie ${displaystyle F_ {2}}$. Bieri také ukázal, že skupina Stallings zapadá do posloupnosti příkladů skupin typu ${displaystyle F_ {n}}$ ale ne typu ${displaystyle F_ {n + 1}}$. Skupina Stallings je klíčovým objektem ve verzi diskrétního Morseova teorie pro kubické komplexy vyvinuté Mladen Bestvina a Noel Brady^[14] a při studiu podskupin přímých produktů z omezené skupiny.^[15][16][17]

Stallingsova nejslavnější věta v teorie skupin je algebraická charakterizace skupin s více než jednou konec (tj. s více než jednou „připojenou komponentou v nekonečnu“), která je nyní známá jako Věta o zastavení o koncích skupin. Stallings prokázal, že a konečně generovaná skupina G má více než jeden konec právě tehdy, když tato skupina připouští netriviální rozdělení jako sloučený produkt zdarma nebo jako Rozšíření HNN přes konečnou skupinu (tj. ve smyslu Teorie Bass – Serre, právě když skupina připustí netriviální akci na a strom se stabilizátory konečné hrany). Věta přesněji uvádí, že a konečně generovaná skupina G má více než jeden konec právě tehdy G připouští rozdělení jako sloučený bezplatný produkt ${displaystyle G = Aast _ {C} B}$, kde skupina C je konečný a ${displaystyle Ceq A}$, ${displaystyle Ceq B}$nebo G připouští rozdělení jako příponu HNN ${displaystyle G = langle H, t | t ^ {- 1} Kt = langle}$ kde ${displaystyle K, Lleq H}$ jsou konečné podskupiny z H.

Stallings prokázal tento výsledek v řadě prací, nejprve se zabýval případem bez zkroucení (tj. Skupinou bez netriviálních prvků konečných objednat )^[18] a pak s obecným případem.^[5][19] Stallingova věta přinesla pozitivní řešení dlouhodobého otevřeného problému o charakterizaci konečně generovaných skupin kohomologické dimenze jedna jako přesně skupiny zdarma.^[20] Věta o zastavení o koncích skupin je považována za jeden z prvních výsledků v teorie geometrických skupin správný, protože spojuje geometrickou vlastnost skupiny (mající více než jeden konec) s její algebraickou strukturou (připouští rozdělení na konečnou podskupinu). Stallingova věta přinesla mnoho následných alternativních důkazů jiných matematiků (např.^[21][22]) a také mnoho aplikací (např.^[23]). Věta také motivovala několik zevšeobecnění a relativních verzí Stallingsova výsledku do jiných kontextů, jako je studium pojmu relativních konců skupiny s ohledem na podskupinu,^[24][25][26] včetně připojení k CAT (0) kubické komplexy.^[27] Komplexní průzkum pojednávající zejména o četných aplikacích a zevšeobecnění Stallingsovy věty je uveden v dokumentu z roku 2003 C. T. C. Wall.^[28]

Dalším vlivným článkem Stallingsa je jeho článek z roku 1983 „Topologie na konečných grafech“.^[29] Tradičně algebraická struktura podskupiny z skupiny zdarma byl studován v teorie kombinatorických grup pomocí kombinatorických metod, jako je Schreierova metoda přepisování a Nielsenovy transformace.^[30] Stallingsův článek předložil topologický přístup založený na metodách teorie prostoru který také používal jednoduchý graf-teoretický rámec. Článek představil pojem toho, co se nyní běžně označuje jako Graf podskupiny stání pro popis podskupin volných skupin a také zavedl techniku ​​skládání (používá se k aproximaci a algoritmickému získání grafů podskupin) a pojem toho, co je nyní známé jako Skládací stání. Většina klasických výsledků týkajících se podskupin volných skupin získala jednoduché a přímé důkazy v tomto nastavení a Stallingsova metoda se stala standardním nástrojem v teorii pro studium struktury podskupin volných skupin, včetně algebraických a algoritmických otázek (viz ^[31]). Zejména podskupinové grafy Stallings a Stallings foldings byly použity jako klíčový nástroj při mnoha pokusech přiblížit se Hanna Neumann domněnka.^{[32][33][34][35]}

Grafy podskupin stájí lze také zobrazit jako konečné automaty^[31] a také našli aplikace v poloskupina teorie a v počítačová věda.^{[36][37][38][39]}

Metoda skládání Stallings byla zobecněna a aplikována na jiné kontexty, zejména v Teorie Bass – Serre pro přibližné skupinové akce na stromy a studium struktury podskupiny základní skupiny grafů skupin. První příspěvek v tomto směru napsal sám Stallings,^[40] s několika následnými zobecněním Stallingsových metod skládání v EU Teorie Bass – Serre kontext jinými matematiky.^{[41][42][43][44]}

Stallings '1991 paper "Non-positively curved triangles of groups"^[45] představil a studoval pojem a trojúhelník skupin. Tato představa byla výchozím bodem pro teorii komplexy skupin (vyšší dimenzionální analog Teorie Bass – Serre ), vyvinutý společností André Haefliger^[46] a další.^[47][48] Stallingsova práce poukázala na to, že je důležité uvalit na komplexy skupin jakési podmínky „pozitivního zakřivení“, aby teorie fungovala dobře; taková omezení nejsou nutná v jednorozměrném případě teorie Bass – Serre.

Mezi příspěvky Stallings pro 3-topná topologie, nejznámější je Věta o stagnaci.^[49] Věta říká, že pokud M je kompaktní neredukovatelný 3-potrubí jehož základní skupina obsahuje a normální podskupina, takže tato podskupina je definitivně generováno a takové, že kvocientová skupina touto podskupinou je nekonečný cyklický, pak M vlákna přes kruh. Toto je důležitý strukturální výsledek v teorii Haken potrubí které vytvořily mnoho alternativních důkazů, zobecnění a aplikací (např.^{[50][51][52][53]} ), včetně analogu s vyšší dimenzí.^[54]

Papír Stallings z roku 1965 „Jak neprokázat domněnku Poincarého“^[55] dal skupinový teoretik přeformulování slavného Poincarého domněnka. Článek začal vtipným přiznáním: „Dopustil jsem se hříchu, když jsem falešně dokázal Poincarého domněnku. Ale to bylo v jiné zemi; a kromě toho až dosud o tom nikdo nevěděl.“^[1][55] Navzdory ironickému názvu informoval Stallingsův článek o následném výzkumu zkoumání algebraických aspektů Poincarého domněnka (viz například^{[56][57][58][59]}).

Vybraná díla

• Stallings, John R. (1960), "Polyhedral homotopy sphere", Bulletin of the American Mathematical Society, 66 (6): 485–488, doi:10.1090 / s0002-9904-1960-10511-3, PAN  0124905
• Stallings, John R.; Zeeman, E. C. (1962), „Kusová lineární struktura euklidovského prostoru“, Sborník Cambridge Philosophical Society, 58 (3): 481–488, doi:10.1017 / S0305004100036756, PAN  0149457
• Stallings, John R. (1962), „On fibering certain 3-manifolds“, Topologie tří potrubí a souvisejících témat (Proc. The Univ. Of Georgia Institute, 1961), Prentice Hall, str. 95–100, PAN  0158375
• Stallings, John R. (1965), „Homologie a ústřední řada skupin“, Journal of Algebra, 2 (2): 170–181, doi:10.1016/0021-8693(65)90017-7, PAN  0175956^{[mrtvý odkaz ]}
• Stallings, Johne (1963), „Konečně představená skupina, jejíž trojrozměrná integrální homologie není definitivně generována“, American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 85 (4): 541–543, doi:10.2307/2373106, JSTOR  2373106, PAN  0158917
• Stallings, John R. (1968), „O skupinách bez kroucení s nekonečně mnoha konci“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 88 (2): 312–334, doi:10.2307/1970577, JSTOR  1970577, PAN  0228573
• Stallings, John R. (1971), Skupinová teorie a trojrozměrná potrubí, Yale University Press, ISBN  978-0-300-01397-9, PAN  0415622
• Stallings, John R. (1978), „Konstrukce vláknitých uzlů a vazeb“, Algebraická a geometrická topologie (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Kalifornie, 1976), část 2, Proc. Symposy. Pure Math., XXXII, Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 55–60, PAN  0520522
• Stallings, John R. (1983), "Topologie konečných grafů", Inventiones Mathematicae, 71 (3): 551–565, doi:10.1007 / BF02095993, PAN  0695906, s více než 100 nedávnými citacemi
• Stallings, John R. (1991), „Folding G-stromy ", Teorie stromových grup (Berkeley, CA, 1988)Publikace Výzkumného ústavu matematických věd, 19, New York: Springer, s. 355–368, doi:10.1007/978-1-4612-3142-4_14, ISBN  978-0-387-97518-4, PAN  1105341
• Stallings, John R. (1991), "Non-positively curved triangles of groups", Skupinová teorie z geometrického hlediska (Trieste, 1990)„River Edge, NJ: World Scientific, s. 491–903, ISBN  978-981-02-0442-6, PAN  1170374

Poznámky

externí odkazy

• John R. Stallings na Matematický genealogický projekt
• domovská stránka Johna Stallingsa.
• Vzpomínka na Johna Stallingsa, Oznámení Americké matematické společnosti, sv. 56 (2009), č. 11, str. 1410 1417