Brun – Titchmarshova věta - Brun–Titchmarsh theorem - Wikipedia

v analytická teorie čísel, Brun – Titchmarshova věta, pojmenoval podle Viggo Brun a Edward Charles Titchmarsh, je horní hranice o distribuci prvočísla v aritmetické posloupnosti.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle pi (x; q, a)}$ spočítat počet prvočísel p shodný s A moduloq s p ≤ X. Pak

${ displaystyle pi (x; q, a) leq {2x nad varphi (q) log (x / q)}}$

pro všechny q < X.

Dějiny

Výsledek prokázal sítové metody Montgomery a Vaughan; dřívější výsledek Brun a Titchmarsh získal slabší verzi této nerovnosti s dalším multiplikativním faktorem ${ displaystyle 1 + o (1)}$.

Vylepšení

Li q je relativně malý, např. ${ displaystyle q leq x ^ {9/20}}$, pak existuje lepší vazba:

${ displaystyle pi (x; q, a) leq {(2 + o (1)) x nad varphi (q) log (x / q ^ {3/8})}}$

Je to způsobeno Y. Motohashi (1973). Použil bilineární strukturu v chybovém členu v Selbergovo síto, objevil sám. Později se tato myšlenka využití struktur při prosévání chyb stala hlavní metodou v teorii analytického čísla kvůli H. Iwaniec rozšíření na kombinatorní síto.

Srovnání s Dirichletovou větou

Naproti tomu Dirichletova věta o aritmetických postupech dává asymptotický výsledek, který může být vyjádřen ve formě

${ displaystyle pi (x; q, a) = { frac {x} { varphi (q) log (x)}} left ({1 + O left ({ frac {1} { log x}} right)} right)}$

ale lze prokázat, že to platí pouze pro omezenější rozsah q <(logX)^C pro konstantní C: to je Siegel – Walfiszova věta.

Reference

• Motohashi, Yoichi (1983), Sítové metody a teorie prvočísel, Tata IFR a Springer-Verlag, ISBN  3-540-12281-8
• Hooley, Christopher (1976), Aplikace sítových metod v teorii čísel, Cambridge University Press, str. 10, ISBN  0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001) [1994], „Brun-Titchmarshova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Montgomery, H.L.; Vaughan, R.C. (1973), „Velké síto“, Mathematika, 20 (2): 119–134, doi:10.1112 / s0025579300004708, hdl:2027.42/152543.