Ekvivalentní definice matematických struktur - Equivalent definitions of mathematical structures

V matematice ekvivalentní definice jsou používány dvěma poněkud odlišnými způsoby. Nejprve v rámci konkrétní matematické teorie (například Euklidovská geometrie ), pojem (například elipsa nebo minimální povrch ) může mít více než jednu definici. Tyto definice jsou ekvivalentní v kontextu daného matematická struktura (Euklidovský prostor, v tomto případě). Zadruhé, matematická struktura může mít více než jednu definici (například topologický prostor má alespoň sedm definic; objednané pole má alespoň dvě definice ).

V prvním případě ekvivalence dvou definic znamená, že matematický objekt (například geometrické těleso) splňuje jednu definici kdyby a jen kdyby splňuje druhou definici.

V druhém případě je význam ekvivalence (mezi dvěma definicemi struktury) komplikovanější, protože struktura je abstraktnější než objekt. Mnoho různých objektů může implementovat stejnou strukturu.

Izomorfní implementace

Přirozená čísla lze implementovat jako 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0, 1} = {{}, {{}}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} a tak dále; nebo alternativně jako 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {1} = {{{}}} atd. Jsou to dva různé, ale izomorfní implementace přirozených čísel v teorii množin. Jsou izomorfní jako modely Peanoovy axiomy, tedy trojnásobek (N,0,S) kde N je množina, 0 prvek N, a S (volal nástupnická funkce ) mapa N sama sobě (splnění příslušných podmínek). V první implementaci S(n) = n ∪ {n}; ve druhé implementaci S(n) = {n}. Jak bylo zdůrazněno v Benacerrafův problém s identifikací, tyto dvě implementace se liší v odpovědi na otázku, zda 0 ∈ 2; nejde však o legitimní otázku přirozených čísel (protože vztah ∈ není stanoven příslušným podpisem (podpisy), viz následující část).[podrobnosti 1] Podobně se používají různé, ale izomorfní implementace komplexní čísla.

Odvozené struktury a kryptomorfismy

Funkce nástupce S na přirozených číslech vede k aritmetické operace, sčítání a násobení, a celková objednávka, tedy dotace N s objednal semiring struktura. Toto je příklad odvozené struktury. Objednaná semiringová struktura (N, +, ·, ≤) je odvozeno ze struktury Peano (N, 0, S) následujícím postupem:n + 0 = n,   m + S (n) = S (m + n),   m · 0 = 0,   m · S (n) = m + (m · n), a m ≤ n jen tehdy, pokud existuje k ∈ N takhle m + k = n. A naopak, struktura Peano je odvozena z uspořádané semiringové struktury následujícím způsobem: S (n) = n + 1 a 0 je definováno 0 + 0 = 0. To znamená, že tyto dvě struktury jsou zapnuty N jsou rovnocenné prostřednictvím těchto dvou postupů.

Dvě izomorfní implementace přirozených čísel, zmíněné v předchozí části, jsou izomorfní jako trojice (N,0,S), tj. struktury stejné podpis (0,S) skládající se z konstantního symbolu 0 a unární funkce S. Objednaná semiringová struktura (N, +, ·, ≤) má další podpis (+, ·, ≤) skládající se ze dvou binárních funkcí a jednoho binárního vztahu. Pojem izomorfismus se nevztahuje na struktury různých podpisů. Zejména struktura Peano nemůže být izomorfní s uspořádaným semiringem. Avšak uspořádaný semiring odvozený ze struktury Peano může být izomorfní s jiným uspořádaným semiringem. Takový vztah mezi strukturami různých podpisů se někdy nazývá a kryptomorfismus.

Ambientní rámce

Struktura může být implementována v rámci teorie množin ZFC, nebo jiná teorie množin jako např NBG, NFU, ETCS.[1] Alternativně lze ke struktuře přistupovat v rámci logika prvního řádu, logika druhého řádu, logika vyššího řádu, a teorie typů, teorie homotopy atd.[podrobnosti 2]

Struktury podle Bourbakiho

„Matematiku [...] nelze úplně vysvětlit jediným konceptem, jako je matematická struktura. Bourbakiho strukturální přístup je nicméně tím nejlepším, co máme.“ (Pudlák 2013, strana 3)
„Je zřejmé, jak se dnes může zdát pojem matematické struktury, přinejmenším to bylo výslovně vyjádřeno až v polovině 20. století. Poté to byl vliv Bourbakiho projektu a později vývoj teorie kategorií, který vytvořil pojem explicitní "(nLab ).

Podle Bourbaki, měřítko sad na dané sadě X sestává ze všech sad vyplývajících z X tím, že Kartézské výrobky a napájecí sady, v jakékoli kombinaci, konečný počet opakování. Příklady: X; X × X; P(X); P(P(X × X) × X × P(P(X))) × X. (Tady A × B je produktem A a B, a P(A) je množina A.) Zejména pár (0,S) sestávající z prvku 0 ∈ N a unární funkce S : N → N patří N × P(N × N) (od té doby funkce je podmnožinou kartézského součinu ). Trojnásobek (+, ·, ≤) skládající se ze dvou binárních funkcí N × N → N a jedna binární relace zapnuta N patří P(N × N × N) × P(N × N × N) × P(N × N). Podobně každá algebraická struktura v množině patří do odpovídající množiny v škále množin X.

Nealgebraické struktury na množině X často zahrnují sady podmnožin X (tj. podmnožiny P(X), jinými slovy prvky P(P(X))). Například struktura a topologický prostor, nazvaná topologie na X, považováno za množina „otevřených“ množin; nebo struktura měřitelného prostoru, považovaná za σ-algebra „měřitelných“ množin; oba jsou prvky P(P(X)). Jedná se o struktury druhého řádu.[2]

Složitější nealgebraické struktury kombinují algebraickou složku a nealgebraickou složku. Například struktura a topologická skupina sestává z topologie a struktury skupiny. Patří tedy k produktu P(P(X)) a další („algebraický“) nastavený v měřítku; tento produkt je opět množinou v měřítku.

Doprava staveb; izomorfismus

Hlavní článek: Přeprava konstrukce

Vzhledem k tomu, dvě sady X, Y a a bijekce F : X → Y, vytvoří se odpovídající bijekce mezi sadami stupnic. Jmenovitě, bijekce X × X → Y × Y odešle (X1,X2) do (F(X1),F(X2)); bijekce P(X) → P(Y) odešle podmnožinu A z X do jeho obraz F(A) v Y; a tak dále, rekurzivně: škálovací sada, která je buď produktem škálovacích sad, nebo výkonová sada škálovací sady, platí jedna ze dvou konstrukcí.

Nechť (X,U) a (Y,PROTI) být dvě struktury se stejným podpisem. Pak U patří do škálovací sady SX, a PROTI patří do odpovídající stupnice SY. Použití bijekce F : SX → SY postaven z bijekce F : X → Y, jeden definuje:

F je izomorfismus mezi (X,U) a (Y,PROTI) pokud F(U) = PROTI.

Tato obecná představa izomorfismu zobecňuje mnoho méně obecných pojmů uvedených níže.

Ve skutečnosti Bourbaki stanoví dvě další funkce. Nejprve několik sad X1, ..., Xn (tzv. základní základní sady) lze použít spíše než jednu sadu X. Tato funkce je však málo užitečná. Všechny výše uvedené položky používají jednu základní základní sadu. Za druhé, takzvané pomocné základní sady E1, ..., Em může být použit. Tato funkce je široce používána. Struktura vektorového prostoru vyžaduje nejen přidání X × X → X ale také skalární násobení R × X → X (li R je pole skalárů). Tím pádem, R je pomocná základní sada (nazývaná také „externí“)[3]). Škála sad se skládá ze všech sad vyplývajících ze všech základních sad (hlavních i pomocných), přičemž se berou karteziánské produkty a výkonové sady. Přesto mapa F (možná izomorfismus) působí X pouze; pomocné sady jsou vybaveny mapami totožnosti. (Nicméně případ n hlavní množiny vede k n mapy.)

Funkčnost

Několik výroků formulovaných Bourbaki bez uvedení kategorií lze snadno přeformulovat v jazyce teorie kategorií. Nejprve trochu terminologie.

  • Škála sad je indexována podle „echelonových konstrukčních schémat“,[4] nazývané také „typy“.[5][6] Jeden může myslet, řekněme, na soubor P(P(X × X) × X × P(P(X))) × X jako sada X nahrazeno vzorcem "P(P(A × A) × A × P(P(A))) × A"pro proměnnou A; tento vzorec je odpovídající konstrukční schéma echelonu.[podrobnosti 3] (Tento pojem, definovaný pro všechny struktury, lze chápat jako zobecnění podpisu definovaného pouze pro algebraické struktury.)[podrobnosti 4]
  • Nechat Soubor* označit grupoid sad a bijekcí. To znamená, že kategorie, jejíž objekty jsou (všechny) množiny, a morfismy jsou (všechny) bijekce.

Tvrzení. [7] Každé schéma konstrukce echelonu vede k funktoru z Soubor* pro sebe.

Zejména permutační skupina sady X činy na každé stupnici SX.

Aby bylo možné formulovat ještě jeden návrh, je nezbytný pojem „druh struktur“, protože schéma výstavby echelonu poskytuje pouze předběžné informace o struktuře. Například komutativní skupiny a (libovolné) skupiny jsou dva různé druhy stejného konstrukčního schématu echelonu. Další příklad: topologické prostory a měřitelné prostory. Liší se v tzv. Axiomu druhu. Tento axiom je spojením všech požadovaných vlastností, například „multiplikace je asociativní“ pro skupiny nebo „sjednocení otevřených množin je otevřená množina“ pro topologické prostory.

  • Druh struktur sestává z konstrukčního schématu echelonu a axiomu druhu.

Tvrzení. [8] Každý druh struktur vede k funktoru z Soubor* pro sebe.

Příklad. U druhů skupin funktor F mapuje sadu X do sady F(X) všech skupinových struktur na X. U druhů topologických prostorů funktor F mapuje sadu X do sady F(X) všech topologií na X. Morfismus F(F) : F(X) → F(Y) odpovídající bijekce F : X → Y je transport konstrukcí. Topologie zapnuta Y bijektivně odpovídají topologiím na X. Totéž platí pro skupinové struktury atd.

Zejména množina všech struktur daného druhu v dané sadě je invariantní pod působením permutační skupiny na odpovídající škálovací sadě SX, a je pevný bod akce skupiny na jiné škálovací sadě P(SX). Ne všechny pevné body této akce však odpovídají druhům struktur.[podrobnosti 5]

Vzhledem k dvěma druhům definuje Bourbaki pojem „postup dedukce“ (struktura druhého druhu ze struktury prvního druhu).[9] Dvojice vzájemně inverzních postupů dedukce vede k pojmu „ekvivalentní druh“.[10]

Příklad. Strukturu topologického prostoru lze definovat jako otevřená množinová topologie nebo alternativně a topologie uzavřené množiny. Dva odpovídající postupy odpočtu se shodují; každý nahrazuje všechny dané podskupiny X s jejich doplňky. V tomto smyslu se jedná o dva rovnocenné druhy.

V obecné definici Bourbakiho může procedura odpočtu zahrnovat změnu hlavní základní sady (sad), ale tento případ se zde neřeší. V jazyce teorie kategorií máme následující výsledek.

Tvrzení. [10] Rovnocennost mezi dvěma druhy struktur vede k a přirozený izomorfismus mezi odpovídajícími funktory.

Obecně však ne všechny přirozené izomorfismy mezi těmito funktory odpovídají ekvivalencím mezi druhy.[podrobnosti 6]

Matematická praxe

„Často nerozlišujeme struktury, které jsou izomorfní, a často to říkáme 'dvě struktury jsou stejné, až do izomorfismu'."[11]
„Při studiu struktur nás zajímá pouze jejich forma, ale když dokážeme jejich existenci, musíme je postavit.“[12]
„Matematici jsou samozřejmě zvyklí identifikovat izomorfní struktury v praxi, ale obecně tak činí„ zneužitím notace “nebo jiným neformálním zařízením, protože vědí, že zúčastněné objekty nejsou„ skutečně “identické.“[13] (Očekává se radikálně lepší přístup, ale prozatím léto 2014 výše uvedená konečná kniha strukturální rozpracování neuvádí.)

V praxi se nerozlišuje mezi ekvivalentními druhy struktur.[10]

Obvykle text založený na přirozených číslech (například článek „prvočíslo ") neurčuje použitou definici přirozených čísel. Podobně text založený na topologických prostorech (například článek")homotopy „nebo“indukční dimenze „) nespecifikuje použitou definici topologického prostoru. Je tedy možné (a spíše pravděpodobné), že čtenář a autor interpretují text odlišně, podle různých definic. Komunikace je nicméně úspěšná, což znamená, že takový různé definice lze považovat za rovnocenné.

Osoba obeznámená s topologickými prostory zná základní vztahy mezi sousedstvími, konvergencí, kontinuitou, hranicí, uzavřením, interiérem, otevřenými množinami, uzavřenými množinami a nemusí vědět, že některé z těchto pojmů jsou „primární“, stanovené v definici topologický prostor, zatímco jiné jsou „sekundární“, charakterizované pojmy „primární“ pojmy. Kromě toho, s vědomím, že podmnožiny topologického prostoru jsou samy topologické prostory, stejně jako produkty topologických prostorů, je osoba schopna postavit některé nové topologické prostory bez ohledu na definici.

V praxi se tedy s topologií na množině zachází jako s abstraktní datový typ který poskytuje všechny potřebné pojmy (a konstruktéři ), ale skrývá rozdíl mezi pojmy „primární“ a „sekundární“. Totéž platí pro jiné druhy matematických struktur. „Je zajímavé, že formalizace struktur v teorii množin je podobný úkol jako formalizace struktur pro počítače.“[14]

Kanonické, nejen přirozené

Jak již bylo zmíněno, ekvivalence mezi dvěma druhy struktur vede k přirozenému izomorfismu mezi odpovídajícími funktory. Nicméně, "přírodní " neznamená "kanonický Přirozená transformace není obecně jedinečná.

Příklad. Zvažte znovu dvě ekvivalentní struktury pro přirozená čísla. Jedním z nich je „Peanoova struktura“ (0,S), druhou je struktura (+, ·, ≤) uspořádaného semiring. Pokud sada X je obdarován oběma strukturami, pak na jedné straně X = { A0, A1, A2, ...} kde S(An) = An+1 pro všechny n a 0 = A0; a na druhé straně X = { b0, b1, b2, ...} kde bm+n = bm + bn, bm·n = bm · bn, a bm ≤bn kdyby a jen kdyby m ≤ n. To vyžaduje An = bn pro všechny n jeden dostane kanonickou ekvivalenci mezi těmito dvěma strukturami. Jeden však může také vyžadovat A0 = b1, A1 = b0, a An = bn pro všechny n > 1, čímž získá další, nekanonický, přirozený izomorfismus. Navíc každý permutace sady indexů {0, 1, 2, ...} vede k přirozenému izomorfismu; je jich nespočetně mnoho!

Další příklad. Struktura (jednoduchého) grafu na množině PROTI = {1, 2, ..., n} vrcholů lze popsat pomocí jeho matice sousedství, (0,1) -matice velikosti n×n (s nulami na úhlopříčce). Obecněji, pro libovolné PROTI funkce sousedství na PROTI × PROTI může být použit. Kanonická ekvivalence je dána pravidlem: „1“ znamená „připojeno“ (s okrajem), „0“ znamená „nepřipojeno“. Může se však použít jiné pravidlo „0“ znamená „připojeno“, „1“ znamená „ne“ a vede k další, přirozené, ale nikoli kanonické rovnocennosti. V tomto příkladu je kanonicita spíše věcí konvence. Ale tady je horší případ. Místo „0“ a „1“ lze použít, řekněme, dvě možné orientace roviny R2 („ve směru hodinových ručiček“ a „proti směru hodinových ručiček“). V tomto případě je obtížné zvolit kanonické pravidlo!

„Přirozený“ je přesně definovaný matematický pojem, ale nezaručuje jedinečnost. „Canonical“ ano, ale obecně je víceméně konvenční. Důsledný výběr kanonických ekvivalentů je nevyhnutelnou součástí ekvivalentních definic matematických struktur.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Technicky je „0 ∈ 2“ příkladem nepřenosného vztahu, viz Bourbaki 1968, Oddíl IV.1.3, Marshall & Chuaqui 1991.
  2. ^ Rozumná volba rámce prostředí by neměla měnit základní vlastnosti struktury, ale může měnit prokazatelnost jemnějších vlastností. Například některé věty o přirozených číslech jsou prokazatelné v teorii množin (a některých dalších silných systémech), ale neprokazatelné v logice prvního řádu; vidět Paříž – Harringtonova věta a Goodsteinova věta. Totéž platí pro definovatelnost; viz například Tarskiho věta o nedefinovatelnosti.
  3. ^ Aby byl Bourbaki formálnější, kóduje takové vzorce se sekvencemi uspořádaných párů přirozených čísel.
  4. ^ Na jedné straně je možné vyloučit karteziánské produkty, zacházení s párem (X,y) právě jako sada {{X},{X,y}}. Na druhou stranu je možné zahrnout nastavenou operaci X,Y->YX (všechny funkce od X na Y). „Je možné tuto záležitost zjednodušit tím, že budeme operace a funkce považovat za speciální druh vztahů (například binární operace je ternární relace). Poměrně často je však výhodou mít operace jako primitivní koncept.“ Pudlák 2013, strana 17
  5. ^ Soubor všech možných axiomů druhů je počitatelný, zatímco množina všech pevných bodů uvažované akce může být nespočetná. Tarski je "logické představy vyššího řádu "jsou blíže pevným bodům než druhům struktur, viz Feferman 2010 a odkazy z nich.
  6. ^ Sada všech možných procedur dedukce je spočítatelná, zatímco sada všech přirozených izomorfismů mezi uvažovanými funktory může být nespočetná (viz příklad v sekci # Kanonický, nejen přirozený ).

Poznámky pod čarou

  1. ^ O ETCS viz Teorie typů # Matematické základy
  2. ^ Pudlák 2013, strany 10–11
  3. ^ Pudlák 2013, strana 12
  4. ^ Bourbaki 1968, Oddíl IV.1.1
  5. ^ Pudlák 2013, strana 10
  6. ^ Marshall & Chuaqui 1991, §2
  7. ^ Bourbaki 1968, Oddíl IV.1.2
  8. ^ Bourbaki 1968, Oddíl IV.1.5
  9. ^ Bourbaki 1968, Oddíl IV.1.6
  10. ^ A b C Bourbaki 1968, Oddíl IV.1.7
  11. ^ Pudlák 2013, strana 13
  12. ^ Pudlák 2013, strana 22
  13. ^ Program Univalent Foundations 2013 Podsekce „Univalentní základy“ úvodu
  14. ^ Pudlák 2013, strana 34

Reference

  • Pudlák, Pavel (2013), Logické základy matematiky a výpočetní složitosti. Jemný úvodSpringer.
  • Bourbaki, Nicolasi (1968), Základy matematiky: Teorie množin, Hermann (originál), Addison-Wesley (překlad).

Další čtení

externí odkazy