Plochá konvergence - Flat convergence

v matematika, plochá konvergence je pojem pro konvergenci podmanifoldů euklidovského prostoru. Poprvé byl představen Hassler Whitney v roce 1957 a poté rozšířena na integrální proudy podle Federer a Fleming v roce 1960. Tvoří základní část oboru teorie geometrických měr. Pojem byl použit k nalezení řešení Problém náhorní plošiny. V roce 2001 byl pojem integrálního proudu rozšířen o libovolné metrické prostory o Ambrosio a Kirchheim.

Integrální proudy

A k-dimenzionální proud T je multilineární operátor se skutečnou hodnotou na smooth k-formuláře. Například vzhledem k Mapa Lipschitz od a potrubí do Euklidovský prostor, F: N^k → Rⁿ, jeden má integrální proud T(ω) definovaný integrací zarazit diferenciálu k-formulář, ω, přes N. Proudy mají pojem hranice ${ displaystyle částečné {T}}$ (což je obvyklá hranice, když N je potrubí s hranicí) a pojem hmotnosti, M(T), (což je objem obrázkuN). Celočíselný usměrnitelný proud je definován jako spočetný součet proudů vytvořených v tomto ohledu. Integrální proud je celé číslo usměrnitelný proud, jehož hranice má konečnou hmotnost. Jedná se o hlubokou teorém Federer-Fleminga, že hranice je pak také integrálním proudem.

Plochá norma a plochá vzdálenost

Plochá norma |T| a k-rozměrný integrální proud T je infimum z M(A) + M(B), kde je infimum převzato všemi integrálními proudy A a B takhle ${ displaystyle T = A + částečné B}$.

Plochá vzdálenost mezi dvěma integrálními proudy je pak d_F(T,S) = |T − S|.

Věta o kompaktnosti

Federer-Fleming dokázal, že pokud má jeden sled integrálních proudů ${ displaystyle T_ {i}}$ jehož podpěry leží v kompaktní sadě K. s jednotným horním okrajem ${ displaystyle M (T_ {i}) + M ( částečné T_ {i})}$, potom posloupnost konverguje v plochém smyslu na integrální proud.

Tato věta byla použita ke studiu sekvencí podmanifoldů pevné hranice, jejichž objem se blížil infimu přes všechny objemy submanifoldů s danou hranicí. To přineslo slabé řešení kandidáta na Problém náhorní plošiny.

Reference

• Federer, Herbert (1969), Teorie geometrických měr, série Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., str. xiv + 676, ISBN  978-3-540-60656-7, PAN  0257325
• Federer, H. (1978), „Kolokvium přednášky o teorii geometrických měr“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 84 (3): 291–338, doi:10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0

• Morgan, Frank (2009), Teorie geometrických měr: Průvodce pro začátečníky (Čtvrté vydání), San Diego, CA: Academic Press Inc., pp. Viii + 249, ISBN  978-0-12-374444-9, PAN  2455580
• Ambrosio, Luigi; Kirchheim, Bernd (2000), „Proudy v metrických prostorech“, Acta Mathematica, 185: 1–80, doi:10.1007 / bf02392711