Frobenius kovariant - Frobenius covariant
v teorie matic, Frobenius covariants a čtvercová matice A jsou jeho speciální polynomy, jmenovitě projekce matice Ai spojené s vlastní čísla a vlastní vektory z A.[1]:403 437–8 Jsou pojmenovány po matematikovi Ferdinand Frobenius.
Každý kovariant je a projekce na vlastní prostor spojené s vlastním číslem λiFrobeniovy koeficienty jsou koeficienty Sylvesterův vzorec, který vyjadřuje a funkce matice F(A) jako maticový polynom, konkrétně lineární kombinace hodnot této funkce na vlastních hodnotách A.
Formální definice
Nechat A být diagonalizovatelná matice s vlastními hodnotami λ1, …, λk.
Fvareniusův kovariant Ai, pro i = 1,…, k, je matice
Je to v zásadě Lagrangeův polynom s argumentem matice. Pokud vlastní číslo λi je jednoduché, pak jako idempotentní projekční matice do jednorozměrného podprostoru, Ai má jednotku stopa.
Výpočet kovarianty
Frobeniovi kovarianty matice A lze získat od kteréhokoli vlastní složení A = BL−1, kde S není singulární a D je úhlopříčka s Di,i = λi. Li A nemá více vlastních čísel, pak nechte Ci být ipravý vlastní vektor A, toto je ith sloupec S; a nechte ri být ilevý vlastní vektor A, jmenovitě itř. řada S−1. Pak Ai = Ci ri.
Li A má vlastní číslo λi poté se zobrazí vícekrát Ai = Σj Cj rj, kde součet přesahuje všechny řádky a sloupce spojené s vlastním číslem λi.[1]:str.521
Příklad
Zvažte matici dva ku dvěma:
Tato matice má dvě vlastní čísla, 5 a −2; proto (A−5)(A+2)=0.
Odpovídající vlastní rozklad je
Proto jsou zjevně projekce Frobeniovy kovarianty
s
Poznámka trA1= trA2=1, podle potřeby.