Rozšíření HNN - HNN extension
v matematika, Rozšíření HNN je důležitá konstrukce teorie kombinatorických grup.
Představeno v dokumentu z roku 1949 Vkládání vět pro skupiny[1] podle Graham Higman, Bernhard Neumann, a Hanna Neumann, vloží danou skupinu G do jiné skupiny G' , takovým způsobem, že dvě dané izomorfní podskupiny G jsou konjugované (prostřednictvím daného izomorfismu) v G' .
Konstrukce
Nechat G být skupina s prezentace a nechte být izomorfismus mezi dvěma podskupinami G. Nechat t být novým symbolem, který není v Sa definovat
Skupina se nazývá HNN rozšíření G ve vztahu k α. Původní skupina G se nazývá základní skupina pro stavbu, zatímco podskupiny H a K. jsou přidružené podskupiny. Nový generátor t se nazývá stabilní dopis.
Klíčové vlastnosti
Od prezentace pro obsahuje všechny generátory a relace z prezentace pro G, existuje přirozený homomorfismus, vyvolaný identifikací generátorů, který trvá G na . Higman, Neumann a Neumann dokázali, že tento morfismus je injektivní, tj. G do . Důsledkem je, že dvě izomorfní podskupiny dané skupiny jsou vždy v některých konjugovány nadskupina; touha ukázat to byla původní motivace pro stavbu.
Britton's Lemma
Klíčovou vlastností rozšíření HNN je věta o normální formě známá jako Britton's Lemma.[2] Nechat být jako výše a nechat w být následujícím produktem v :
Potom lze uvést Brittonovo lemma takto:
Britton's Lemma. Li w = 1 palec G∗α pak
- buď a G0 = 1 palec G
- nebo a pro některé i ∈ {1, ..., n−1} jedno z následujících blokování:
- εi = 1, εi+1 = −1, Gi ∈ H,
- εi = -1, εi+1 = 1, Gi ∈ K..
Stručně řečeno, Britton's Lemma má následující podobu:
Britton's Lemma (alternativní forma). Li w je takový
- buď a G0 ≠ 1 ∈ G,
- nebo a produkt w neobsahuje podřetězce formuláře tht−1, kde h ∈ H a formy t−1kt kde k ∈ K.,
pak v .
Důsledky Britton's Lemma
Nejzákladnější vlastnosti rozšíření HNN vyplývají z Britton's Lemma. Mezi tyto důsledky patří následující fakta:
- Přírodní homomorfismus z G na je injekční, abychom mohli myslet jako obsahující G jako podskupina.
- Každý prvek konečného pořadí je sdružené na prvek G.
- Každá konečná podskupina je konjugován do konečné podskupiny G.
- Li a pak obsahuje podskupinu isomorfní s a volná skupina hodnosti dva.
Aplikace
Z hlediska základní skupina v algebraická topologie, rozšíření HNN je konstrukce nutná k pochopení základní skupiny a topologický prostor X která byla na sebe „přilepena“ mapováním F (viz např. Povrchový svazek přes kruh ). To znamená, že rozšíření HNN jsou ve vztahu k tomuto aspektu základní skupiny, as bezplatné produkty se sloučením dělat s ohledem na Věta Seifert-van Kampen pro lepení mezer X a Y podél připojeného společného podprostoru. Mezi těmito dvěma konstrukcemi lze popsat v podstatě jakékoli geometrické lepení, a to z pohledu základní skupiny.
HNN-rozšíření hrají klíčovou roli v Higmanově důkazu o Higmanova věta o vložení který uvádí, že každý definitivně generováno rekurzivně prezentovaná skupina lze homomorfně vložit do a konečně představená skupina. Většina moderních důkazů Novikov – Booneova věta o existenci a konečně představená skupina s algoritmicky nerozhodnutelným slovní úloha také podstatně používat HNN-rozšíření.
Jak rozšíření HNN, tak i sloučené produkty zdarma jsou základní stavební kameny v Teorie Bass – Serre skupin působících na stromech.[3]
Myšlenka rozšíření HNN byla rozšířena na další části abstraktní algebra, počítaje v to Lež algebra teorie.
Zobecnění
Rozšíření HNN jsou základní příklady základních skupin grafy skupin, a jako takové mají v Teorie Bass – Serre.
Reference
- ^ Higman, Graham; Neumann, Bernhard H.; Neumann, Hanna (1949). „Vkládání vět pro skupiny“ (PDF). Journal of the London Mathematical Society. s1-24 (4): 247–254. doi:10.1112 / jlms / s1-24.4.247.
- ^ Roger C. Lyndon a Paul E. Schupp. Kombinatorická teorie skupin. Springer-Verlag, New York, 2001. Série „Classics in Mathematics“, dotisk vydání z roku 1977. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch. IV. Produkty a rozšíření HNN zdarma.
- ^ Serre, Jean-Pierre (1980), Stromy. Z francouzštiny přeložil John Stillwell, Berlín-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9