Artin – Tate lemma - Artin–Tate lemma

V algebře je Artin – Tate lemma, pojmenoval podle Emil Artin a John Tate, uvádí:^[1]

Nechat A být komutativní Noetherian ring a

{ displaystyle B podmnožina C}

komutativní algebry skončily A. Li C je konečného typu A a pokud C je konečný B, pak B je konečného typu A.

(Zde „konečného typu“ znamená „konečně generovaná algebra „a„ konečný “znamená„konečně generovaný modul ".) Lemma zavedli E. Artin a J. Tate v roce 1951^[2] prokázat Hilbertův Nullstellensatz.

Lema je podobná Eakin – Nagatova věta, který říká: pokud C je konečný B a C je tedy noetherovský prsten B je noetherovský prsten.

Důkaz

Následující důkaz lze nalézt v dokumentu Atiyah – MacDonald.^[3] Nechat ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {m}}$ generovat ${ displaystyle C}$ jako ${ displaystyle A}$ -algebra a nech ${ displaystyle y_ {1}, ldots, y_ {n}}$ generovat ${ displaystyle C}$ jako ${ displaystyle B}$ -modul. Pak můžeme psát

{ displaystyle x_ {i} = součet _ {j} b_ {ij} y_ {j} quad { text {a}} quad y_ {i} y_ {j} = součet _ {k} b_ { ijk} y_ {k}}

s ${ displaystyle b_ {ij}, b_ {ijk} v B}$ . Pak ${ displaystyle C}$ je konečný přes ${ displaystyle A}$ -algebra ${ displaystyle B_ {0}}$ generované ${ displaystyle b_ {ij}, b_ {ijk}}$ . Pomocí toho ${ displaystyle A}$ a tudíž ${ displaystyle B_ {0}}$ je také Noetherian ${ displaystyle B}$ je konečný ${ displaystyle B_ {0}}$ . Od té doby ${ displaystyle B_ {0}}$ je definitivně generován ${ displaystyle A}$ -algebra, také ${ displaystyle B}$ je definitivně generován ${ displaystyle A}$ -algebra.

Noetherian nutný

Bez předpokladu, že A je Noetherian, tvrzení o Artin-Tate lematu již není pravdivé. Ve skutečnosti pro všechny nonetherianský prsten A můžeme definovat A-algebraová struktura zapnuta ${ displaystyle C = A oplus A}$ prohlášením ${ displaystyle (a, x) (b, y) = (ab, bx + ay)}$ . Pak pro jakýkoli ideál ${ displaystyle I podmnožina A}$ který není definitivně generován, ${ displaystyle B = A oplus I podmnožina C}$ není konečného typu A, ale všechny podmínky jako v lematu jsou splněny.

Poznámky

^ Eisenbud Cvičení 4.32
^ E Artin, J.T Tate, „Poznámka k prodloužení konečných kruhů,“ J. Math. Soc Japan, svazek 3, 1951, s. 74–77
^ Atiyah – MacDonald 1969, Návrh 7.8

Reference

Eisenbud, David, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
M. Atiyah, I.G. Macdonald, Úvod do komutativní algebry, Addison – Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5

externí odkazy

http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma

[1] Eisenbud Cvičení 4.32

[2] E Artin, J.T Tate, „Poznámka k prodloužení konečných kruhů,“ J. Math. Soc Japan, svazek 3, 1951, s. 74–77

[3] Atiyah – MacDonald 1969, Návrh 7.8

[1]

[2]

[3]