Eliptický Gaussův součet - Elliptic Gauss sum

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, an eliptický Gaussův součet je analogem a Gaussova suma v závislosti na eliptická křivka se složitým množením. The kvadratický zbytek symbol v Gaussově součtu je nahrazen vyšším zbytkovým symbolem, jako je kubický nebo kvartický zbytkový symbol, a exponenciální funkce v Gaussově součtu je nahrazena eliptická funkce Byly představeny Eisenstein  (1850 ), alespoň v případě lemniscate, když má eliptická křivka komplexní násobení i, ale zdá se, že byly zapomenuty nebo ignorovány, dokud papír (Pinch 1988 ).

Příklad

(Lemmermeyer 2000, 9.3) uvádí následující příklad eliptické Gaussovy sumy, pro případ eliptické křivky se složitým násobením i.

${ displaystyle - sum _ {t} chi (t) varphi left ({ frac {t} { pi}} right) ^ { frac {p-1} {m}}}$

kde

• Součet je nad zbytky mod P jejichž zástupci jsou Gaussova celá čísla
• n je kladné celé číslo
• m je kladné celé dělení 4n
• p = 4n + 1 je racionální prvočíslo shodné s 1 modem 4
• φ(z) = sl ((1 - i)ωz) kde sl je funkce sine lemniscate, eliptická funkce.
• χ je msymbol zbytku energie v K. s ohledem na hlavní P z K.
• K. je pole k[ζ]
• k je pole ℚ[i]
• ζ je primitivní 4nth kořen 1
• π je primární prvočíslo v Gaussových celých číslech ℤ[i] s normou p
• P je prvočíslo v kruhu celých čísel K. ležící nahoře π se stupněm setrvačnosti 1

Reference

• Asai, Tetsuya (2007), „eliptický Gauss sčítá a Hecke L- hodnoty v s = 1", Sborník ze sympozia o algebraické teorii čísel a souvisejících tématech, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B4, Res. Inst. Matematika. Sci. (RIMS), Kjóto, str. 79–121, arXiv:0707.3711, Bibcode:2007arXiv0707.3711A, PAN  2402004
• Cassou-Noguès, Ph .; Taylor, M. J. (1991), „Un élément de Stickelberger quadratique“, Žurnál teorie čísel, 37 (3): 307–342, doi:10.1016 / S0022-314X (05) 80046-0, ISSN  0022-314X, PAN  1096447
• Eisenstein, Gotthold (1850), „Über einige allgemeine Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Teilung der ganzen Lemniskate abhängt, nebst Anwendungen derselben auf die Zahlentheorie“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 39 (39): 224–287, doi:10,1515 / crll.1850.39.224, ISSN  0075-4102, Přetištěno v matematice. Werke II, 556–619
• Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti Springer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66957-9, PAN  1761696
• Pinch, R. (1988), "Galoisova struktura eliptických funkcí", Stephens, Nelson M .; Thorne., M. P. (eds.), Počítače v matematickém výzkumu (Cardiff, 1986), Inst. Matematika. Appl. Konf. Ser. New Ser., 14, Oxford University Press, str.69–91, ISBN  978-0-19-853620-8, PAN  0960495