Věta o Chebotarevově hustotě - Chebotarevs density theorem - Wikipedia

Chebotarevova věta o hustotě v algebraická teorie čísel popisuje statisticky rozdělení připraví v daném Galoisovo rozšíření K. pole ${ displaystyle mathbb {Q}}$ z racionální čísla. Obecně řečeno, hlavní celé číslo se rozdělí na několik ideální prvočísla v kruhu algebraická celá čísla z K.. Existuje jen konečně mnoho vzorů rozdělení, které se mohou vyskytnout. Ačkoli úplný popis rozdělení každého prime p obecně rozšíření Galois je hlavní nevyřešený problém, věta o hustotě Chebotarev říká, že frekvence výskytu daného vzoru pro všechna prvočísla p menší než velké celé číslo N, má sklon k určité hranici jako N jde do nekonečna. Dokázal to Nikolai Chebotaryov ve své diplomové práci z roku 1922, publikované v (Tschebotareff 1926 ).

Zvláštní případ, který je snazší uvést, říká, že pokud K. je algebraické číslo pole což je rozšíření Galois z ${ displaystyle mathbb {Q}}$ stupně n, pak prvočísla, která se úplně rozdělila K. mít hustotu

1/n

mezi všemi prvočísly. Obecněji lze dělící chování určit přiřazením (téměř) každému prvočíslu invariantu, jeho Frobeniův prvek, což je zástupce dobře definované třída konjugace v Galoisova skupina

Gal(K./Q).

Potom věta říká, že asymptotické rozdělení těchto invariantů je ve skupině jednotné, takže třída konjugace s k prvky se vyskytují s frekvencí asymptoticky až

k/n.

Historie a motivace

Když Carl Friedrich Gauss poprvé představil pojem komplexní celá čísla Z[i], poznamenal, že běžná prvočísla se mohou v této nové sadě celých čísel dále promítnout. Ve skutečnosti, pokud je to hlavní p je shodný s 1 modem 4, poté se promění na produkt dvou odlišných hlavních gaussovských celých čísel, nebo „se zcela rozdělí“; -li p je shodný s 3 mod 4, pak zůstává primární nebo je „inertní“; a pokud p je 2, stává se součinem čtverce prvočísla (1 + i) a invertibilní gaussovské celé číslo -i; říkáme, že 2 „rozvětvují“. Například,

${ displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i)}$ úplně se rozdělí;

${ displaystyle 3}$ je inertní;

${ displaystyle 2 = -i (1 + i) ^ {2}}$ rozvětvuje.

Z tohoto popisu se zdá, že jak se uvažuje o větších a větších prvočíslech, frekvence rozdělení primátů se úplně blíží 1/2 a podobně pro prvočísla, která zůstávají prvočísly Z[i]. Dirichletova věta o aritmetických postupech ukazuje, že tomu tak skutečně je. I když se prvočísla samy objevují poněkud nepravidelně, rozdělení prvočísel v rozšíření

${ displaystyle mathbb {Z} podmnožina mathbb {Z} [i]}$

se řídí jednoduchým statistickým zákonem.

Podobné statistické zákony platí i pro rozdělení prvočísel v EU cyklotomické nástavce, získané z pole racionálních čísel přilehnutím k primitivnímu kořenu jednoty daného řádu. Například obyčejné celé číslo připraví do čtyř tříd, z nichž každá má pravděpodobnost 1/4, podle jejich vzoru rozdělení v kruhu celých čísel odpovídajících 8. kořenům jednoty. V tomto případě má rozšíření pole stupeň 4 a je abelian, přičemž skupina Galois je izomorfní s Kleinova čtyřčlenná skupina. Ukázalo se, že skupina Galois rozšíření hraje klíčovou roli ve vzoru rozdělení prvočísel. Georg Frobenius stanovil rámec pro vyšetřování tohoto vzoru a ukázal zvláštní případ věty. Obecné prohlášení prokázal Nikolai Grigoryevich Chebotaryov v roce 1922.

Vztah s Dirichletovou větou

Teorém o hustotě Chebotarev lze chápat jako zobecnění Dirichletova věta o aritmetických postupech. Kvantitativní forma Dirichletovy věty uvádí, že pokud N≥2 je celé číslo a A je coprime na N, pak podíl prvočísel p shodný s A mod N je asymptotický k 1 /n, kde n= φ (N) je Funkce Euler totient. Toto je speciální případ věty o Chebotarevově hustotě pro Nth cyklotomické pole K.. Skupina Galois ve skutečnosti K./Q je abelian a lze jej kanonicky identifikovat pomocí skupiny inverzních tříd reziduí mod N. Rozdělovací invariant prvočísla p nedělí se N je prostě jeho třída reziduí, protože počet odlišných prvočísel, do kterých p rozdělení je φ (N) / m, kde m je multiplikativní řád p modulo N; proto podle věty o Chebotarevově hustotě jsou prvočísla asymptoticky rovnoměrně rozdělena mezi různé třídy reziduí coprime na N.

Formulace

Ve svém článku průzkumu Lenstra a Stevenhagen (1996) dát dřívější výsledek Frobenius v této oblasti. Předpokládat K. je Galoisovo rozšíření z pole racionálního čísla Q, a P(t) monický celočíselný polynom tak, že K. je rozdělení pole z P. Dává smysl faktorizovat P modulo prvočíslo p. Jeho „typ rozdělení“ je seznam stupňů neredukovatelných faktorů P mod p, tj. P faktorizuje nějakým způsobem nad hlavní pole F_p. Li n je stupeň P, pak je typ štěpení a rozdělit Π z n. Vzhledem k tomu také Galoisova skupina G z K. přes Q, každý G v G je obměna kořenů P v K.; jinými slovy výběrem pořadí α a jeho algebraické konjugáty, G je věrně zastoupena jako podskupina symetrická skupina S_n. Můžeme psát G pomocí jeho reprezentace cyklu, který dává „typ cyklu“ C(G), opět oddíl n.

The Frobeniova věta uvádí, že pro každou danou volbu Π jsou prvočísla p pro které je typ štěpení P mod p je Π má a přirozená hustota δ, přičemž δ se rovná podílu G v G které mají typ cyklu Π.

Prohlášení obecnějšího Chebotarevova věta je z hlediska Frobeniův prvek prvočísla (ideálu), které je ve skutečnosti sdružené třída konjugace C prvků Galoisova skupina G. Pokud to opravíme C pak věta říká, že asymptoticky podíl |C|/|G| prvočísel má přidružený prvek Frobenius jako C. Když G is abelian the classes samozrejme each have size 1. For the non-abelian group of order 6 they have size 1, 2 and 3, and there are consistently (for example) 50% of prvočísla p které mají jako prvek Frobenius prvek objednávky 2. Takže tato prvočísla mají zbytkový stupeň 2, takže se rozdělily přesně na tři hlavní ideály v rozšíření stupně 6 Q s tím jako skupina Galois.^[1]

Prohlášení

Nechat L být konečným Galoisovým rozšířením číselného pole K. se skupinou Galois G. Nechat X být podmnožinou G který je stabilní při konjugaci. Sada prvočísel proti z K. které jsou unramified v L a jehož přidružená třída konjugace Frobenius F_proti je obsažen v X má hustotu

${ displaystyle { frac { #X} { # G}}.}$^[2]

Výrok je platný, když se hustota týká buď přirozené hustoty, nebo analytické hustoty množiny prvočísel.^[3]

Efektivní verze

Hypotéza generalizovaného Riemanna implikuje efektivní verze^[4] z Věta o Chebotarevově hustotě: pokud L/K. je konečné rozšíření Galois se skupinou Galois G, a C spojení tříd konjugace G, počet unramified připraví K. níže uvedené normy X s třídou konjugace Frobenius v C je

${ displaystyle { frac {| C |} {| G |}} { Bigl (} mathrm {li} (x) + O { bigl (} { sqrt {x}} (n log x + log | Delta |) { bigr)} { Bigr)},}$

kde konstanta implikovaná v notaci big-O je absolutní, n je stupeň L přes Qa Δ je jeho diskriminační.

Efektivní forma Chebotarevovy teorie hustoty se bez GRH stává mnohem slabší. Vzít L být konečným Galoisovým rozšířením Q se skupinou Galois G a stupeň d. Vzít ${ displaystyle rho}$ být netriviální neredukovatelnou reprezentací G stupně na vzít ${ displaystyle { mathfrak {f}} ( rho)}$ být Artinovým dirigentem této reprezentace. Předpokládejme, že pro ${ displaystyle rho _ {0}}$ subreprezentace ${ displaystyle rho otimes rho}$ nebo ${ displaystyle rho otimes { bar { rho}}}$, ${ displaystyle L ( rho _ {0}, s)}$ je celý; to znamená, že Artinova domněnka je uspokojena pro všechny ${ displaystyle rho _ {0}}$. Vzít ${ displaystyle chi _ { rho}}$ být znakem přidruženým k ${ displaystyle rho}$. Pak je tu absolutní pozitivum ${ displaystyle c}$ takové, že pro ${ displaystyle x geq 2}$,

${ displaystyle sum _ {p leq x, p not mid { mathfrak {f}} ( rho)} chi _ { rho} ({ text {Fr}} _ {p}) log p = rx + O { biggl (} { frac {x ^ { beta}} { beta}} + x exp { biggl (} { frac {-c (dn) ^ {- 4} log x} {3 log { mathfrak {f}} ( rho) + { sqrt { log x}}}} { biggr)} (dn log (x { mathfrak {f}} ( rho)) { biggr)},}$

kde ${ displaystyle r}$ je 1, pokud ${ displaystyle rho}$ je triviální a je jinak 0 a kde ${ displaystyle beta}$ je výjimečná skutečná nula z ${ displaystyle L ( rho, s)}$; pokud taková nula není, ${ displaystyle x ^ { beta} / beta}$ termín lze ignorovat. Implicitní konstanta tohoto výrazu je absolutní. ^[5]

Nekonečné rozšíření

Výrok věty o Chebotarevově hustotě lze zobecnit na případ nekonečného rozšíření Galois L / K. to je unramified mimo konečnou množinu S prvočísel z K. (tj. pokud existuje konečná množina S prvočísel z K. tak, že jakýkoli vrchol K. ne v S je v rozšíření unramified L / K.). V tomto případě skupina Galois G z L / K. je profinitní skupina vybavená topologií Krull. Od té doby G je v této topologii kompaktní, je zde jedinečná Haarova míra μ G. Pro každou premiéru proti z K. ne v S je přidružená třída konjugace Frobenius F_proti. Teorém o hustotě Chebotarev v této situaci lze konstatovat následovně:^[2]

Nechat X být podmnožinou G která je stabilní při konjugaci a jejíž hranice má Haarovu míru nula. Pak sada prvočísel proti z K. ne v S takhle F_proti ⊆ X má hustotu

${ displaystyle { frac { mu (X)} { mu (G)}}.}$

To se redukuje na konečný případ, když L / K. je konečný (Haarova míra je pak jen míra počítání).

Důsledkem této verze věty je, že Frobeniovy prvky unramified prvočísel L jsou husté G.

Důležité důsledky

Věta o Chebotarevově hustotě snižuje problém klasifikace Galoisových rozšíření číselného pole na problém popisu rozdělení prvočísel v rozšířeních. Konkrétně to znamená, že jako rozšíření Galois z K., L je jednoznačně určen množinou prvočísel K. to se v tom úplně rozpadlo.^[6] Souvisejícím důsledkem je, že pokud téměř všechny hlavní ideály K. rozdělit úplně dovnitř Lpak ve skutečnosti L = K..^[7]

Poznámky

Reference

• Lenstra, H. W .; Stevenhagen, P. (1996), „Chebotarev a jeho věta o hustotě“ (PDF), Matematický zpravodaj, 18: 26–37, doi:10.1007 / BF03027290, PAN  1395088

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1998) [1968], Abelianské reprezentace l-adic a eliptické křivky (Revidovaný dotisk původního vydání z roku 1968), Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., ISBN  1-56881-077-6, PAN  1484415
• Tschebotareff, N. (1926), "Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören", Mathematische Annalen, 95 (1): 191–228, doi:10.1007 / BF01206606