Goodsteinova věta - Goodsteins theorem - Wikipedia

v matematická logika, Goodsteinova věta je prohlášení o přirozená čísla, prokázáno Reuben Goodstein v roce 1944, kde se uvádí, že každý Goodsteinova sekvence nakonec končí na 0. Kirby a Paříž^[1] ukázal, že je neprokazatelné v Peano aritmetika (ale lze to dokázat v silnějších systémech, jako je aritmetika druhého řádu ). Toto byl třetí příklad pravdivého tvrzení, které je v aritmetice Peano neprokazatelné Gödelova věta o neúplnosti a Gerhard Gentzen Přímý důkaz neprokazatelnosti ε z roku 1943₀-indukce v Peano aritmetice. The Paříž – Harringtonova věta byl pozdější příklad.

Laurence Kirby a Jeff Paris představil grafovou teoretiku hra hydra s chováním podobným chování Goodsteinových sekvencí: „Hydra“ (pojmenovaná pro mytologické vícehlavé Hydra z Lerny ) je zakořeněný strom a tah spočívá v odříznutí jedné z jeho „hlav“ (větve stromu), na které hydra reaguje růstem konečného počtu nových hlav podle určitých pravidel. Kirby a Paris dokázali, že Hydra bude nakonec zabita bez ohledu na strategii, kterou Hercules používá k usekávání hlav, i když to může trvat velmi dlouho. Stejně jako u Goodsteinových sekvencí, Kirby a Paris ukázali, že to nelze dokázat pouze v aritmetice Peano.^[1]

Dědičná základnan notace

Goodsteinovy ​​sekvence jsou definovány v pojmech nazývaných „dědičné základy -n tento zápis je velmi podobný obvyklému základun poziční notace, ale obvyklá notace pro účely Goodsteinovy ​​věty nestačí.

V běžné základněn zápis, kde n je přirozené číslo větší než 1, libovolné přirozené číslo m je psán jako součet násobků mocnin n:

${ displaystyle m = a_ {k} n ^ {k} + a_ {k-1} n ^ {k-1} + cdots + a_ {0},}$

kde každý koeficient A_i splňuje 0 ≤ A_i < n, a A_k ≠ 0. Například v základně 2

${ displaystyle 35 = 32 + 2 + 1 = 2 ^ {5} + 2 ^ {1} + 2 ^ {0}.}$

Takže reprezentace 35 základny-2 je 1 00011, což znamená 2⁵ + 2 + 1. Podobně 100 zastoupených v základně 3 je 10201:

${ displaystyle 100 = 81 + 18 + 1 = 3 ^ {4} +2 cdot 3 ^ {2} + 3 ^ {0}.}$

Všimněte si, že samotné exponenty nejsou zapsányn notace. Například výše uvedené výrazy zahrnují 2⁵ a 3⁴a 5> 2, 4> 3.

Chcete-li převést základnun zastoupení na dědičné základněn notace, nejprve přepiš všechny exponenty v base-n notace. Poté přepište libovolné exponenty uvnitř exponentů a pokračujte tímto způsobem, dokud nebude každé číslo, které se objeví ve výrazu (kromě samotných bází) převedeno na base-n notace.

Například zatímco v běžné notaci base-2 je 35 2⁵ + 2 + 1, je napsáno v dědičné notaci základny-2 jako

${ displaystyle 35 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {1}} + 1} + 2 ^ {1} +1,}$

díky tomu, že 5 = 2² + 1. Podobně 100 v dědičné notaci base-3

${ displaystyle 100 = 3 ^ {3 ^ {1} +1} +2 cdot 3 ^ {2} +1.}$

Goodsteinovy ​​sekvence

The Goodsteinova sekvence G(m) čísla m je posloupnost přirozených čísel. První prvek v pořadí G(m) je m sám. Chcete-li získat druhý, G(m) (2), napište m v dědičné notaci základny-2 změňte všechny 2 s na 3 s a poté odečtěte 1 od výsledku. Obecně platí, že (n + 1) -st období G(m)(n + 1) sekvence Goodstein z m je následující:

• Vezměte dědičnou základnu -n + 1 zastoupení G(m)(n).
• Nahraďte každý výskyt základny-n + 1 s n + 2.
• Odečtěte jednu. (Další termín závisí jak na předchozím termínu, tak na indexu n.)
• Pokračujte, dokud není výsledek nula, a poté sekvence končí.

Časné Goodsteinovy ​​sekvence rychle končí. Například, G(3) končí v 6. kroku:

Základna	Dědičná notace	Hodnota	Poznámky
2	${ displaystyle 2 ^ {1} +1}$	3	Napište 3 do notace base-2
3	${ displaystyle 3 ^ {1} + 1-1 = 3 ^ {1}}$	3	Přepněte 2 na 3 a poté odečtěte 1
4	${ displaystyle 4 ^ {1} -1 = 3}$	3	Přepněte 3 na 4 a poté odečtěte 1. Nyní již nezbývají žádné 4 s
5	${ displaystyle 3-1 = 2}$	2	Nezbývají žádné 4 s pro přepnutí na 5 s. Stačí odečíst 1
6	${ displaystyle 2-1 = 1}$	1	Zbývá 5 s pro přepnutí na 6 s. Stačí odečíst 1
7	${ displaystyle 1-1 = 0}$	0	Zbývá 6 s pro přepnutí na 7 s. Stačí odečíst 1

Později se Goodsteinovy ​​sekvence zvyšují pro velmi velký počet kroků. Například, G(4) OEIS: A056193 začíná následovně:

Základna	Dědičná notace	Hodnota
2	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {1}}}$	4
3	${ displaystyle 3 ^ {3 ^ {1}} - 1 = 2 cdot 3 ^ {2} +2 cdot 3 + 2}$	26
4	${ displaystyle 2 cdot 4 ^ {2} +2 cdot 4 + 1}$	41
5	${ displaystyle 2 cdot 5 ^ {2} +2 cdot 5}$	60
6	${ displaystyle 2 cdot 6 ^ {2} +2 cdot 6-1 = 2 cdot 6 ^ {2} + 6 + 5}$	83
7	${ displaystyle 2 cdot 7 ^ {2} + 7 + 4}$	109
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
11	${ displaystyle 2 cdot 11 ^ {2} +11}$	253
12	${ displaystyle 2 cdot 12 ^ {2} + 12-1 = 2 cdot 12 ^ {2} +11}$	299
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
24	${ displaystyle 2 cdot 24 ^ {2} -1 = 24 ^ {2} +23 cdot 24 + 23}$	1151
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
${ displaystyle B = 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209} -1}$	${ displaystyle 2 cdot B ^ {1}}$	${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 210} -2}$
${ displaystyle B = 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209}}$	${ displaystyle 2 cdot B ^ {1} -1 = B ^ {1} + (B-1)}$	${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 210} -1}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$

Prvky G(4) na chvíli dále rostou, ale na základně ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209}}$, dosahují maxima ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 210} -1}$, zůstaňte tam další ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209}}$ kroky a poté začněte svůj první sestup.

Hodnota 0 je dosažena na základně ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 211} -1}$. (Kupodivu, toto je Číslo Woodall: ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 211} -1 = 402 , 653 , 184 cdot 2 ^ {402 , 653 , 184} -1}$. To je také případ všech ostatních konečných bází pro počáteční hodnoty větší než 4.^{[Citace je zapotřebí ]})

Dokonce však G(4) nedává dobrou představu o spravedlnosti jak rychle se mohou prvky Goodsteinovy ​​sekvence zvýšit.G(19) se zvyšuje mnohem rychleji a začíná následovně:

Dědičná notace	Hodnota
${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} + 2 + 1}$	19
${ displaystyle 3 ^ {3 ^ {3}} + 3}$	7625597484990
${ displaystyle 4 ^ {4 ^ {4}} + 3}$	${ displaystyle přibližně 1,3 krát 10 ^ {154}}$
${ displaystyle 5 ^ {5 ^ {5}} + 2}$	${ displaystyle přibližně 1,8 krát 10 ^ {2 , 184}}$
${ displaystyle 6 ^ {6 ^ {6}} + 1}$	${ displaystyle přibližně 2,6 krát 10 ^ {36 , 305}}$
${ displaystyle 7 ^ {7 ^ {7}}}$	${ displaystyle přibližně 3,8 krát 10 ^ {695 , 974}}$
${ displaystyle 8 ^ {8 ^ {8}} - 1 = 7 cdot 8 ^ {7 cdot 8 ^ {7} +7 cdot 8 ^ {6} +7 cdot 8 ^ {5} +7 cdot 8 ^ {4} +7 cdot 8 ^ {3} +7 cdot 8 ^ {2} +7 cdot 8 + 7}}$ ${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {7 cdot 8 ^ {7} +7 cdot 8 ^ {6} +7 cdot 8 ^ {5} +7 cdot 8 ^ {4} +7 cdot 8 ^ {3} +7 cdot 8 ^ {2} +7 cdot 8 + 6} + cdots}$ ${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {8 + 2} +7 cdot 8 ^ {8 + 1} +7 cdot 8 ^ {8}}$${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {7} +7 cdot 8 ^ {6} +7 cdot 8 ^ {5} +7 cdot 8 ^ {4}}$${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {3} +7 cdot 8 ^ {2} +7 cdot 8 + 7}$	${ displaystyle přibližně 6 krát 10 ^ {15 , 151 , 335}}$
${ displaystyle 7 cdot 9 ^ {7 cdot 9 ^ {7} +7 cdot 9 ^ {6} +7 cdot 9 ^ {5} +7 cdot 9 ^ {4} +7 cdot 9 ^ {3} +7 cdot 9 ^ {2} +7 cdot 9 + 7}}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {7 cdot 9 ^ {7} +7 cdot 9 ^ {6} +7 cdot 9 ^ {5} +7 cdot 9 ^ {4} +7 cdot 9 ^ {3} +7 cdot 9 ^ {2} +7 cdot 9 + 6} + cdots}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {9 + 2} +7 cdot 9 ^ {9 + 1} +7 cdot 9 ^ {9}}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {7} +7 cdot 9 ^ {6} +7 cdot 9 ^ {5} +7 cdot 9 ^ {4}}$${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {3} +7 cdot 9 ^ {2} +7 cdot 9 + 6}$	${ displaystyle přibližně 4,3 krát 10 ^ {369 , 693 , 099}}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$

Navzdory tomuto rychlému růstu to uvádí Goodsteinova věta každá Goodsteinova sekvence nakonec končí na 0, bez ohledu na to, jaká je počáteční hodnota.

Důkaz o Goodsteinově teorému

Goodsteinovu větu lze dokázat (pomocí technik mimo Peanoovu aritmetiku, viz níže) následovně: Vzhledem k Goodsteinově posloupnosti G(m), vytvoříme paralelní sekvenci P(m) z řadové číslovky který se přísně snižuje a končí. Pak G(m) musí také skončit a může se ukončit, pouze když jde na 0. Běžným nepochopením tohoto důkazu je věřit, že G(m) jde na 0 protože dominuje to P(m). Vlastně skutečnost P(m) dominuje G(m) nehraje vůbec žádnou roli. Důležitým bodem je: G(m)(k) existuje tehdy a jen tehdy, když P(m)(k) existuje (paralelismus). Pak pokud P(m) končí, stejně tak končí G(m). A G(m) lze ukončit, pouze pokud dojde k 0.

Definujeme funkci ${ displaystyle f = f (u, k)}$ který počítá dědičnou základnu k zastoupení u a poté nahradí každý výskyt báze k s prvním nekonečným pořadové číslo ω. Například, ${ displaystyle f (100,3) = f (3 ^ {3 ^ {1} +1} +2 cdot 3 ^ {2} +1,3) = omega ^ { omega ^ {1} +1 } +2 omega ^ {2} + 1 = omega ^ { omega +1} +2 omega ^ {2} +1}$.

Každý termín P(m)(n) sekvence P(m) je pak definován jako F(G(m)(n),n + 1). Například, G(3)(1) = 3 = 2¹ + 2⁰ a P(3)(1) = F(2¹ + 2⁰, 2) = ω¹ + ω⁰ = ω + 1. Sčítání, násobení a umocňování řadových čísel je dobře definováno.

Tvrdíme to ${ Displaystyle f (G (m) (n), n + 1)> f (G (m) (n + 1), n ​​+ 2)}$:

Nechat ${ displaystyle G '(m) (n)}$ být G(m)(n) po aplikaci první, změna základny operace při generování dalšího prvku sekvence Goodstein, ale před druhým minus 1 provoz v této generaci. Dodržujte to ${ Displaystyle G (m) (n + 1) = G '(m) (n) -1}$.

Pak jasně, ${ Displaystyle f (G (m) (n), n + 1) = f (G '(m) (n), n + 2)}$. Nyní aplikujeme minus 1 provoz a ${ Displaystyle f (G '(m) (n), n + 2)> f (G (m) (n + 1), n ​​+ 2)}$, tak jako ${ displaystyle G '(m) (n) = G (m) (n + 1) +1}$.Například, ${ displaystyle G (4) (1) = 2 ^ {2}}$ a ${ displaystyle G (4) (2) = 2 cdot 3 ^ {2} +2 cdot 3 + 2}$, tak ${ displaystyle f (2 ^ {2}, 2) = omega ^ { omega}}$ a ${ displaystyle f (2 cdot 3 ^ {2} +2 cdot 3 + 2,3) = 2 omega ^ {2} +2 omega +2}$, který je přísně menší. Všimněte si, že za účelem výpočtu f (G (m) (n), n + 1), musíme nejprve napsat G(m)(n) v dědičné základně n+1 notace, jako například výraz ${ displaystyle omega ^ { omega} -1}$ buď nedává smysl, nebo se rovná ${ displaystyle omega ^ { omega}}$.

Tedy sekvence P(m) se přísně snižuje. Protože standardní pořadí opodstatněný, nemůže existovat nekonečně přísně klesající posloupnost, nebo ekvivalentně každá přísně se snižující posloupnost řadových čísel končí (a nemůže být nekonečná). Ale P(m)(n) se počítá přímo z G(m)(n). Proto sekvence G(m) musí také ukončit, což znamená, že musí dosáhnout 0.

I když je tento důkaz Goodsteinovy ​​věty poměrně snadný, Kirby – Parisova věta,^[1] což ukazuje, že Goodsteinova věta není teorémem Peanoovy aritmetiky, je technická a podstatně obtížnější. Využívá to spočítatelné nestandardní modely Peanoovy aritmetiky.

Rozšířená Goodsteinova věta

Předpokládejme, že definice sekvence Goodstein je změněna tak, že místo nahrazení každého výskytu základny b s b+1nahradí jej b+2. Skončila by sekvence stále? Obecněji řečeno b₁, b₂, b₃,… Být libovolné sekvence celých čísel. Pak nechte n+ 1období G(m)(n+1) prodloužené Goodsteinovy ​​sekvence z m následujte: vezměte si dědičnou základnu b_n zastoupeníG(m)(n) a nahradit každý výskyt základny b_ns b_n+1 a pak odečíst jeden. Tvrzení je, že tato posloupnost stále končí P(m)(n) = F(G(m)(n), n) následuj: vezmi dědičnou základnu b_n zastoupeníG(m)(n) a nahradit každý výskyt základnyb_n s prvním nekonečným pořadové číslo ω změna základny provoz sekvence Goodstein, když jde od G(m)(n) až G(m)(n+1) stále nemění hodnotu FNapříklad pokud b_n = 4 a pokud b_n+1 = 9,pak${ displaystyle f (3 cdot 4 ^ {4 ^ {4}} + 4,4) = 3 omega ^ { omega ^ { omega}} + omega = f (3 cdot 9 ^ {9 ^ {9}} + 9,9)}$, proto ordinální ${ displaystyle f (3 cdot 4 ^ {4 ^ {4}} + 4,4)}$ je přísně větší než pořadové číslo ${ displaystyle f ((3 cdot 9 ^ {9 ^ {9}} + 9) -1,9).}$

Délka sekvence jako funkce počáteční hodnoty

The Funkce Goodstein, ${ displaystyle { mathcal {G}}: mathbb {N} do mathbb {N}}$, je definován tak, že ${ displaystyle { mathcal {G}} (n)}$ je délka Goodsteinovy ​​sekvence, která začíná n. (Toto je celková funkce protože každá Goodsteinova sekvence končí.) Extrémní tempo růstu ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ lze kalibrovat vztahem k různým standardním pořadovým indexovaným hierarchiím funkcí, jako jsou funkce ${ displaystyle H _ { alpha}}$ v Hardy hierarchie a funkce ${ displaystyle f _ { alpha}}$ v rychle rostoucí hierarchie Löba a Wainera:

• Kirby a Paris (1982) to dokázali

${ displaystyle { mathcal {G}}}$ má přibližně stejnou míru růstu jako ${ displaystyle H _ { epsilon _ {0}}}$ (což je stejné jako u ${ displaystyle f _ { epsilon _ {0}}}$); přesněji, ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ dominuje ${ displaystyle H _ { alpha}}$ pro každého ${ displaystyle alpha < epsilon _ {0}}$, a ${ displaystyle H _ { epsilon _ {0}}}$ dominuje ${ displaystyle { mathcal {G}} , !.}$

(Pro libovolné dvě funkce ${ displaystyle f, g: mathbb {N} až mathbb {N}}$, ${ displaystyle f}$ říká se ovládat ${ displaystyle g}$ -li ${ displaystyle f (n)> g (n)}$ pro všechny dostatečně velké ${ displaystyle n}$.)

• Cichon (1983) to ukázal

${ displaystyle { mathcal {G}} (n) = H_ {R_ {2} ^ { omega} (n + 1)} (1) -1,}$

kde ${ displaystyle R_ {2} ^ { omega} (n)}$ je výsledkem uvedení n v dědičné notaci základny-2 a poté nahradil všechny 2 s ω (jak to bylo provedeno v důkazu Goodsteinovy ​​věty).

• Caicedo (2007) ukázal, že pokud ${ displaystyle n = 2 ^ {m_ {1}} + 2 ^ {m_ {2}} + cdots + 2 ^ {m_ {k}}}$ s ${ displaystyle m_ {1}> m_ {2}> cdots> m_ {k},}$ pak

${ displaystyle { mathcal {G}} (n) = f_ {R_ {2} ^ { omega} (m_ {1})} (f_ {R_ {2} ^ { omega} (m_ {2}) } ( cdots (f_ {R_ {2} ^ { omega} (m_ {k})} (3)) cdots)) - 2}$.

Nějaké příklady:

n			${ displaystyle { mathcal {G}} (n)}$
1	${ displaystyle 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2-1}$	${ displaystyle H _ { omega} (1) -1}$	${ displaystyle f_ {0} (3) -2}$	2
2	${ displaystyle 2 ^ {1}}$	${ displaystyle 2 ^ {1} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega +1} (1) -1}$	${ displaystyle f_ {1} (3) -2}$	4
3	${ displaystyle 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} -1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega}} (1) -1}$	${ displaystyle f_ {1} (f_ {0} (3)) - 2}$	6
4	${ displaystyle 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega} +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (3) -2}$	3·2402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10121210694
5	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega} + omega} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (f_ {0} (3)) - 2}$	> A (4,4)>${ displaystyle {10 ^ {10 ^ {10 ^ {19728}}}}}$
6	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 ^ {1}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega} + omega +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (f_ {1} (3)) - 2}$	> A(6,6)
7	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} -1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega +1}} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (f_ {1} (f_ {0} (3))) - 2}$	> A(8,8)
8	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega +1} +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega +1} (3) -2}$	> A3(3,3) = A(A(61, 61), A(61, 61))
${ displaystyle vdots}$
12	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} + 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} + 2 ^ {2} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega +1} + omega ^ { omega} +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega +1} (f _ { omega} (3)) - 2}$	> Fω + 1(64) > Grahamovo číslo
${ displaystyle vdots}$
19	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} + 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} + 2 ^ {2} -1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega ^ { omega}} + omega ^ { omega}} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega ^ { omega}} (f_ {1} (f_ {0} (3))) - 2}$

(Pro Ackermannova funkce a Grahamovo číslo hranice viz rychle rostoucí hierarchie # Funkce v rychle rostoucích hierarchiích.)

Aplikace na vypočítatelné funkce

Goodsteinovu větu lze použít ke konstrukci úhrnu vypočítatelná funkce že Peanoova aritmetika nemůže být úplná. Goodsteinovu posloupnost čísla lze efektivně vyjmenovat pomocí a Turingův stroj; tedy funkce, která mapuje n na počet kroků požadovaných pro Goodsteinovu sekvenci n ukončit je vypočítatelný konkrétním Turingovým strojem. Tento stroj pouze vyjmenuje Goodsteinovu sekvenci n a když sekvence dosáhne 0, vrací délku sekvence. Protože každá Goodsteinova sekvence nakonec končí, je tato funkce úplná. Ale protože Peanoova aritmetika nedokazuje, že každá Goodsteinova sekvence končí, Peanoova aritmetika nedokazuje, že tento Turingův stroj počítá celkovou funkci.

Viz také

• Nestandardní model aritmetiky
• Rychle rostoucí hierarchie
• Paříž – Harringtonova věta
• Kanamori – McAloonova věta
• Kruskalova věta o stromu

Reference

Bibliografie

• Goodstein, R. (1944), „O omezené ordinální větě“, Journal of Symbolic Logic, 9 (2): 33–41, doi:10.2307/2268019, JSTOR  2268019, S2CID  235597.
• Cichon, E. (1983), „Krátký důkaz dvou nedávno objevených výsledků nezávislosti pomocí rekurzivních teoretických metod“, Proceedings of the American Mathematical Society, 87 (4): 704–706, doi:10.2307/2043364, JSTOR  2043364.
• Caicedo, A. (2007), "Goodsteinova funkce" (PDF), Revista Colombiana de Matemáticas, 41 (2): 381–391.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Goodsteinova sekvence". MathWorld.
• Některé prvky důkazu, že Goodsteinova věta není teorémem PA, z bakalářské práce Justina T Millera
• Klasifikace nestandardních modelů Peano aritmetiky podle Goodsteinovy ​​věty - Práce od Dana Kaplana, Franklana a Marshall College Library
• Definice Goodsteinových sekvencí v Haskellově a lambda kalkulu
• Hra Hydra implementována jako applet Java
• Javascriptová implementace varianty hry Hydra
• Goodstein Sequences: The Power of Detour via Infinity - dobrá expozice s ilustracemi Goodstein Sequences a hrou hydra.
• Goodstein kalkulačka