Linnikova věta - Linniks theorem - Wikipedia

Linnikova věta v analytická teorie čísel odpoví na přirozenou otázku poté Dirichletova věta o aritmetických postupech. Tvrdí, že existují pozitivní C a L takové, když označíme p(A,d) nejméně připravit v aritmetické posloupnosti

kde n proběhne pozitivem celá čísla a A a d jsou kladné coprime celá čísla s 1 ≤ A ≤ d - 1, pak:

Věta je pojmenována po Jurij Vladimirovič Linnik, který to dokázal v roce 1944.[1][2] Ačkoli se ukázal důkaz Linnik C a L být efektivně vypočítatelné, neposkytl pro ně žádné číselné hodnoty.

Vlastnosti

Je známo že L ≤ 2 pro téměř všechny celá čísla d.[3]

Na zobecněná Riemannova hypotéza lze to ukázat

kde je totient funkce.[4]a silnější

bylo také prokázáno.[5]

Předpokládá se také, že:

[4]

Hranice pro L

Konstanta L je nazýván Linnikova konstanta [6] a následující tabulka ukazuje pokrok, kterého bylo dosaženo při určování jeho velikosti.

L ≤Rok vydáníAutor
100001957Pánev[7]
54481958Pánev
7771965Chen[8]
6301971Jutila
5501970Jutila[9]
1681977Chen[10]
801977Jutila[11]
361977Graham[12]
201981Graham[13] (předloženo před Chenovým dokumentem z roku 1979)
171979Chen[14]
161986Wang
13.51989Chen a Liu[15][16]
81990Wang[17]
5.51992Heath-Brown[4]
5.182009Xylouris[18]
52011Xylouris[19]

Navíc ve výsledku Heath-Browna konstanta C je skutečně vypočítatelný.

Poznámky

  1. ^ Linnik, Yu. V. (1944). "Na nejméně prime v aritmetickém postupu I. Základní věta". Rec. Matematika. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57): 139–178. PAN  0012111.
  2. ^ Linnik, Yu. V. (1944). „Nejméně připraven v aritmetickém postupu II. Deuring-Heilbronnův jev“. Rec. Matematika. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57): 347–368. PAN  0012112.
  3. ^ Bombieri, Enrico; Friedlander, John B.; Iwaniec, Henryk (1989). „Připraví v aritmetických postupech k velkým modulům. III“. Journal of the American Mathematical Society. 2 (2): 215–224. doi:10.2307/1990976. JSTOR  1990976. PAN  0976723.
  4. ^ A b C Heath-Brown, Roger (1992). „Nulové oblasti pro Dirichletovy L-funkce a nejméně připravené v aritmetickém postupu“. Proc. London Math. Soc. 64 (3): 265–338. doi:10.1112 / plms / s3-64.2.265. PAN  1143227.
  5. ^ Lamzouri, Y .; Li, X .; Soundararajan, K. (2015). "Podmíněné hranice pro nejméně kvadratické nezbytky a související problémy". Matematika. Comp. 84 (295): 2391–2412. arXiv:1309.3595. doi:10.1090 / S0025-5718-2015-02925-1. S2CID  15306240.
  6. ^ Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Problémové knihy z matematiky. 1 (Třetí vydání.). New York: Springer-Verlag. str. 22. doi:10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN  978-0-387-20860-2. PAN  2076335.
  7. ^ Pan, Cheng Dong (1957). "Nejméně připraven v aritmetickém postupu". Sci. Záznam. Nová řada. 1: 311–313. PAN  0105398.
  8. ^ Chen, Jingrun (1965). "Nejméně připraven v aritmetickém postupu". Sci. Sinica. 14: 1868–1871.
  9. ^ Jutila, Matti (1970). "Nový odhad pro Linníkovu konstantu". Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 471. PAN  0271056.
  10. ^ Chen, Jingrun (1977). „Nejméně připraven v aritmetickém postupu a dvě věty týkající se nul Dirichletových $ L $ funkcí“. Sci. Sinica. 20 (5): 529–562. PAN  0476668.
  11. ^ Jutila, Matti (1977). „Na Linníkově konstantě“. Matematika. Scand. 41 (1): 45–62. doi:10,7146 / math.scand.a-11701. PAN  0476671.
  12. ^ Graham, Sidney West (1977). Aplikace sítových metod (Ph.D.). Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan. PAN  2627480.
  13. ^ Graham, S. W. (1981). „Na Linníkově konstantě“. Acta Arith. 39 (2): 163–179. doi:10,4064 / aa-39-2-163-179. PAN  0639625.
  14. ^ Chen, Jingrun (1979). „Nejméně připraven v aritmetickém postupu a věty týkající se nul Dirichletových funkcí $ L $. II.“ Sci. Sinica. 22 (8): 859–889. PAN  0549597.
  15. ^ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). „Nejméně připraven v aritmetickém postupu. III“. Science in China Series A: Mathematics. 32 (6): 654–673. PAN  1056044.
  16. ^ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). „Nejméně připraven v aritmetickém postupu. IV“. Science in China Series A: Mathematics. 32 (7): 792–807. PAN  1058000.
  17. ^ Wang, Wei (1991). "Nejméně připraven v aritmetickém postupu". Acta Mathematica Sinica. Nová řada. 7 (3): 279–288. doi:10.1007 / BF02583005. PAN  1141242. S2CID  121701036.
  18. ^ Xylouris, Triantafyllos (2011). "Na Linníkovu konstantu". Acta Arith. 150 (1): 65–91. doi:10,4064 / aa150-1-4. PAN  2825574.
  19. ^ Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [Nuly Dirichletových L-funkcí a nejmenší primární v aritmetickém postupu] (Disertační práce pro titul doktora matematiky a přírodních věd) (v němčině). Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. PAN  3086819.