Parametrický povrch - Parametric surface

A parametrický povrch je povrch v Euklidovský prostor ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ který je definován a parametrická rovnice se dvěma parametry ${ displaystyle { vec {r}}: { mathbb {R}} ^ {2} rightarrow { mathbb {R}} ^ {3}.}$ Parametrické vyjádření je velmi obecný způsob, jak určit povrch, stejně jako implicitní reprezentace. Povrchy, které se vyskytují ve dvou hlavních větách vektorový počet, Stokesova věta a věta o divergenci, jsou často uváděny v parametrické formě. Zakřivení a délka oblouku z křivky na povrchu, plocha povrchu, diferenciální geometrické invarianty, jako je za prvé a druhý základní formy, Gaussian, znamenat, a ředitel školy zakřivení lze vypočítat z dané parametrizace.

Příklady

Torus, vytvořený pomocí rovnic: X = r hřích proti; y = (R + r cos proti) hřích u; z = (R + r cos proti) cos u.

Parametrické tvarování povrchu a trojlístkový uzel, podrobnosti rovnice v přiloženém zdrojovém kódu.

• Nejjednodušší typ parametrických povrchů je dán grafy funkcí dvou proměnných:

${ displaystyle z = f (x, y), quad { vec {r}} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}$

• A racionální povrch je povrch, který připouští parametrizaci pomocí a racionální funkce. Racionální povrch je algebraický povrch. Vzhledem k algebraickému povrchu je obvykle snazší rozhodnout, zda je racionální, než vypočítat jeho racionální parametrizaci, pokud existuje.
• Revoluční povrchy dát další důležitou třídu povrchů, které lze snadno parametrizovat. Pokud graf z = F(X), A ≤ X ≤ b se otáčí kolem z-osa pak má výsledný povrch parametrizaci

${ displaystyle { vec {r}} (u, phi) = (u cos phi, u sin phi, f (u)), quad a leq u leq b, 0 leq phi <2 pi.}$

Může být také parametrizován

${ displaystyle { vec {r}} (u, v) = left (u { frac {1-v ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u { frac {2v} {1 + v ^ {2}}}, f (u) right), quad a leq u leq b,}$

to ukazuje, pokud je funkce F je racionální, pak je povrch racionální.

• Rovný kruhový válec poloměru R o X-os má následující parametrické vyjádření:

${ displaystyle { vec {r}} (x, phi) = (x, R cos phi, R sin phi).}$

• Za použití sférické souřadnice, jednotka koule lze parametrizovat pomocí

${ displaystyle { vec {r}} ( theta, phi) = ( cos theta sin phi, sin theta sin phi, cos phi), quad 0 leq theta <2 pi, 0 leq phi leq pi.}$

Tato parametrizace se rozpadá na severním a jižním pólu, kde je úhel azimutu θ není určeno jednoznačně. Koule je racionální povrch.

Stejný povrch umožňuje mnoho různých parametrizací. Například souřadnice z-rovinu lze parametrizovat jako

${ displaystyle { vec {r}} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}$

pro všechny konstanty A, b, C, d takhle inzerát − před naším letopočtem ≠ 0, tj. Matice ${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$ je invertibilní.

Lokální diferenciální geometrie

Místní tvar parametrického povrchu lze analyzovat zvážením Taylorova expanze funkce, která jej parametrizuje. Délka oblouku křivky na povrchu a povrchové plochy lze zjistit pomocí integrace.

Zápis

Nechť je parametrický povrch dán rovnicí

${ displaystyle { vec {r}} = { vec {r}} (u, v),}$

kde ${ displaystyle { vec {r}}}$ je funkce s vektorovou hodnotou parametrů (u, proti) a parametry se v rámci určité domény liší D v parametrickém uv-letadlo. První parciální derivace s ohledem na parametry jsou obvykle označeny ${ displaystyle { vec {r}} _ {u}: = { frac { částečné { vec {r}}} { částečné u}}}$ a ${ displaystyle { vec {r}} _ {v},}$ a podobně pro vyšší deriváty, ${ displaystyle { vec {r}} _ {uu}, { vec {r}} _ {uv}, { vec {r}} _ {vv}.}$

v vektorový počet, parametry jsou často označovány (s,t) a dílčí deriváty se vypisují pomocí notace ∂:

${ displaystyle { frac { částečné { vec {r}}} { částečné s}}, { frac { částečné { vec {r}}} { částečné t}}, { frac { částečné ^ {2} { vec {r}}} { částečné s ^ {2}}}, { frac { částečné ^ {2} { vec {r}}} { částečné s částečné t} }, { frac { částečné ^ {2} { vec {r}}} { částečné t ^ {2}}}.}$

Tečná rovina a normální vektor

Parametrizace je pravidelný pro dané hodnoty parametrů, pokud jsou vektory

${ displaystyle { vec {r}} _ {u}, { vec {r}} _ {v}}$

jsou lineárně nezávislé. The tečná rovina v pravidelném bodě je afinní rovina v R³ překlenuta těmito vektory a procházející bodem r(u, proti) na povrchu určeném parametry. Libovolný tečný vektor lze jednoznačně rozložit na a lineární kombinace z ${ displaystyle { vec {r}} _ {u}}$ a ${ displaystyle { vec {r}} _ {v}.}$ The křížový produkt z těchto vektorů je a normální vektor do tečná rovina. Vydělením tohoto vektoru jeho délkou se získá jednotka normální vektor na parametrizovaný povrch v pravidelném bodě:

${ displaystyle { vec {n}} = { frac {{ vec {r}} _ {u} krát { vec {r}} _ {v}} { vlevo | { vec {r} } _ {u} times { vec {r}} _ {v} vpravo |}}.}$

Obecně existují dvě možnosti jednotky normální vektor na povrch v daném bodě, ale pro normální parametrizovaný povrch předchozí vzorec konzistentně vybere jeden z nich, a tak určuje orientace povrchu. Některé diferenciálně-geometrické invarianty povrchu v R³ jsou definovány samotným povrchem a jsou nezávislé na orientaci, zatímco jiné mění znaménko, pokud je orientace obrácená.

Plocha povrchu

The plocha povrchu lze vypočítat integrací délky normálního vektoru ${ displaystyle { vec {r}} _ {u} krát { vec {r}} _ {v}}$ na povrch přes příslušnou oblast D v parametrickém uv letadlo:

${ displaystyle A (D) = iint _ {D} vlevo | { vec {r}} _ {u} krát { vec {r}} _ {v} vpravo | dudv.}$

Ačkoli tento vzorec poskytuje uzavřený výraz pro povrchovou plochu, pro všechny, ale velmi speciální povrchy, je výsledkem komplikovaný dvojitý integrál, který se obvykle hodnotí pomocí a počítačový algebraický systém nebo numericky aproximovat. Naštěstí mnoho běžných povrchů tvoří výjimky a jejich oblasti jsou výslovně známé. To platí pro a kruhový válec, koule, kužel, torus a několik dalších rotační plochy.

To lze také vyjádřit jako a povrchový integrál přes skalární pole 1:

${ displaystyle int _ {S} 1 , dS.}$

První základní forma

The první základní forma je kvadratická forma

${ displaystyle I = E , du ^ {2} +2 , F , du , dv + G , dv ^ {2}}$

na tečná rovina k povrchu, který se používá k výpočtu vzdáleností a úhlů. Pro parametrizovaný povrch ${ displaystyle { vec {r}} = { vec {r}} (u, v),}$ jeho koeficienty lze vypočítat následovně:

${ displaystyle E = { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {u}, quad F = { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {v}, quad G = { vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {v}.}$

Délka oblouku parametrizovaných křivek na povrchu S, úhel mezi křivkami zapnutý S, a povrchová plocha všichni připouštějí výrazy ve smyslu první základní formy.

Pokud (u(t), proti(t)), A ≤ t ≤ b představuje parametrizovanou křivku na této ploše, lze její délku oblouku vypočítat jako integrál:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { sqrt {E , u '(t) ^ {2} + 2F , u' (t) v '(t) + G , v' ( t) ^ {2}}} , dt.}$

Na první základní formu lze pohlížet jako na rodinu pozitivní určitý symetrické bilineární tvary na tečné rovině v každém bodě plochy v závislosti na hladkosti. Tato perspektiva pomáhá vypočítat úhel mezi dvěma křivkami S protínající se v daném bodě. Tento úhel se rovná úhlu mezi vektory tečny ke křivkám. První základní forma hodnocená na této dvojici vektorů je jejich Tečkovaný produkt a úhel lze zjistit ze standardního vzorce

${ displaystyle cos theta = { frac {{ vec {a}} cdot { vec {b}}} { vlevo | { vec {a}} doprava || { vec {b} } |}}}$

vyjadřující kosinus úhlu přes bodový součin.

Povrchovou plochu lze vyjádřit z hlediska první základní formy následovně:

${ displaystyle A (D) = iint _ {D} { sqrt {EG-F ^ {2}}} , du , dv.}$

Podle Lagrangeova identita, výraz pod druhou odmocninou je přesně ${ displaystyle left | { vec {r}} _ {u} times { vec {r}} _ {v} right | ^ {2}}$, a proto je v běžných bodech přísně pozitivní.

Druhá základní forma

Druhá základní forma

${ displaystyle mathrm {II} = L , { text {d}} u ^ {2} + 2M , { text {d}} u , { text {d}} v + N , { text {d}} v ^ {2}}$

je kvadratický tvar na tečné rovině k povrchu, který spolu s první základní formou určuje zakřivení křivek na povrchu. Ve zvláštním případě, kdy (u, proti) = (X, y) a tečná rovina k povrchu v daném bodě je vodorovná, druhá základní forma je v podstatě kvadratická část Taylorova expanze z z jako funkce X a y.

Pro obecnou parametrickou plochu je definice komplikovanější, ale druhá základní forma závisí pouze na částečné derivace objednávky jedna a dvě. Jeho koeficienty jsou definovány jako projekce druhých parciálních derivací ${ displaystyle { vec {r}}}$ do normálního vektoru jednotky ${ displaystyle { vec {n}}}$ definováno parametrizací:

${ displaystyle L = { vec {r}} _ {uu} cdot { vec {n}}, quad M = { vec {r}} _ {uv} cdot { vec {n}} , quad N = { vec {r}} _ {vv} cdot { vec {n}}. quad}$

Stejně jako první základní formu lze druhou základní formu považovat za rodinu symetrických bilineárních forem na tečné rovině v každém bodě plochy v závislosti na hladkosti bodu.

Zakřivení

První a druhá základní forma povrchu určují jeho důležitou diferenciálně-geometrickou invarianty: Gaussovo zakřivení, střední zakřivení a hlavní zakřivení.

Hlavní zakřivení jsou invarianty dvojice skládající se z druhé a první základní formy. Jsou to kořeny κ₁, κ₂ kvadratické rovnice

${ displaystyle det ( mathrm {II} - kappa mathrm {I}) = 0, quad det left | { begin {matrix} L- kappa E & M- kappa F M- kappa F & N- ​​ kappa G end {matrix}} right | = 0.}$

The Gaussovo zakřivení K. = κ₁κ₂ a střední zakřivení H = (κ₁ + κ₂) / 2 lze vypočítat takto:

${ displaystyle K = {LN-M ^ {2} přes EG-F ^ {2}}, quad H = {EN-2FM + GL přes 2 (EG-F ^ {2})}}}$

Až do znaménka jsou tyto veličiny nezávislé na použité parametrizaci, a proto tvoří důležité nástroje pro analýzu geometrie povrchu. Přesněji řečeno, hlavní zakřivení a střední zakřivení mění znaménko, pokud je obrácena orientace povrchu, a Gaussovo zakřivení je zcela nezávislé na parametrizaci.

Znaménko Gaussova zakřivení v bodě určuje tvar povrchu poblíž tohoto bodu: pro K. > 0 je povrch lokálně konvexní a bod se nazývá eliptický, zatímco pro K. <0 má povrch sedlo a je volán bod hyperbolický. Volají se body, ve kterých je Gaussovo zakřivení nulové parabolický. Obecně platí, že parabolické body tvoří křivku na povrchu zvanou parabolická linka. První základní forma je pozitivní určitý, proto jeho determinant NAPŘ − F² je všude pozitivní. Proto znamení K. se shoduje se znamením LN − M², determinant druhého základu.

Koeficienty první základní forma uvedené výše mohou být uspořádány v symetrické matici:

${ displaystyle F_ {1} = { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}}.}$

A totéž platí pro koeficienty druhá základní forma, také uvedeno výše:

${ displaystyle F_ {2} = { begin {bmatrix} L&M M&N end {bmatrix}}.}$

Definování nyní matice ${ displaystyle A = F_ {1} ^ {- 1} F_ {2}}$, hlavní zakřivení κ₁ a κ₂ jsou vlastní čísla z A.^[1]

Teď když proti₁=(proti₁₁,proti₁₂) je vlastní vektor z A odpovídající hlavnímu zakřivení κ₁, jednotkový vektor ve směru ${ displaystyle { vec {t}} _ {1} = v_ {11} { vec {r}} _ {u} + v_ {12} { vec {r}} _ {v}}$ se nazývá jistinový vektor odpovídající zakřivení jistiny κ₁.

Proto, pokud proti₂=(proti₂₁,proti₂₂) je vlastní vektor z A odpovídající hlavnímu zakřivení κ₂, jednotkový vektor ve směru ${ displaystyle { vec {t}} _ {2} = v_ {21} { vec {r}} _ {u} + v_ {22} { vec {r}} _ {v}}$ se nazývá jistinový vektor odpovídající zakřivení jistiny κ₂.

Viz také

• Spline (matematika)
• Normální povrch

Reference

externí odkazy

• Applety Java demonstrují parametrizaci povrchu šroubovice
• m-ART (3d) - Aplikace iPad / iPhone pro generování a vizualizaci parametrických povrchů.